УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
- формы, сопоставляемые трехмерным узлам и зацеплениям; нек-рые инварианты этих форм являются топологич. инвариантами изотопич. типа узлов и зацеплений. У. и з. к. ф. возникают в результате симметризации спариваний Зейферта (см.Зейферта матрица).Если V2- многообразие Зейферта зацепления L=(S3, l),а
- спаривание Зейферта, то билинейная симметричная форма
заданная равенством
наз. квадратичной формой зацепленияL.Форма qописывается матрицейМ+М', гдеМ -матрица Зейферта, а штрих означает транспонирование. Форма qсама по себе не является инвариантом зацепленияL,однако ее сигнатура и единицы Минковского гдер -простое число, не зависят от выбора многообразия Зейферта. Они наз. соответственно сигнатурой и единицами Минковского зацепления.и обозначаются так: Размерность n(q)радикала формы qтакже является инвариантом зацепленияL.Число n(L)=n(q)+l наз. дефектом зацепленияL.Имеют место неравенства: где d(L)-максимальное число компонент связности, к-рое может иметь многообразие Зейферта зацепления L,a -кратность, т.L.
Пусть N- локально плоское двумерное ориентируемое подмногообразие шара D4с Род h(N)многообразия N оценивается снизу следующим неравенством:
где - число компонент многообразияN.Нижняя граница для h(N)наз. 4-родом, или внешним родом зацепленияL.Задача вычисления внешнего рода различных зацеплений тесно связана с задачей реализации двумерных гомологич. классов четырехмерных многообразий замкнутыми ориентируемыми поверхностями как можно меньшего рода. Внешний род всякого специального альтернирующего узла равен его роду и совпадает с половиной степени многочлена Александера. Срезанные узлы (см.Узлов кобордизм)-это узлы внешнего рода нуль. Сигнатура и единицы Минковского узла определяются его классом кобордизмов. Функция на группе кобордизмов одномерных узлов в S3со значениями в группе к-рая сопоставляет классу кобордизмов сигнатуру представляющего его узла, является гомоморфизмом, образ к-рого совпадает с подгруппой четных чисел. Число заузливания всякого узла не менее половины его сигнатуры.
У. и з. к. ф. тесно связаны с двулистными разветвленными накрывающими шара D4с ветвлением над ориентируемыми двумерными поверхностями с В частности, сигнатура и единицы Минковского зацепленияL=(S3,I)равны соответственно сигнатуре и единицам Минковского многообразия Край будучи двулистным накрытием сферы S3, разветвленным над зацеплением l, является инвариантом зацепленийL.В случае узлов является конечной группой. Эта группа, а также форма коэффициентов зацепления
определяется квадратичной формой узла следующим образом. Группой с зацеплением илиV-группой наз. пара состоящая из конечной абелевой группы Gи невырожденной билинейной: симметричной формы Каждой невырожденной симметричной целочисленной -матрице Асопоставляется V-группа определяемая так: группа Gпорождается элементами g1, . .,gnсо следующими определяющими соотношениями: где а равно mod 1 элементу матрицы А-1,находящемуся на месте (i, j).Оказывается, что V-гpyппa, определяемая этим способом по матрицеМ+М'квадратичной формы узла, изоморфна V-гpyппe многообразия (см. [4], [9]). Числовые инварианты F-групп находятся методом Бланчфилда-Фокса [5]. С их помощью в нек-рых случаях удается различать узлы, имеющие изоморфные группы.
Инварианты зацепления в двулистном накрытии S3,разветвленном над узлом, могут быть найдены непосредственно но проекции узла с помощью следующей конструкции, к-рая приводит к квадратичной форме диаграммы узла. Регулярная проекция узла делит плоскость на области, к-рые могут быть однозначно окрашены в черный и белый цвета таким образом, чтобы бесконечная область G0была окрашена в черный цвет, а всякие две области, примыкающие друг к другу по дуге, были бы окрашены в разные цвета. Пусть G0, G1,. . .,Gn-все черные области. Каждой двойной точке хдиаграммы узла сопоставляется следующим образом нек-рое число Пусть точка хявляется общей граничной точкой двух черных областейGiиGk.Еслиi=k,то Если же то тогда и только тогда, когда вращение от перехода к проходу вокруг точки хпо черной области происходит по часовой стрелке; в противном случае Образуется следующая -матрица где - сумма всех чисел отвечающих двойным точкамх,лежащим на границе областиGi, а есть взятая с обратным знаком сумма всех чисел где хпробегает всe общие граничные точкиGiиGk.Форма наз. квадратичной формой диаграммы узла. Матрица определяется типом узла с точностью до следующего отношения связанности: две квадратные матрицы наз. связанными, если одна может быть переведена в другую конечной последовательностью следующих операций: где Т- целочисленная унимодулярная матрица, и обратных к ним. Модуль определителя матрицы Аявляется инвариантом узла и наз. детерминантом узла. Для всякого узла он нечетен и равен где - многочлен Александера (см.Александера инварианты). V-гpyппa, определяемая указанным выше способом по матрице квадратичной формы произвольной диаграммы, является инвариантом узла. Более того, эта V-группа изоморфна V-гpyппe двулистного накрытия сферы S3,разветвленного над узломК.
Лит.:[1] Heidemуister К., Knotentheorie, В., 1932; [2] Gоеritz L., лMath. Z.