Математическая энциклопедия

ТЕЙЛОРА ФОРМУЛА

- представление функции в виде суммы еи многочлена Тейлора степени п(n=0, 1, 2, . . .) и остаточного члена. Если действительная функция / одного переменного имеет ппроизводных в точке х0,то ее Т. ф. имеет вид

f(x)= Pn(x)+ rn(x),
где


- Тейлора многочлен,а остаточный членrп(х)может быть записан в форме Пеано

Если функция f дифференцируема n+1 раз в нек-рой окрестности точки х0, то остаточный член в этой окрестности может быть записан в форме Шлёмильха - Роша

гдер=1,2, .. .,n+1,частным видом к-рой являются форма Лагpанжа

и форма Коши

Если производная порядка n+1 функции f интегрируема на отрезке с концами в точках хи х0, то остаточный член можно записать в интегральной форме

Т. ф. со всеми указанными формами записи ее остаточного члена обобщается на случай функций нескольких переменных. Т. ф. справедлива и для отображений подмножеств нормированных пространств в подобные же пространства, причем в этом случае остаточный член может быть записан в форме Пеано и интегральной форме.
Т. ф. позволяет изучение ряда свойств определенное число раз дифференцируемой функции свести к существенно более простой задаче изучения этих свойств у соответствующего многочлена Тейлора - на этом и основаны разнообразные и многочисленные применения Т. ф., напр. для вычисления пределов функций, исследования их экстремумов, точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости, сходимости рядов и интегралов, оценки скорости их сходимости или расходимости.

Лит.:[1] Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. X., Математический анализ, М., 1979: [2] Никольский С. М., Курс математического анализа, 3 изд., т. 1, М., 1983.
Л.Д. Кудрявцев.

  1. тейлора формула—формула изображающая функцию f emx имеющую nemю производную f emnemsupaem в точке хem а emв виде суммы многочлена степени nem расположенного по степеням хemаem и остат...Большая Советская энциклопедия II
  2. тейлора формула—Тэйлара формула...Русско-белорусский математический словарь