УНАРНАЯ АЛГЕБРА

уноид,- универсальная алгебра с семейством унарных операций
Важный пример У. а. дает групповой гомоморфизм произвольной группы Gв группу S_Aвсех подстановок множестваА.Такой гомоморфизм наз. действием группы.наА.Определяя унарную операцию для каждого элемента как подстановку изS_A,отвечающую элементу gпри гомоморфизме получают У. а. в к-рой

Структуру У. а. несет на себе любоймодульнад кольцом. Каждый детерминированный полуавтомат с множеством состояний.и входными символами a₁, . . .,а_птакже можно рассматривать как У. а.1, . . .,f_n>, в к-ройf_i(s)=a_isесть состояние, следующее за состоянием sв зависимости от входного символаa_i.
У. а. с одной основной операцией наз. моноунарной, или унаром. Примером унара может служить алгебра Пеано , где Р={1,2,. . .} и f(n)=n+1.
Тождества произвольной У. а. могут быть лишь следующих типов:

Тождество II₂равносильно тождеству II, выполнимому лишь в одноэлементной алгебре.Многообразие У. а., определяемое лишь тождествами вида I_l, I₂или I₃, наз. регулярно определимым. Существует следующая связь между регулярно определимыми многообразиями У. а. и полугруппами (см. [1], [3], [4]).
ПустьV -регулярно определимое многообразие У. а., заданное множеством функциональных символов и множеством тождеств. Каждому символуf_iсопоставляется элемента_i,а для каждого тождества вида I₁из выписывается определяющее соотношение

ПустьР -полугруппа с порождающими и выписанными определяющими соотношениями, aР¹-полугруппа.свнешне присоединенной единицейе.Для каждого тождества вида I₂из (если такие имеются) выписывают определяющее соотношение ПолугруппуР_V,получаемую из Р¹присоединением всех таких определяющих соотношений, и считают соответствующей многообразиюV.Она во многом характеризует это многообразие. Если содержит лишь тождества вида I_l, то можно ограничиться построением лишь полугруппыР.Определяя вР_Vунарные операцииf_i(x)=xa_i,получают У. а. к-рая является V-свободной алгеброй ранга 1. Группа всех автоморфизмов У. а. изоморфна группе обратимых элементов полугруппыР_V.

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Биркгоф Г., Барти Т., Современная прикладная алгебра, пер. с англ., М., 1976; [3] Смирнов Д. М., лАлгебра и логика