КРАТНОСТЬ ВЕСА
М представления р алгебры Ли t в векторном пространстве V - размерностьnMвесового подпространства соответствующего весу М (см.Веспредставления).
Пусть t -Картана подалгебраполупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, а - ограничение на t конечномерного представления алгебры . В этом случае пространство Vявляется прямой суммой весовых подпространств алгебры t, соответствующих различным весам. Эти веса и их кратности часто наз. весами и кратностями весов представления алгебры .
Пусть представление неприводимо и - его старший вес (см.Картана теоремао старшем векторе). Тогда Для весов, отличных от старшего, известно несколько способов вычисления их кратностей. Два из них являются классическими результатами теории представлений - формула Фрейденталя и формула. Костанта.
1. Формула Фрейденталя (см. [4], [1]). Пусть ( , ) - естественное скалярное произведение на сопряженном к пространстве индуцированноеКиллинга формойна - система корней алгебры относительно t и > - отношение частичного порядка на определенное какой-либо фиксированной системой простых корней Тогда
где и, по определению, еслиNне вес представления Для любого веса множитель при в левой части формулы отличен от нуля.Эта формула имеет рекуррентный характер: она позволяет выразить через если N>М. Поскольку известно, что формула Фрейденталя дает эффективный способ нахождения кратностей
2. Формула Костанта (см. [5], [1]). Пусть
Множество Г является подгруппой по сложению в инвариантной относительно группы ВейляW,к-рая действует в естественным образом. Элемент а также все веса представления s лежат в Г. Пусть для каждого число Р(М) равно количеству способов записи М в виде суммы положительных корней, т. е. Р(М) - это число решений уравнения
где при всех а. Функция Р(М) на Г наз. функцией разбиения. Тогда
Практическое использование приведенных выше формул связано с громоздкими вычислениями. Для полупростых алгебр ранга 2 имеются более удобные геометрические правила подсчета К. в. (см. [2]).
Лит.:[1] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [2] Ж е л о б е н к о Д. П., Лекции по теории групп Ли, Дубна, 1965; [3] е г о же, Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [4] Freudenthal Н., "Indag. Math.", 1954, v. 16, p. 369-76, 487-91; 1956, v. 18, p. 511-14; i5] Кostant В., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1959, v. 93, p. 53-73.В. Л. Попов.