МАКСИМАЛЬНЫЙ ИДЕАЛ
максимальный элемент в частично упорядоченном множестве тех или иных собственных идеалов соответствующей алгебраич. системы. М. и. играют существенную роль в теории колец. Всякое кольцо с единицей обладает левыми (а также правыми и двусторонними) М. и. ФактормодульM-R/Iлевого (соответственно правого) Л-модуля Л по левому (соответственно правому) М. и. I является неприводимым; гомоморфизм j кольца Л в тело эндоморфизмов модуля М- представление кольца Л. Ядро всех таких представлений, т. е. множество элементов кольца, переходящих в нуль при всех его представлениях, наз. радикалом Джекоб с она кольца Л, оно совпадает с пересечением всех левых (а также всех правых) М. и.
В кольце R = С [а, b] непрерывных действительных функций на отрезке [а, b] множество всех функций, обращающихся в нуль в фиксированной точке x0, является М. и. Такими идеалами исчерпываются все М. и. кольца Л. Это соответствие между точками отрезка и М. и. кольца Л привело к построению различных теорий, представляющих кольца, как кольца непрерывных функций на нек-ром топологич. пространстве.
Зариского топология,вводимая на множестве простых идеалов Spec Л кольца Л, обладает слабыми свойствами отделимости (т. е. существуют незамкнутые точки). Аналогичная топология в некоммутативном случае вводится на множестве Spec R примитивных идеалов, являющихся аннуляторами неприводимых R-модулей. Множество М. и., а в некоммутативном случае - примитивных М. и., образует подпространство к-рое удовлетворяет аксиоме отделимости Т1.
Лит.:[1]ДжекоОсон Н., Строение колец, пер.с англ., М., 1961.В. Е. Говоров.
В теории полугрупп М. и. играют меньшую роль, нежелиминимальные идеалы.ЕслиМ -максимальный двусторонний идеал (м. д. и.) полугруппыS,то либоМ=S{а}, где а - нек-рый неразложимый элемент из S(т. е. ), либо Месть простой иде-а л (т. е. для любых идеалов А, Виз следует или ); отсюда следует, что в Sвсякий м. д. и. будет простым тогда и только тогда, когдаS2=S.В полугруппе Sс м. д. и. простой идеал будет максимальным тогда (и, очевидно, только тогда), когда Рсодержит пересечение I всех м. д. и. изS.Фактор-полугруппа РисаS/Iесть 0-прямое объединениеполугрупп, каждая из к-рых либо 0-простая, либо двухэлементная нильпотентная.
Иногда полугруппа Sс собственными левыми идеалами может иметь среди таких идеалов наибольшийL*(т. е. содержащий все другие собственные левые идеалы); это, напр., выполняется, если Sобладает правой единицей. Если в этом случае множествоSL*неодноэлементно, то оно является подполугруппой. В периодич. полугруппе 5 из существованияL *вытекает, чтоL*будет (наибольшим собственным) двусторонним идеалом. Другой пример такой же ситуации доставляют подгруппы с отделяющейся групповой частью (см.Обратимый элемент),не являющиеся группами.
Лит.:[1] S с h w а r z S., "Чехосл. матем. ж.", 1953, т. 3, №2, с. 139-53; т. 4, с. 305-83; [2] е г о же, там же, 1969, т. 19, № 1, с. 72-9; [3] G r i 1 1 е t P. A., "Amer. Math. Monthly", 1969, v. 76, № 5, p. 503-09.Л. Н. Шеврин.