Математическая энциклопедия

ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

- обобщениевекторного анализа,разделтензорного исчисления,изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей D(М)дифференцируемого многообразияМ.Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрич. объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т. д.
Наибольший интерес представляют операторы, действие к-рых не выводит за пределы алгебры D(М).

1)Ковариантная производнаявдоль векторного поляX -линейное отображение пространства векторных полей D1(М)многообразияМ,зависящее от векторного поля Xи удовлетворяющее условиям:


где - гладкие функции наМ.Определяемые этим операторомсвязностьГипараллельное перенесениепозволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры D(М)в себя; при этом отображение есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со сверткой.
В локальных координатах и1, и2, . . ., иnковариантная производная тензора с компонентами относительно вектора определяется так:

- объект связности Г. 2)Ли производнаявдоль векторного поляX -отображениеLXпространстваD'(M),определяемое формулой где [X,Y]-коммутатор векторных полей X,Y.Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования D(M),сохраняет тип тензоров и перестановочен со сверткой.В локальных координатах производная Ли тензора

выражается так:

3) Внешний дифференциал (внешняя производная) - линейный операторd,сопоставляющий внешнейдифференциальной форме(кососимметричному ковариант-ному тензору) степени рформу такого же вида и степени р+1, удовлетворяющий условиям:


где - символ внешнего произведения,r -степень В локальных координатах внешняя производная тензора выражается так:

Оператор d- обобщение оператора rot.

4)Кривизны тензорсимметричного невырожденного дважды ковариантного тензораgijпредставляет собой действие нек-рого нелинейного оператора R:

где

Лит.:[1] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Схоутен Я.-А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; [3] Мак-Коннел А. К.М. Белов.

  1. тензорный анализ—tensor analysis...Русско-английский политехнический словарь
  2. тензорный анализ—tensor analysis...Русско-английский словарь по физике
  3. тензорный анализ—tensor analysis...Русско-английский словарь по электронике
  4. тензорный анализ—tensor analysis...Русско-английский технический словарь
  5. тензорный анализ—analisi tensoriale...Русско-итальянский политехнический словарь
  6. тензорный анализ—матем. теория изучающая объекты спец. родатензорные поля см. Тензор.i Необходимость применения Т. а. возникает когда для изучения того или иного физ. явления относительн...Физическая энциклопедия