ПЛАНШЕРЕЛЯ ТЕОРЕМА
для каждой квадратично суммируемой функции интеграл
сходится вL2к нек-рой функции при ,
то есть
При этом сама функция f(х).представляется как предел вL2при интегралов
то есть
Кроме того, справедливо соотношение
(формула Парсеваля - Планшереля).Функция
где предел понимается в смысле сходимости вL2,наз. преобразованием Фурье функции f и обозначается обычным символом
(1)
при этом интеграл (1) понимается в смысле главного значения на в метрикеL2. Аналогично истолковывается равенство
(2)
Для функции интегралы (1) и (2) существуют в смысле главного значения почти при всехх.
Функции f и удовлетворяют почти при всех хтакже соотношениям
Если обозначить преобразование Фурье, - его обращение, то П. т. перефразируется так: и - взаимно обратные унитарные операторы вL2.
П. т. установлена М. Планшерелем (М. Plancherel, 1910).
Лит.:[1] Зигмунд А,, Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 2, М., 1965; [2] Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.- Л., 1948; [3] Бохнер С., Лекции об интегралах Фурье, пер. с англ., М., 1902. П. И. Лизоркин.