ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВО
- пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играютФреше пространства(типаFS)и сильно сопряженные к ним (типаDFS).Пространство типаFSесть проективный предел компактной последовательности банаховых пространств и его сопряженное есть пространство типаDFS.Пространство типаDFSесть индуктивный предел компактной последовательности банаховых пространств и его сопряженное есть пространство типаFS.Пространства типовFSиDFS- полные, сепарабельные, рефлексивные и монтелевские. В пространствах типовFS n DFSслабая и сильная сходимости совпадают.
Примеры пространств основных и обобщенных функций.
1) Пространства S иS'.Пространство основных (быстро убывающих) функций состоит из -функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой степени . Это пространство есть проективный предел последовательности банаховых пространствSp, p=0, 1, . . ., состоящих из -функций, с нормой
причем вложение компактно; SтипаFS.
Сопряженное пространство (пространство обобщенных функций медленного роста) есть индуктивный предел последовательности банаховых пространств причем вложение компактно, так что тинаDFS.Из (слабой) сходимости последовательности обобщенных функций вSследует сходимость по норме функционалов в нек-ромS'p.В пространствах и операция преобразования Фурье есть изоморфизм.
2) Пространства и (О - открытое множество в ).Пространство основных функций состоит из финитных в О -функций (см.Обобщенной функции носитель).Оно снабжается топологией строгого индуктивного предела (возрастающей) последовательности пространств типа , где - строго возрастающая последовательность открытых множеств, исчерпывающая Пространство есть проективный предел (убывающей) последовательности банаховых пространств состоящих из функций с носителем в , с нормой причем вложение компактно. Пусть - пространство, (сильно) сопряженное с D(О);.Последовательность основных функций из сходится в , если она сходится в каком-либо пространстве . Последовательность обобщенных функций изD'(О)сходится вD'(О),если она сходится на каждом элементе из D(О)(слабая сходимость). Для того чтобы линейный функционал на D(О)был обобщенной функцией изD'(О),необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества существовали числа Ки ттакие, что
Пространство - (слабо) полное: если последовательность обобщенных функций такова, что для любой из D(О)числовая последовательность сходится, то функционал
принадлежитD'(О).Обобщенная функция изD'(О)имеет произвольный "рост" в окрестности границыдО,в частности любая функцияопределяет обобщенную функцию из по формуле
3) Пространства . Пусть - банахово пространство, состоящее из всех функций голоморфных в трубчатой области с нормой
вложение компактно. Пусть Ф - индуктивный предел (возрастающей) последовательности пространств Пространство Ф типаDFS,а его сопряженное Ф' типаFS.Элементы Ф являются Фурье - гиперфункциями; Ф' изоморфно также пространству
Лит.:[1] Schwartz L., Theoric dcs distributions, t. 1-2, P., 1950-51; [2] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [3] Дьёдонн е Ж., Шварц Л., "Математика", 1958, т. 2, №2, с. 77- 107; [4] Гротендик А., там же, № 3, с. 8!-127;[5] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Пространства основных и обобщенных функций, М., 1958: [6]Yoshinaga К., "J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A", 1957, v. 21, p. 89-98; [7] Кawai Т., "J. Fас. Sci. Univ. Tokyo Sec. 1A", 1970, v. 17, p. 467-517; [8] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической фивике, 2 изд., М., 1979.
В. С.Владимиров.