РАВНОВЕСИЯ СООТНОШЕНИЕ

соотношение, выражающее связь между ростом функции f(z), мероморфной при , и ее распределением значении (см.Распределения значений теория).Каждая мероморфная функция f(z) обладает следующим свойством равновесия: сумма ее считающей функции N(r, а, f), характеризующей плотность распределения a-точек f(z), и функции приближения т(r, а, f), характеризующей скорость среднего приближения f(z) к данному числуа,остается инвариантной для различных значений a.Наиболее эффективным Р. с. становится при использовании сферич. метрики.

Пусть

означает сферич. расстояние между двумя числами аи bи пусть для каждого комплексного числа а

где

аn=n(0, а, f) означает кратность а-точки f(z) при z=0. При функция отличается от неванлин-новской функции приближения т(r, а, f) на ограниченное слагаемое. Поэтому на окружности |z| =r < Rфункцияпо-прежнему характеризует среднюю скорость приближения f(z) к числуа.Имеет место следующее утверждение. Для каждого значения r, 0rлюбого комплексного числа аиз расширенной комплексной плоскости и для произвольной мероморфной при функции f(z) выполняется равенство (соотношение равновесия):

где

a n(t, a, f) означает число a-точек f(z), попавших в круг .

После основополагающих работ Р. Неванлинны [1] Р. с. были перенесены на р-мерные целые кривые (см. [3]) и на голоморфные отображения (см. [4], [5]).

Лат.: [1] Nevanlinna R., Analytic functions, N. Y.- В., 1970; [2] Виттих Г., Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям, пер. с нем., М., 1960; [3] Wеуl Н., Mcromorphic functions and analytic curves, Princeton, 1943; [4] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [5] Гриффитс Ф., Кинг Д ж., Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий, [пер. с англ.], М., 1976.В. П. Петренко.