МАКСИМУМА И МИНИМУМА ТОЧКИ

точки, в к-рых действительная функция принимает наибольшее или наименьшее значения на области определения; такие точки наз. также точками абсолютного максимума или абсолютного минимума. Если функция f определена на топологич. пространстве X, то точках₀наз. точкой локального максимума (локального минимума), если существует такая окрестность точких₀,что для сужения рассматриваемой функции на этой окрестности точках₀является точкой абсолютного максимума (минимума). Различают точки строгого и нестрогого максимума (мини м у м а) (как абсолютного, так и локального). Напр., точка наз. точкой нестрогого (строгого) локального максимума функции f, если существует такая окрестность точких₀,что для всех выполняется неравенство (соответственно f(х)x₀). )/

Для функций, определенных на конечномерных областях, в терминах дифференциального исчисления существуют условия и признаки того, чтобы данная точка была точкой локального максимума (минимума). Пусть функция f определена в нек-рой окрестности тючки x₀числовой оси. Еслиx₀-точка нестрогого локального максимума (минимума) ив этой точке существует производная f'(x₀),то она равна нулю.

Если заданная функция f дифференцируема в окрестности точкиx₀,кроме, быть может, самой этой точки, в к-рой она непрерывна, и производная f' по каждую сторону от точкиx₀в этой окрестности сохраняет постоянный знак, то для того чтобыx₀была точкой строгого локального максимума (локального минимума), необходимо и достаточно, чтобы производная меняла знак с плюса на минус, т.е. чтобы f' (x)>0 при x<.>x₀и f'(x)<0 при x>x₀(соответственно с минуса на плюс:f'(х)<0при x<x₀и f'(x)>0 прих>х₀).Однако не для всякой функции, дифференцируемой в окрестности точкиx₀,можно говорить о перемене знака производной в этой точке. . '

Если функция fимеет в точкех₀тпроизводных, причем то для того чтобых₀была точкой строгого локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы те было четным и чтобы f^(m)(x₀)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f^(m)(x₀)>0.

Пусть функция f(x₁..., х_п]определена в n-мерной окрестности точки и дифференцируема в этой точке. Если x⁽⁰⁾является точкой нестрогого локального максимума (минимума), то дифференциал функции f в этой точке равен нулю. Это условие равносильно равенству нулю в этой точке всех частных производных 1-го порядка функции f. Если функция имеет 2-е непрерывные частные производные в точке x⁽⁰⁾, все ее 1-е производные обращаются в x⁽⁰⁾в нуль, а дифференциал 2-го порядка в точке x⁽⁰⁾представляет собой отрицательную (положительную) квадратичную форму, то x⁽⁰⁾является точкой строгого локального максимума (минимума). Известны условия для М. и м. т. дифференцируемых функций, когда на область изменения аргументов наложены определенные ограничения: удовлетворяются уравнения связи. Необходимые и достаточные условиям максимума (минимума) действительной функции, область определения к-рой имеет более сложную структуру, изучаются в специальных разделах математики: напр., ввыпуклом анализе, математическом программировании(см. такжеМаксимизация иминимизация функций).М. и м. т. функций, определенных на многообразиях, изучаются ввариационном исчислении в целом,а М. и м. т. для функций, заданных на функциональных пространствах, т. е. для функционалов, ввариационном исчислении.Существуют также различные методы численного приближенного нахождения М. и м. т.

Лит.:[1] И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1,М., 1971; [2] КудрявцевЛ. Л. Д. Кудрявцев.