МОДУЛЕЙ КАТЕГОРИЯ
- категория mod-R, объекты к-рой - правые унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом Rс единицей, а, морфизмы - гомоморфизмы R-модулей. Эта категория является важнейшим примеромабелевой категории.Более того, для всякой малой абелевой категории существует полное точное вложение в нек-рую М. к.
Если - кольцо целых чисел, то mod-Rесть категория абелевых групп, а если, R = D-тело (поле), то mod-R есть категория векторных пространств надD.
Свойства М.к. mod-R отражают ряд важных свойств кольца R(см.Гомологическая классификация колец),с этой категорией связан ряд важных гомологич. инвариантов кольца, в частности егогомологические размерности.Центр М. к. mod-R (т. е. множество естественных преобразований тождественного функтора категории) изоморфен центру кольцаR.
В теории колец, гомологич. алгебре и алгебраич. K-теории изучаются различные подкатегории М. к., В частности подкатегория конечно порожденных проективных R-модулей и ассоциированные с нейK-функторы (см.Алгебраическая К-теория).По аналогии с двойственностью Понтрягина изучаются двойственности между полными подкатегориями М. к., в частности между подкатегориями конечно порожденных модулей. Напр., установлено, что если Rи S- нёте-ровы кольца и имеет место двойственность между конечно порожденными правыми R-модулями и конечно порожденными левыми S-модулями, то существует би-модуль такой, что данная двойственность эквивалентна двойственности, определяемой функторами
кольцо эндоморфизмов изоморфноS,а изоморфноR,бимодульU- конечно порожденный инъективный кообразующий (и как R-модуль, и как S-модуль), кольцо Rполусовершенно. Наиболее важным классом колец, возникающим при рассмотрении двойственности модулей, является классквазифробениусовых колец.Артиново слева кольцо Rбудет квази-фробениусовым тогда и только тогда, когда отображение
определяет двойственность категорий левых и правых конечно порожденных R-модулей.
Лит.:[1] Басс X., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., M.,1973; [2] Букур И., Деляну А., Введение в теорию категории и функторов, пер. с англ., М., 1972; [3] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, т. 1-2, пер. с англ., М., 1977 - 79.
А. В. Михалев.