Математическая энциклопедия

РАДИКАЛЫ

колец и алгебр - понятие, впервые возникшее в классической структурной теории конечномерных алгебр в нач. 20 в. Под Р. первоначально понимался наибольший нильпотентный идеал конечномерной ассоциативной алгебры. Алгебры с нулевым Р. (называемые полупростыми) получили в классич. теории достаточно полное описание: любая полупростая конечномерная ассоциативная алгебра является прямой суммой простых матричных алгебр над подходящими телами. Впоследствии было обнаружено, что наибольшие нильпотентные идеалы существуют в любых ассоциативных кольцах и алгебрах с условием минимальности для левых (или правых) идеалов, т. е. в любых артиновых кольцах и алгебрах, и описание артиновых полупростых колец и алгебр совпадает с описанием конечномерных полупростых алгебр. В то же время оказалось, что Р., как наибольший нильпотентный либо разрешимый идеал, может быть определен и во многих классах конечномерных неассоциативных алгебр (альтернативных, йордановых, лиевых и др.). При этом, как и в ассоциативном случае, полупростые алгебры оказываются прямыми суммами простых алгебр нек-рого специального вида.

В связи с тем, что в бесконечномерном случае наибольшего нильпотентного идеала может и не существовать, появилось много различных обобщений классического Р.: радикал Бэра, радикал Джекобсона, радикал Левицкого, радикал Кёте и др. Наиболее часто используемый из них -Джекобсона радикал.Были введены также Р., в нек-ром смысле противоположные классическому. Так, напр., все классически полупростые кольца (т. е. прямые суммы полных матричных колец) радикальны в смысле регулярного радикала Неймана и наследственно идемпотентного радикала Блэра. Построение общей теории Р.было начато в работах С. Амицура [1] и А. Г. Куроша [2].

Общая теория радикалов. Всюду в дальнейшем говорится только об алгебрах (имеются в виду алгебры над произвольным фиксированным ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей); кольца являются частным случаем таких алгебр. Под идеалом алгебры, если это не оговорено специально, понимается двусторонний идеал.

Пусть - нек-рый класс алгебр, замкнутый относительно взятия идеалов и гомоморфных образов, т. е. содержащий вместе со всякой алгеброй любой ее идеал и любой ее гомоморфный образ. И пусть r - нек-рое абстрактное свойство, к-рым может обладать или не обладать алгебра из . Алгебра, обладающая свойством r, наз. r-а л г е б р о й. Идеал I алгебры A наз. ее r-и д е а л о м, если I является r-алгеброй. Алгебра наз. r-полупростой, если она не имеет ненулевых r-идеалов. Говорят, что r является радикальным свойством в классе или что в задан радикал (в смысле Куроша), если выполняются следующие условия:

(A) гомоморфный образ r-алгебры есть r-алгебра;

(Б) каждая алгебра Акласса обладает наибольшим r-идеалом, т. е. идеалом, содержащим любой r-идеал этой алгебры, и этот максимальный r-идеал наз. тогда r-радикалом этой алгебры и обозначается r(А).

(B) факторалгебраА/r(А)r-полупроста.

Алгебра, совпадающая со своим Р., наз. радикальной. В любом классе алгебр и для любого радикала {0} является единственной одновременно радикальной и полупростой алгеброй. Подпрямое произведение любого множества полупростых алгебр само полупросто.

С каждым радикалом r связаны два подкласса алгебр в : класс (r) всех r-радикальных алгебр и класс (r) всех r-полупростых алгебр. По любому из этих классов однозначно находится радикал r(А).для каждой алгебры Аиз , а именно:


Алгебра r-радикальна тогда и только тогда, когда она не может быть отображена гомоморфно ни на одну ненулевую r-полупростую алгебру.

Известны условия на подклассы алгебр, необходимые и достаточные для того, чтобы эти подклассы служили классами всех радикальных или классами всех полупростых алгебр для каких-либо Р. в . Такие подклассы алгебр принято называть соответственно радикальными и полупростыми подклассами.

Частичная упорядоченность радикальных классов по включению индуцирует частичный порядок на классе всех Р. в . А именно, считается, что , если (r1) содержит (r2) (и в этом случае также (r1) содержит (r2)).

Для каждого подкласса Мкласса нижним радикальным классом l(M),порожденным классомМ,наз. наименьший радикальный класс, содержащийМ,а соответствующий ему Р. наз. нижним радикалом, определяемым классомМ.Верхним радикальным классом и(М),определенным классомМ,наз. наибольший радикальный класс, относительно Р. к-рого все алгебры из Мполупросты (этот Р. наз. верхним радикалом, определяемым классом М).Для любого класса Мнижний радикальный класс l(М).существует. Если- класс ассоциативных алгебр, то верхний Р. для любого подкласса М. М, при к-рых верхний радикал для Мсуществует. Этим условиям, в частности, удовлетворяет всякий класс, содержащий только простые алгебры.

Для любого Р. всякая простая алгебра либо радикальна, либо полупроста. Таким образом, каждому радикалу r соответствует разбиение простых алгебр на два непересекающихся класса: S1-класс r-полупростых простых алгебр, или верхний класс, и S2.класс всех r-радикальных простых алгебр, или нижний класс. Принято говорить, что радикал r соответствует этому разбиению. Обратно, для произвольного разбиения простых алгебр на два непересекающихся класса, один из к-рых S1назван верхним, а другой S2-нижним, существует радикал, соответствующий данному разбиению. Такими будут верхний радикал rlопределяемый классом S1.а также нижний радикал r2, определяемый классом S2; радикалы r1и r2наз. соответственно верхним и нижним радикалами данного разбиения простых алгебр. Для любого радикала r, соответствующего тому же разбиению простых алгебр, В классе всех ассоциативных алгебр для любого разбиения простых алгебр r1>r2. Классический Р. в классе конечномерных ассоциативных алгебр над полем соответствует тому разбиению простых алгебр, нижний класс которого пуст, причем является единственным нетривиальным Р., соответствующим этому разбиению.

Наследственные радикалы. Радикал r наз. идеальо наследственным радикалом, или кручением, в классе , если для всякого идеала I алгебры Аэтого класса: Идеально наследственные Р. есть в точности те Р., для к-рых классы (r).и (r) замкнуты относительно идеалов. Радикал rназ. наследственным, если класс (r) замкнут относительно идеалов. В классах ассоциативных, а также альтернативных алгебр каждый наследственный Р. является кручением. Радикал r наз. строго наследственным, если класс (r) замкнут относительно подалгебр.

Класс всех кручений является полной дистрибутивной "решеткой" (см.Дистрибутивная решетка).Употребление кавычек здесь связано с тем, что совокупность элементов этой "решетки" является не множеством, а классом.

В классе всех кручений выделены два противоположных подкласса: класс н а д н и л ь п о т е н т н ы х к р у ч е н и й, т. е. таких кручений r, что все алгебры с нулевым умножением r-радикальны, и класс подидемпотентных кручений - таких кручений r, что все алгебры с нулевым умножением r-полупросты (а все r-радикальные алгебры идемгготентны). Важным частным случаем наднильпотентных Р. являются специальные радикалы- такие кручения r, что все r-полупростые алгебры разлагаются в подпрямое произведение первичных r-полупростых алгебр. Существуют наднильпотентные неспециальные Р. (см. [5], [7]).

Радикалы в классе ассоциативных колец.Пусть - класс всех ассоциативных колец. И пусть: j - нижний Р., определяемый классом всех простых колец с нулевым умножением;

(нижний радикал Бэра) - нижний Р., определяемый классом всех нильпотентных колец; верхний Р., определяемый классом всех первичных колец; наименьший специальный Р.; равен пересечению простых идеалов кольца;

(радикал Левицкого) - нижний Р., определяемый классом всех локально нильпотентных колец; равен сумме всех локально нильпотентных идеалов кольца и содержит любой односторонний локально нильпотентный идеал кольца;

(верхний нильрадикал, или радикал Кёте) - нижний Р., определяемый классом всех нильколец;

(радикал Джекобсона) - верхний Р., определяемый классом всех примитивных колец; равен пересечению всех примитивных идеалов кольца, а также пересечению всех модулярных максимальных правых (левых) идеалов, является квазирегулярным идеалом, содержащим все квазирегулярные правые (левые) идеалы;

(радикал Брауна-Маккоя) - верхний Р., определяемый классом всех простых колец с единицей, совпадает с верхним Р. своего разбиения; равен пересечению всех максимальных модулярных идеалов кольца;

- верхний Р., определяемый классом всех матричных колец над телами;

(обобщенный нильрадикал) - верхний Р., определяемый классом всех колец без делителей нуля;

F -верхний Р., определяемый классом всех полей. В классе всех ассоциативных колец имеют место строгие неравенства:


В классе колец с условием минимальности первые семь Р. совпадают и соответствуют классическому Р. Если радикал r индуцирует в классе колец с условием минимальности классический Р., то . Для колец с условием максимальности . Для коммутативных колец , . Радикалы , являются специальными. Радикалы j, b, соответствуют одному и тому же разбиению простых колец, а -другим попарно различным разбиениям.

Лит.:[1] A m i t s u r S. A., "Amer. J. Math.", 1952, v. 74, p. 774-86: 1954, v. 76, p. 100-36; [2] К у р о ш А. Г.,"Матем. сб.", 1953, т. 33, в. 1, с. 13-26; [3] D i v i n s k у N.. Rings and radicals, Toronto, 1965;[4] A r t i n E., N e s b i t t С., Т h o r a l l R., Rings with minimum condition, Ann Arbor, 1944; [5] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967, М., 1969, с. 28-32; [6] Кольца, т. 2, Новосиб., 1973, с. 3-6; [7] А н д р у н а к и е в и ч В. А., Р я б у х и н Ю. М., Радикалы алгебр и структурная теория, М., 1979; [8] Ж е в л а к о в К. А., С л и н ь к о А. М., Ш е с т а к о в И. П., Ширшов А. И., Кольца, близкие к ассоциативным, М., 1978.

В.А. Андрунакиевич.

В классе алгебр Ли обычно радикалом наз. наибольший разрешимый идеал, т. е. разрешимый идеал r содержащий все разрешимые идеалы данной алгебры Ли. В конечномерной алгебре Ли существует также наибольший нильпотентный идеал n (называемый иногда нильрадикалом), к-рый совпадает с наибольшим идеалом, состоящим из нильпотентных элементов, а также с множеством таких , что присоединенный оператор adx содержится в Р. ассоциативной алгебры линейных преобразований пространства , порожденной присоединенной алгеброй Ли . Рассматривается также нильпотентный радикал алгебры Ли - это множество таких что s(x) = 0 для любого неприводимого конечномерного линейного представления s алгебры . Нильпотентный Р. совпадает также с наибольшим из идеалов, представляемых нильпотентными операторами при любом конечномерном линейном представлении алгебры При этом . Если характеристика основного поля равна 0, то - это наименьший из идеалов , для к-рых - редуктивная алгебра Ли. В этом случае нильпотентный Р. связан с радикалом r, соотношениями


любое дифференцирование алгебры Ли переводит и . Нильрадикал и нильпотентный Р., однако, не являются Р. в смысле общей теории Р. колец и алгебр.

Лит.:[1] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [2] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар "Софус Ли", пер. с франц., М., 1962; [3] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958.А. Л. Онищик.


  1. радикалы—РАДИКАЛЫ см.также ЛЕВЫЕ ПРАВЫЕ ФАНАТИЗМ ФАШИЗМ НАЦИЗМ Радикальные лозунги нужны для умиротворения радикальных настроений. Ежи Лещинский Радикал это человек который н...Англо-русский словарь афоризмов, русские афоризмы
  2. радикалы—корень РАДИКАЛ окончание Ы Основа слова РАДИКАЛВычисленный способ образования слова Бессуфиксальный или другой РАДИКАЛ Ы Слово Радикалы содержит следующие морфемы ил...Морфемный разбор слова по составу
  3. радикалы—от лат. radix корень член политических партий требующих в своих программах проведения реформ в рамках существующего общественнополитического строя сторонник коренного р...Политическая наука - Словарь-справочник
  4. радикалы—РАДИКАЛЫРадикальные лозунги нужны для умиротворения радикальных настроений. Ежи Лещинский Радикал это человек который не только знает все ответы но и трудится над создан...Сводная энциклопедия афоризмов
  5. радикалы—РАДИКАЛЫ в химии атомы общие для целого ряда соединений различаются простые и сложные р. Словарь иностранных слов вошедших в состав русского языка. Павленков Ф....Словарь иностранных слов русского языка
  6. радикалы—Сторонники радикализма члены радикальных партий....Словарь политических терминов проекта Me-i-oni