ЛОКАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ГРУППА

топологическая группа, в к-рой групповые операции определены лишь для элементов, достаточно близких к единице. Введение Л. т. г. было инспирировано изучением локальной структуры топологич. групп (т. е. их структуры в сколь угодно малой окрестности единицы) (см. [1]). Точное определение Л. т. г. состоит в следующем.

ПустьG -топологич. пространство,е -нек-рый его элемент, - нек-рые открытые подмножества в G и соответственно, __ - нек-рые непрерывные отображения. Тогда система наз. Л. т. г., если выполнены условия:

Обычно Л. т. г. обозначают просто через G;элемент m((g, h)).обозначают черезghи наз. произведением gи h;элемент i(g).обозначают черезg^-1и наз. обратным к g; элемент еназ. единицей Л. т. г.G.Если то говорят, что произведение gиhопределено; если то говорят, что для gопределен обратный элемент.

Эти (определенные не для любых элементов) одера-ции на Gиндуцируют структуру Л. т. г. на любой окрестности единицы евG.Пусть G₁и G₂- две Л. т. г. Локальным гомоморфизмом G₁в G₂наз. такое непрерывное отображение f нек-рой окрестностиU₁единицые₁Л.т. г.С₁в нек-рую окрестностьU₂единицые₂Л. т. г. G₂, что f(e₁)=e₂и для любых элементовg,.произведение к-рых в GJ определено, произведение элементов f(g).и f(h).в G₂также определено и Два локальных гомоморфизма G₁в G₂наз. эквивалентными, если они совпадают в нек-рой окрестности единицы Л. т. г. G₁. Пусть локальный гомоморфизм f является гомеоморфизмом окрестностейU₁иU₂, а обратное отображение является локальным гомоморфизмом Л. т. г. G₂в Л. т. г. G₁.Тогда f наз. локальным изоморфизмом Л. т. г. G₁и Л. т. г. G₂. Две Л. т. г., между к-рыми существует локальный изоморфизм, наз. локально изоморфными. Напр., любая Л. т. г. локально изоморфна любой своей окрестности единицы.

Примером Л. т. г. может служить любая топологич. группа (и, значит, любая ее окрестность единицы). В теории Л. т. г. принципиальным является вопрос о том, насколько общий характер имеет этот пример, т. е. является ли всякая Л. т. г. локально изоморфной некоторой топологич. группе. В общем случае ответ отрицателен (см. [4]), но в важном частном случае конечномерныхЛи локальных групп -положителен.

Как и в теории топологич. групп, в теории Л. т. г. можно определить понятия (локальных) подгрупп, нормальных делителей, смежных классов, факторгрупп. Напр., пусть - Л. т. г., иН -такое подмножество в G содержащеее,что в нек-рой окрестности Uединицые Е Gмножество замкнуто. Пусть также для любого элемент i(g).принадлежитН.а множество

открыто в (в предположении, что Нснабжено топологией, индуцированной с G). Тогда система

является Л. т. г., к-рая наз. локальной подгруппой в Л. т. г. G. Определения нормального делителя, смежных классов по подгруппе, факторгруппы см. в [1].

Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [2] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [3] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ, и франц., М., 1969; [4] Lie S., Engel F., Theorie der Transformationsgruppen, 2 Aufl., Bd 1-3, Lpz., 1930.

В. Л. Попов.