ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ

- слабое расширение операции обычного дифференцирования. Пустьобобщенная функция.Обобщенная (слабая) производная

порядка определяется равенством

Так как операция линейна и непрерывна из D(О)в D(О), то функционал определяемый правой частью равенства (*), есть обобщенная функция из .Если при всех таких, что

Имеют место следующие свойства О. ф. п.: операция линейна и непрерывна изD'(О)вD'(О);любая обобщенная функция изD'(О)бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле); дифференцирование He-зависит от порядка; справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведенияаf, где

Пусть Может случиться, что нек-рая обобщенная производная может быть отождествлена с нек-рой (О)-функцией. В этом случае -обобщенная производнаятипа функции.

Примеры. 1)где - функция Хевисайда и d - функция Дирака.

2) Общее решение уравнения в классе есть произвольная постоянная.

3) Тригонометрический ряд

сходится вD'и его можно дифференцировать вD'почленно бесконечное число раз.

Лит.:[1] Schwartz L., Theorie des distributions, v. 1, P., 1950; [2] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962,

В.С. Владимиров.