Математическая энциклопедия

МАКСИМАЛЬНЫЙ ТОР

- 1) М. т. линейной алгебраической группыG -алгебраическая подгруппа вG,являющаясяалгебраическим тороми не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа. Пусть, далее, группа Gсвязна. Объединение всех М. т. группы Gсовпадает с множеством всех полупростых элементов группы G(см.Жордана разложение),а пересечение - с множеством всех полупростых элементов центра группы G. Всякий М. т. содержится в нек-ройБореля подгруппегруппы G. Централизатор М. т. являетсяКартина подгруппойгруппы G; он всегда связен. Любые два М. т. группы G сопряжены в G. Если группа G определена над полемk,то в G существует М. т., также определенный над k;его централизатор тоже определен надk.

Пусть G -редуктивная группа,определенная над полемk.Среди всех алгебраич. подгрупп в G, являющихся расщепимыми над kалгебраич. торами, также можно рассматривать максимальные подгруппы. Получающиеся таким образом максимальные k-расщепимые торы сопряжены надk.Общая размерность таких торов наз. k-рангом группы G и обозначается rkkG. Максимальный k-расщепимый тор не является, вообще говоря, М. т., т. е. rkkG, вообще говоря, меньше ранга G (равного размерности М. т. в G).. Если rkkG=0, то G наз. анизотропной над kгруппой, а если rkkGсовпадает с рангом G, то G наз. расщеп и мой над kгруппой. Если kалгебраически замкнуто, то Gвсегда расщепима надk.В общем случае G всегда расщепима над сепарабельным замыканиемk.

Примеры. Пустьk -поле и - его алгебраич. замыкание. Группа невырожденных матриц порядка пс коэффициентами в (см.Классическая группа, Полная линейная группа).определена и расщепима над простым подполем поляk.Подгруппа всех диагональных матриц является М. т. в G.

Пусть характеристика поля kотлична от 2. ПустьV-n-мерноевекторное пространство над a F- невырожденная квадратичная форма наV,определенная над k(последнее означает, что в нек-ром базисе e1, ...,еппространства Vформа является многочленом отx1, ..., хпс коэффициентами в k).Пусть G-группа всех невырожденных линейных преобразований пространстваV,имеющих определитель 1 и сохраняющих формуF.Она определена надk.ПустьVk-линейная оболочка над kвекторов e1, ...,еп;она является k-формой пространстваV.В Vвсегда существует базис f1, ...,fпв к-ром форма имеет вид

гдер=n/2,если и четно, и p=(n+1)/2, если и нечетно. Подгруппа в G, состоящая из тех элементов, к-рые в этом базисе имеют матрицу вида ||аij||, гдеаij=0 при

при i=1, 2, ...,р, является

М. т. в G (так что ранг Gравен целой части числап/2).Указанный базис не лежит, вообще говоря, вVk.Однако вVkвсегда существует базис h1, ...,hп,в к-ром квадратичная форма имеет вид

где F0- квадратичная форма, не представляющая над kнуля (т. е. такая, что уравнениеF0=0имеет в kтолько нулевое решение) (см.Витта разложение).Подгруппа в G, состоящая из всех элементов, к-рые в базисе h1, ...,hпимеют матрицу вида ||аij||, гдеаij=0 при

при i=1, ..., qи при

i=q+l, ...,п-q,является максимальным k-расще-пимым тором в G (так что rkkG=qи G расщепима тогда и только тогда, когда qравно целой части п/2).

Рассмотрение М. т. позволяет сопоставить редуктив-ной группе G нек-руюкорневую систему,что является основой классификации редуктивных групп. Аименно, пусть - алгебра Ли группыG к Т -фиксированный М. т. в G. Присоединенное представление тора Тв пространстве рационально и диагонализи-руемо, так что раскладывается в прямую сумму весовых подпространств этого представления. Множество ненулевых весов этого представления (рассматриваемое как подмножество своей линейной оболочки в векторном пространстве гдеX(Т)-группа рациональных характеров тора Т).оказывается (приведенной) корневой системой. Аналогично определяется иотносительная система корней:если G определена над k, aS -максимальныйk-расщепимыйтор в G, то множество ненулевых весов присоединенного представления Sв образует корневую систему (вообще говоря, неприведенную) в нек-ром подпространстве пространства См. такжеВейля группа,Полупростая группа.

Лит.:[1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Арифметические группы и автоморфные функции, пер. с англ. и франц., М., 1969.

2) М. т. с в я з н о й вещественной группы Ли G - связная компактная коммутативная подгруппа Ли Тв G, не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа. Как группа Ли, М. т. Тизоморфен прямому произведению нескольких экземпляров связной одномерной компактной вещественной группы Ли, к-рая, с точностью до изоморфизма, существует только одна и может быть отождествлена с "окружностью" S(мультипликативной группой всех комплексных чисел, равных по модулю 1). Всякий М. т. группы G содержится в максимальной компактной подгруппе группы G; любые два М. т. группы G (так же, как и любые две ее максимальные компактные подгруппы) сопряжены в G. Это в известной степени сводит изучение М. т. к тому случаю, когда G компактна.

Пусть, далее, G является компактной группой. Объединение всех М. т. группы G совпадает с G, а пересечение - с центром G. Алгебра Ли М. т. Тявляется максимальной коммутативной подалгеброй в алгебре Ли группы G, и всякая максимальная коммутативная подалгебра в так получается. Централизатор М. т. Г в G совпадает сТ.Присоединенное представление Тв диагонализируемо, и все ненулевые веса этого представления образуют в пространстве

где X(Т)-группа характеров тораТ,корневую систему. Последнее обстоятельство служит основой классификации компактных групп Ли.

Лит.:[1] П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [2] Ж е л о б е н к о Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970: [3] X е л г а с о н С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.В. Л. Попов.



  1. максимальный тор—максимальний тор...Русско-украинский политехнический словарь