Математическая энциклопедия

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЯ

к а к о й - л и б о с л у ч а й н о й в е л и ч и н ыX -функция действительного переменногох,принимающая при каждом хзначение, равное вероятности неравенства Х

Каждая Р. ф. F(х)обладает следующими свойствами:

1) при ;

2) F(х)непрерывна слева при каждом х;

3)

(иногда Р. ф. определяют как вероятность неравенства , и тогда она оказывается непрерывной справа). В математич. анализе Р. ф. называют любую функцию, для к-рой имеют место свойства 1) - 3). Существует взаимно однозначное соответствие между распределениями вероятностейРFна s-алгебре борелевских подмножеств числовой прямой и Р. ф. Это соответствие определяется формулой: для любого интервала [a, b)


Каждая функцияF,обладающая свойствами 1)-3), может рассматриваться как Р. ф. нек-рой случайной величины X(напр., случайной величины X(x)= x,заданной на вероятностном пространстве

Всякая Р. ф. может быть однозначно представлена в виде суммы


где a1, а2, а3-неотрицательные числа, сумма к-рых равна 1, а F1, F2, F3-Р.ф. такие, что F1(x)абсолютно непрерывна:


F2(x)-"ступенчатая функция":

"

где -точки скачков F(x),а пропорциональны размеру этих скачков;F3(x)-"сингулярная" компонента - непрерывная функция, производная к-рой почти всюду равна нулю. ,- бесконечная последовательность независимых случайных величин, принимающих значения 1 и 0 с вероятностями и , соответственно. Пусть


тогда

1) если при всехk,то Xимеет абсолютно непрерывную Р. ф. (с p(x)=1для , т. е. X равномерно распределена на [0, 1]);

2) если , то Xимеет "ступенчатую"

Р. ф. (она имеет скачки во всех двоично-рациональных точках отрезка [0, 1]);

3) если при , то X имеет "сингулярную" Р. ф.

Этот пример является иллюстрацией одной теоремы П. Леви (P. Levy), в соответствии ск-рой предел бесконечной свертки дискретных Р. ф. может содержать только одну из указанных выше компонент. "Расстояние" между распределениямиP>иQна числовой прямой часто определяют в терминах соответствующих Р. ф. FиS,полагая, напр.,


или


(см.Распределений сходимость. Леви метрика, Характеристическая функция).

Р. ф. наиболее употребительных распределений вероятностей (напр.. нормального, биномиального, пуассоновского распределений) табулированы.

Для проверки гипотез о Р. ф. Fпо результатам независимых наблюдений используют так или иначе измеренное отклонение Fот эмпирической Р. ф. (см.Колмогорова критерий, Колмогорова - Смирнова критерий, Крамера-Мизеса критерий).

Понятие Р. ф. естественным образом распространяется на многомерный случай, но многомерные Р. ф. значительно менее употребительны, чем одномерные.

О приближенном представлении Р. ф. см.Грама - Шарлье ряд, Эджворта ряд, Предельные теоремы.

Лит.:[1] К р а м е р Г., Случайные величины и распределения вероятностей, пер. с англ., М., 1947; [2] е г о ж е, Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [3] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1 - 2, М., 1967; [4] Б о л ь ш е в Л. Н., С м и р н о в Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.Ю. В. Прохоров.


  1. распределения функция—размеркавання функцыя...Русско-белорусский математический словарь