Математическая энциклопедия

ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

- функция, определенная на множестве значений заданной функции и ставящая в соответствие каждому его элементу множество всех тех элементов из области определения рассматриваемой функции, к-рые в него отображаются, т. е. его полный прообраз. Если данная функция обозначена символом f, то О. ф. обозначается символом . Таким образом, если и - множество значений функции f, ,то для любого справедливо равенство

Если для любого элемента его полный прообраз состоит в точности из одного элемента , т. е. отображение является биекцией, то О. ф. является однозначной, в противном случае - многозначной.

Если множества Xи Yявляются подмножествами числовой прямой (или вообще нек-рых упорядоченных множеств), то условие строгой монотонности функцииfнеобходимо и достаточно для существования обратной однозначной функции.

По ряду свойств функции f можно судить о соответствующих свойствах О. ф. Так, напр., если функция f строго монотонна и непрерывна на нек-ром промежутке числовой оси, то ее О. ф. также монотонна и непрерывна на соответствующем промежутке. Если взаимно однозначное отображение бикомпакта на топологическое хаусдорфово пространство непрерывно, то и обратное отображение непрерывно, т.е. рассматриваемое отображение является гомеоморфизмом. Когда отображение f является биективным линейным ограниченным оператором, отображающим банахово пространство Xна банахово пространствоY,то обратный оператор также является линейным и ограниченным.

Пусть f - непрерывное отображение замыкания i ограниченной области с достаточно хорошей границей в , f - дифференцируемо в Gи отображает границу Gна границу f(G) и множество нулей его якобиана образует изолированное множество; тогда если отображение f взаимно однозначно на границе областиG,то оно взаимно однозначно и на Для существования локального обратного отображения в окрестности данной точки достаточно необращения в нуль якобиана отображения в нек-рой окрестности этой точки. Если - дифференцируемое отображение с якобианом, неравным нулю во всех точках , то для любой точки существует такая ее окрестность , что сужение отображения f на окрестности Uвзаимно однозначно отображает множество Uна нек-рую окрестность точки и обратное отображениетакже дифференцируемо (на V).Эта теорема обобщается и на бесконечномерный случай: пусть Xи Y - полные нормированные пространства,- открытое множество, - непрерывно дифференцируемое отображение. Если - обратимый элемент пространства линейных ограниченных операторов производная Фреше),то существуют-такие окрестности соответственно точекх0и в пространствах Xп. Y, что отображение является непрерывно дифференцируемым гомеоморфизмом вместе со своимобратным отображением.Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М.. 1981; [2] Шварц Л., Анализ, пер. С франц., т. 1, М., 1972.

Л. Д. Кудрявцев.


  1. обратная функция—ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ функция iобращающая зависимость выражаемую данной функцией. Так если у i fх iданная функция то переменная х iрассматриваемая как функция переменной у х...Большая советская энциклопедия
  2. обратная функция—Функция обращающая зависимость выражаемую данной функцией. Так если у f emxem данная функция то переменная хem рассматриваемая как функция переменной уem х em yem явля...Большая Советская энциклопедия II
  3. обратная функция—фция обращающая зависимость выражаемую данной фцией. Если дана фция у i fxi то О. ф. будет х Фу. Напр. для у kx i bk не равно О. ф. будет х i у bki a для у ехsup i б...Большой энциклопедический политехнический словарь
  4. обратная функция—функция обращающая зависимость выражаемую даннойфункцией. Так если y f x данная функция то переменная храссматриваемая как функция переменной у х y является обратной п...Большой энциклопедический словарь II
  5. обратная функция—ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ функция обращающая зависимость выражаемую данной функцией. Так если y f x данная функция то переменная х рассматриваемая как функция переменной у х y ...Большой энциклопедический словарь III
  6. обратная функция—ОБРАТНАЯ функция функция обращающая зависимость выражаемую данной функцией. Так если y f x данная функция то переменная х рассматриваемая как функция переменной у х y...Большой Энциклопедический словарь V
  7. обратная функция—функция обращающая зависимость выражаемую данной функцией. Так если y fx i данная функция то переменная хi рассматриваемая как функция переменной ух фуi является обратн...Естествознание. Энциклопедический словарь
  8. обратная функция—fonction inverse...Политехнический русско-французский словарь
  9. обратная функция—inverse function...Русско-английский машиностроительный словарь
  10. обратная функция—inverse function...Русско-английский морской словарь
  11. обратная функция—inverse function inverse function...Русско-английский политехнический словарь
  12. обратная функция—мат. inverse function...Русско-английский психологический словарь
  13. обратная функция—inverse function...Русско-английский словарь по машиностроению
  14. обратная функция—inverse function...Русско-английский словарь по физике
  15. обратная функция—inverse inverse function...Русско-английский словарь по электронике
  16. обратная функция—inverse function...Русско-английский строительный словарь
  17. обратная функция—inverse function...Русско-английский технический словарь
  18. обратная функция—адваротная функцыя...Русско-белорусский математический словарь
  19. обратная функция—funzione inversa...Русско-итальянский политехнический словарь
  20. обратная функция—Umkehrfunktion...Русско-немецкий политехнический словарь
  21. обратная функция—ters fonksiyon ters ilev...Русско-турецкий словарь по строительству и архитектуре
  22. обратная функция—обернена функця...Русско-украинский политехнический словарь
  23. обратная функция—inverzn funkce pevrcen funkce...Русско-чешский словарь
  24. обратная функция—ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ функция обращающая зависимость выражаемую данной функцией. Так если y f x данная функция то переменная х рассматриваемая как функция переменной у х y ...Современный энциклопедический словарь
  25. обратная функция—ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ inverse function Функция обратная какойлибо другой функции. Если уfxem то обратная функция может быть записана так хfуem. Обратная функция от обратной фу...Экономический словарь
  26. обратная функция—ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ функция обращающая зависимость выражаемую данной функцией. Так если y f x данная функция то переменная х рассматриваемая как функция переменной у х y...Энциклопедический словарь естествознания