СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

для процесса по винеровскому процессу - уравнение вида

где a(t, X)и b(t, X)-неупреждающие функционалы, а случайная величина играет роль начального значения. Различают два понятия решения С. д. у.- сильное и слабое.
Пусть - вероятностное пространство с выделенным на нем неубывающим семейством -алгебр - винеровский процесс. Говорят, что непрерывный стохастич. процесс есть сильное решение С. д. у. (1) с коэффициентами сноса a(t, X),диффузии b(t, X)и начальным значением если для каждого t>0 с вероятностью единица

где подразумевается, что входящие в (2) интегралы определены.
Первый общий результат относительно существования и единственности сильного решения С. д. у. вида

был получен К. Ито (К. Но). Им было показано, что если для каждого t>0 функции a(t, x)и b(t, x)удовлетворяют по хусловию Липшица и растут не быстрее, чем линейно, то существует непрерывное решение уравнения (3) и оно единственно в том смысле, что если - другое непрерывное решение, то

Для случая измеримость и ограниченность коэффициента (вектора) сноса a(t, x)обеспечивает существование и единственность сильного решения.Уравнение вообще говоря, не имеет сильного решения для любого ограниченного неупреждающего функционала a(t, X).
При рассмотрении понятия слабого решения С. д. у. (1) не фиксируются заранее вероятностное пространство с семейством s-алгебр винеровский процесс и случайная величина а фиксируются лишь неупреждающие функционалы a(t, X), b(t, X),определенные для непрерывных функций функция распределения F(х)(так сказать, начального значения). Тогда под слабым решением С. д. у. (1) с заданными a(t, X), b(t, X)и F(x)понимается набор объектов

где - винеровский процесс относительно связаны соотношением

причем Иногда термин лслабое решение

стохастическое дифференциальное уравнение—stochastick diferenciln rovnice...Русско-чешский словарь