УДАРНЫХ ВОЛН МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
- математическое описание свойств, движения и взаимодействия с окружающей средой поверхностей разрыва параметров среды (ударных волн). В более широком и абстрактном смысле У. в. м. т. описывает свойства поверхностей разрыва решенийквазилинейных гиперболических уравнений и систем..У. в. м. т. возникла в связи с задачами движения газов и сжимаемых жидкостей во 2-й пол. 19 в.; ее основы были заложены в работах С. Ирншоу, Б. Римана, У. Ранкина, П. Гюгоньо (см., напр., [1] - [4]).
При идеализации реальных газов и жидкостей рассматривают среды, лишенные диссипативных свойств, в к-рых отсутствуют вязкость и теплопроводность. В процессе движения в таких идеальных средах могут возникать разрывы в распределениях всех параметров течения (плотности, давления, температуры, скорости и др.). Множества точек разрыва параметров течения могут быть весьма сложными. Систематически рассмотрен лишь простейший основной случай, когда эти множества образуют кусочно гладкие поверхности разрыва, состоящие из точек разрыва параметров 1-го рода. В общем случае двумерные поверхности разрыва перемещаются в трехмерном пространстве с течением времени. Ударные волны являются одним из возможных типов поверхностей разрыва.
Появление разрывов существенно осложняет математич. постановку задачи о течении идеальных газов и жидкостей, так как разрывные функции не могут быть решениями дифференциальных уравнений газовой динамики (гидродинамики). Поэтому течения с поверхностями разрыва описываются обобщенными решениями системы квазилинейныхгазовой динамики уравненийи У. в. м. т. является частью теории обобщенных решений системы интегральных законов сохранения газовой динамики.
Поверхности разрыва. На поверхностях разрыва должны выполняться условия, вытекающие из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии. Исключение составляют лишь разрывы в момент начала движения (т.н. начальные разрывы), к-рые могут быть произвольными. Пусть - гладкая поверхность разрыва параметров течения газа (жидкости);D -нормальная скорость движения поверхности разрыва. Рассматриваются лишь гомогенные среды, к-рые характеризуются плотностью давлением р(r, t),внутренней энергией единицы массы газа и вектором скорости движения среды и(r,t).
Пустьвточках поверхности гдеип-нормальная и - тангенциальная (по отношению к составляющие вектора скоростии.Условия непрерывности потоков массы, импульса и энергии на поверхности записываются в виде равенств
где квадратные скобки означают скачок стоящей внутри их величины при переходе с одной стороны поверхности разрыва на другую, т. r, t)]=f1-f0, гдеf1иf0- предельные значения величины f в точке при приближении к ней с разных сторон. Условия (1) являются внутренними граничными условиями, к-рые добавляются к уравнениям газовой динамики на поверхностях разрыва параметров среды.
Существует два типа разрывов: тангенциальные разрывы при и ударные волны приВектор jназ. потоком массы через единичную площадку движущейся поверхности разрыва (ударной волны)
Тангенциальные и контактные разрывы. Для тангенциального разрыва (j=0) давление непрерывно, [р]=0 на а величины могут иметь на S (t)произвольный скачок. Если хотя бы одна из величин отлична от нуля, то разрыв наз. также контактным разрывом. В случае контактного разрыва поверхность является границей раздела сред с разными свойствами, в частности с разными уравнениями состояния; она образуется линиями тока, выпущенными из поверхности начального контактного разрыва.
Тангенциальный разрыв неустойчив, т. к. под действием даже малой вязкости, присущей газам и жидкостям, начальный разрыв тангенциальной составляющей вектора скорости размывается во все более широкую зону непрерывного перехода. За исключением особых случаев, когда он осуществляется на коротких интервалах времени (тангенциальные разрывы в соплах, начальные участки зон смешения различных потоков к т. п.), он не рассматривается как допустимый разрыв. В этом проявляется ограниченность описания лидеальной