УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА
алгебры Ли над коммутативным кольцом kс единицей - ассоциативнаяk-алгебра с единицей, снабженная отображением для к-рой выполнены следующие свойства: 1) о является гомоморфизмом алгебр Ли, т. е. Ус-линейно и 2) для любой ассоциативной k-алгебры Ас единицей и всякого такого k-линейного отображения что существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр переводящий единицу в единицу, для к-рого У. о. а. определяется однозначно с точностью до изоморфизма и всегда существует: если - тензорная алгебра k-модуля I - ее двусторонний идеал, порожденный элементами вида [х, у]-и - каноническое отображение, то - У. о. а. для
Если kнётерово, а модуль конечного порядка, то алгебра - нётерова слева и справа.Если - свободный модуль над областью целостностиk,то не имеет делителей нуля. Для любой конечномерной алгебры Ли над полем kалгебра удовлетворяет условию Оре (см.Вложение полугруппы)и тем самым обладает телом частных.
ЕслиV -нек-рый k-модуль, то всякий гомоморфизм алгебр продолжается до гомоморфизма ассоциативных алгебр Этим устанавливается изоморфизм категории -модулой и категории левых -модулей, существование к-рого лежит в основе применений У. о. а. в теории представлений алгебр Ли (см. [3], [4]).
У. о. а. прямого произведения алгебр Ли есть тензорное произведение алгебр Если - подалгебра в причем и - свободные k-модули, то канонический гомоморфизм является вложением. Еслиk' -расширение поляk,то У. о. а. обладает канонической фильтрацией где а n>0,- k-подмодуль в порожденный произведениями для всех i. Ассоциированная с этой фильтрацией градуированная алгебра коммутативна и порождается образом естественного отображения это отображение определяет гомоморфизм симметрической алгебры k-модуля в Согласно теореме Пуанкаре- Биркгофа - Витта - изоморфизм алгебр, если - свободный k-модуль. Эквивалентная формулировка состоит в следующем: если - базис k-модуля где I - линейно упорядоченное множество, то семейство одночленов образует базис k-модуля (в частности, инъективно).
Пусть - центр алгебры Тогда для любой конечномерной алгебры Ли над полем характеристики 0 совпадает с подалгеброй G-инвариантных элементов в Если полупроста, то является алгеброй многочленов от переменных.
Одним из важнейших направлений исследования У. о. а. является изучение их примитивных идеалов (см. [3]).
Лит.:[1] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [2] его же, Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, пер. с франц., М., 1978; [3] Диксмье Ж., Универсальные обертывающие алгебры, пер. с франц., М., 1978; [4] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; [5] Гельфанд И. М., лМатем. сб.
- универсальная обёртывающая алгебра—universal enveloping algebra...Русско-английский словарь по физике