КАРАТЕОДОРИ ФЕЙЕРА ЗАДАЧА

- задача о продолжимости многочлена от z до степенного ряда, представляющего собой регулярную в круге |z|<1 функцию, реализующую наименьшее значение супремума модуля в круге |z|<1 в классе всех регулярных в |z|<1 функций, к-рые имеют начальным отрезком своего разложения в ряд Маклорена данный многочлен. Решение этой задачи дается следующей теоремой.

Теорема Каратеодори-Фейера [1]. Пусть - данный многочлен,Существует единственная рациональная функция R(z)= B(z,с₀,с₁,..., c_n-1) вида

регулярная в |z|<1 и имеющая в своем разложении в ряд Маклорена ппервых коэффициентов, равных соответственнос₀,с₁, ..., c_n-1.Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение

в классе всех регулярных в круге |z|и указанное наименьшее значение равно l=l(с₀,с₁,...,с_n-1).

Число l(с₀, c_t,...,c_n-1) paвно наибольшему положительному корню уравнения 2n-й степени

Если с₀, с₁,..., с_n-1- действительные числа, то l(с₀, c_l. ..., c_n-1) является наибольшим из абсолютных значений корней уравнения n-й степени

Лит.:[1] Caratheodory С, Fejer L. "Rend Circolo mat. Palermo", 1911, v. 32, p. 218-39; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966.

Г. В.Кузьмина.