Математическая энциклопедия

СЛОЕНИЕ

на n-мерном многообразииМn-такое разбиениеМnна линейно связные подмножества, именуемые слоями, чтоМnможно покрыть координатными окрестностями Uaс локальными координатами , в терминах к-рых локальные слои - компоненты связности пересечения слоев с Ua,задаются уравнениями =. С. в этом смысле наз. топологическим С.; требуя же, чтобыМпимело кусочно линейную, дифференцируемую или аналитич. структуру и чтобы локальные координаты были кусочно линейными, дифференцируемыми (классаСr).или аналитическими, получают определение кусочно линейного, дифференцируемого (классаСr).или аналитического С. Определение дифференцируемого С. классаСrформально годится и при r=0, совпадая в этом случае с определением топологич. С. Обычно, говоря о дифференцируемом С., подразумевают, что . Слои естественно снабжаются структурой n-мерных многообразий (топологических, кусочно линейных, дифференцируемых или аналитических) и тем самым оказываются подмногообразиями (в широком смысле слова) многообразияМп.Число р(размерность слоев) наз. размерностью С., aq=п-р -его коразмерностью. Рассматривая С. на многообразии с краем, обычно требуют либо трансверсальности слоев к краю, либо же того, чтобы слой, пересекающийся с краем, целиком в нем содержался. Очевидным образом определяются комплексно-аналитические С. Основным в теории С.является дифференцируемый случай (ниже С. и отображения, как правило, подразумеваются дифференцируемыми) .

Отображение являетсясубмерсией.Локальные слои суть , .

Система локальных субмерсий {(Ua,ja)} является согласованной в том смысле, что если , то возле и можно перейти от ja(v).к jb(v) с помощью нек-рого локального диффеоморфизма (классаСr).пространства , т. е. для всехv,достаточно близких ки,имеет место . Обратно, еслиМппокрыто областями Ua.и заданы субмерсий , согласованные в том же смысле, что и выше, то путем подходящего "склеивания" между собой получается такое С., что каждое содержится в нек-ром слое.

Сопоставление каждой точке касательного пространства к проходящему через эту точку слою, приводит к нек-рому полю р-мерных касательных подпространств (но другой терминологии, р-мерному расслоению), к-рое наз. касательным полем С. Прир=1любое поле p-мерных касательных подпространств, при самых минимальных требованиях дифференцируемостй, является касательным нолем нек-рого однозначно определенного С. При p>1 это не так. Данный вопрос имеет локальный характер (см.Фробениуса теорема).

Непосредственное применение теоремы Фробениуса к инволютивному распределению показывает, что при выполнении соответствующих условий имеется система согласованных локальных субмерсий, для к-рых заданное поле касается, переход к С. осуществляется путем надлежащих "склеиваний" (в других терминах это описано в [3]).

Формирование понятия С. произошло в 40-х гг. 20 в. в цикле работ Ж. Риба (G. Reeb) и III. Эресмана (Ch. Ehresmann), завершившемся книгой [1] (в связи с историей см. [2]), и было связано с переходом к глобальной точке зрения. Этому отчасти способствовала теория гладкихдинамических систем,где разбиение фазового многообразия (с выкинутымиравновесия положениями).на траектории потока является одномерным С. Особое положение, к-рое в этой теории занимают потоки на поверхностях(Пуанкаре-Бендиксона теория, Дифференциальные уравнения на торе, Кнезера теорема).Особое положение, где траектории локально разбивают пространство, способствовало привлечению внимания к С. коразмерности 1. Другой пример С., проанализированный в 40-х гг.,- разбиение группы Ли на смежные классы по аналитич. одгруппе (не обязательно замкнутой) (см. [3]). Наконец, в комплексной области решения дифференциального уравненияdw/dz=f(z, w).с аналитической правой частью образуют (с вещественной точки зрения) двумерное С.

После первых работ наступил перерыв в развитии теории С., к-рая тогда была еще бедна значительными результатами. Интенсивное развитие началось с работ А. Хефлигера [4] и С. П. Новикова [7], наиболее известные результаты к-рых таковы (см. [17]): С. коразмерности 1 на трехмерной сфере имеет компактный слой [7] и не может быть аналитическим [4], хотя еще Ж. Риб построил С. класса . Тогда же при изучении нек-рых динамич. систем(У-системыи родственные им) возникли нек-рые вспомогательные С. (уже не одномерные, что тоже стимулировало исследование С. (см. [7], [8]). Все эти работы и ряд последующих можно отнести к "геометрическому" или "качественному" направлению [16]. В нем большое внимание уделяется С. коразмерности 1, существованию компактных слоев, теоремам устойчивости (устанавливающим, что при определенных условиях С. с компактным слоем устроено в его окрестности и глобально как расслоение; первые такие теоремы доказал еще Ж. Риб, см. [17]), характеристике "роста" слоев (т. е. зависимости р-мерного объема геодезич. шара радиуса r на слое от r).или их фундаментальных групп. Отметим также недавнее решение вопроса: если на замкнутомМпимеется р-мерное С., все слои к-рого компактны, то обязательно ли ограничен р-мерный объем слоев? Д. Эпстейн (D. Epstein), Д. Сулливан (D. Sullivan) и др. выяснили, что ответ положительный только при (см. [9]).

Позднее возникло "гомотопическое" направление, прообразом к-рого послужила гомотопич. теориярасслоений.Отличия, возникающие для С., отчасти связаны с тем, что для С., вообще говоря, нет аналогаиндуцированному расслоению.Это вынуждает перейти от С. к более общим объектам -Хефлигера структурам(нечто вроде С. с особенностями), для к-рых такой аналог имеется.

СлоенияF0иF1на Мназ. конкордантными, если на "цилиндре" МХ [0, 1] существует такое С. (той же коразмерности), слои к-рого трансверсальны ко "дну" и "крышке" цилиндра и "высекают" на них слоенияF0иF1.Сходным образом определяется конкордантность структур Хефлигера. Всякая структура Хефлигера конкордантна такой, к-рая вне множества "особых точек" на Мсоответствует нек-рому С., причем выполняются определенные условия о поведении слоев последнего возле этих точек. В этом смысле структуру Хефлигера можно представить себе как С. с особенностями. Имеется естественное биективное соответствие между классами конкордатных структур Хефлигера и гомотопич. классами непрерывных отображений М в т.(qуказывает коразмерность,r -класс гладкости структуры Хефлигера).

Гомотопич. теория устанавливает, какие гомотопич. объекты определяют конкордантность С.: два С. конкордантны тогда и только тогда, когда они конкордантны как структуры Хефлигера, а их касательные поля гомотопны (см. [6], |10], [11]). Родственный результат - доказательство существования р-мерных С. на любых открытых М(см. [6J) и на таких замкнутыхМ,на к-рых существует непрерывное поле р-мерных касательных подпространств (что является очевидным необходимым условием существования С., см. [10], [11]), ранее различными учеными было доказано существование С. на ряде многообразий путем непосредственных построений [12]. Идея (см. [10], [11]) состоит в том, чтобы, пачав со С. с особенностями, ликвидировать их путем нек-рых модификаций С. Случайq>1оказывается более простым (см. [10], [13]) и ликвидация особенностей может быть проведена в духе "геометрической" теории [14]; случайq=1 сложнее [11].

Отображение порождает отображение когомологий, что приводит кхарактеристическим классамС. В возникающую здесь "гомологическую" или "количественную" теорию С. (см. [13], [15], [16]) включаются и нек-рые результаты, полученные ранее без обращения к , напр. инвариант Годбийона-Вея; для n=3 (см. [17]) или указанные P. Боттом (R, Bott( условия, необходимые для того, чтобы непрерывное поле касательных подпространств было гомотопно касательному полю С.

Лит.: [1] Rееb G., в кн.: Actualites Sci. Ind.,№ 1183, P., 1952; [2] Reeb G., Schweitzer P. А., в кн.: Differential topology..., В., 1978; [3] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948; [4] Haefliger A., "Ann. Scuola norm. Sup. Pisa", ser. 3, 1962, t. 16, p. 367-97; [5] его же, в кн.: Manifolds, Amst., 1970, В., 1971; [6] его же, "Topology", 1970, v. 9, № 2, р. 183-94; [7] Новиков С. П., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1965, т. 14, с. 248-78; [8] Гладкие динамические системы, [пер.], М., 1977; [9] Бессе А., Многообразия с замкнутыми геодезическими, пер. с англ., М., 1981; [10] Тhurston W., "Comm. math. Helv.", 1974, v. 49, p. 214-31; [11] его же, ".Ann. Math.", 1976, v. 104, № 2, p. 249-68; [12] Lawsоn H., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1974, v. 80, p. 369-418; [13] его же, The quantitative theory of foliations, Providence, 1977; [14] Мишачев H. М., Элиашберг Я. М., "Функц. анализ и его прил.", 1977, т. 11, № 3, с. 43-53; [15] Фукс Д. В., в кн.: Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. матем., М., 1978, т. 10, с. 179-285; [16] его же, в кн.: Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия, М., 1981, т. 18, с. 151-213; [17] Тамура И., Топология слоений, пер. сяпон., М., 1979.Д. В. Аносов.


  1. слоение—соление...Анаграммы
  2. слоение—чего сущ. ср. родаот глаголаem слоитьшарування...Большой русско-украинский словарь
  3. слоение—я ср.em Действие по знач. глаг.em слоить и состояние по знач. глаг.em слоиться....Малый академический словарь
  4. слоение—корень СЛО суффикс ЕНИ окончание Е Основа слова СЛОЕНИВычисленный способ образования слова Суффиксальный СЛО ЕНИ Е Слово Слоение содержит следующие морфемы или ча...Морфемный разбор слова по составу
  5. слоение—Начальная форма Слоение винительный падеж единственное число неодушевленное средний род...Морфологический разбор существительных
  6. слоение—слоение ср. Процесс действия по знач. глаг. слоить слоиться....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  7. слоение—слоение слоение я...Орфографический словарь
  8. слоение—слоение слоения слоения слоений слоению слоениям слоение слоения слоением слоениями слоении слоениях...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  9. слоение—Орфографическая запись слова слоение Ударение в слове слоение Деление слова на слоги перенос слова слоение Фонетическая транскрипция слова слоение [злаэнэ] Характеристик...Полный фонетический разбор слов
  10. слоение—слоение я...Русский орфографический словарь
  11. слоение—Ср мн. нет qatlama qatqat etm edilm laylay etm edilm....Русско-азербайджанский словарь
  12. слоение—n.foliation слоения с мерой measured foliations...Русско-английский словарь математических терминов
  13. слоение—foliation...Русско-английский технический словарь
  14. слоение—N...Русско-армянский словарь
  15. слоение—пластовасць...Русско-белорусский математический словарь
  16. слоение—Слаенне...Русско-белорусский словарь
  17. слоение—слаенне ср.i...Русско-белорусский словарь II
  18. слоение—слоить....Русско-китайский словарь
  19. слоение—likana krtm sloans krtana...Русско-латышский словарь
  20. слоение—матем. техн. шарування простое слоение...Русско-украинский политехнический словарь
  21. слоение—СЛОЕНИЕ слоеватый и пр. см. слой....Толковый словарь живого великорусского языка
  22. слоение—СЛОЕНИЕ слоения мн. нет ср. спец. Действие по глаг. слоить....Толковый словарь русского языка II
  23. слоение—СЛОЕНИЕ ср. см. слоить слоиться....Толковый словарь русского языка
  24. слоение—Ударение в слове слоениеУдарение падает на букву еБезударные гласные в слове слоение...Ударение и правописание
  25. слоение—Rzeczownik слоение n laminowanie odczas. n...Универсальный русско-польский словарь
  26. слоение—слоение слоения слоения слоений слоению слоениям слоение слоения слоением слоениями слоении слоениях Источник Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку ....Формы слова
  27. слоение—Нло Нос Олеин Олин Селен Нил Сени Неслие Лис Лион Лесин Леон Лен Сено Силен Силон Син Слоение Слон Соление Енол Ение Еле Сон Иол Сион Ион Сило...Электронный словарь анаграмм русского языка