КАРАТЕОДОРИ ТЕОРЕМА

о конформном отображении областей с переменными границами - один из основных результатов теории конформных отображений областей с переменными границами; получен К. Каратеодори [1].

Пусть дана последовательность односвязных областейВ_п, п=1,2, . . ., плоскости z, содержащих фиксированную точку z₀, Если существует круг |z-z₀|0, принадлежащий всем областямВ_п,то ядром последовательностиВ_п, n= 1, 2, ..., относительно точки z₀наз. наибольшая областьВ,содержащая точку z₀и обладающая тем свойством, что для всякого компактаЕ,принадлежащего В, существует такое числоN,что Епринадлежит областямВ_пприНаибольшая область понимается в том смысле, что она содержит любую другую область, обладающую тем же свойством. Если указанного круга не существует, то под ядром ВпоследовательностиВ_n, п=1, 2, . . ., понимается точка z₀(в этом случае говорят, что последовательность областейВ_п, n=1, 2, ..., имеет вырожденное ядро). Последовательность областейВ_п, n=1, 2,..., сходится к ядруВ,если любая последовательность изВ_пимеет своим ядром такжеВ.

Теорема Каратеодори. Пусть дана последовательность функций z=f_n(x), f_n(x₀)=z₀,f'_n(x₀)>0, n=1,2,..., регулярных и однолистных в круге |z-z₀| <1 и отображающих |z-z₀| <1 соответственно на областиВ_п.Для того чтобы функцийf_n(z), n=1, 2,..., сходились в круге |x-x₀| <1 к конечной функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы последовательность областейВ_п, n=1, 2,..., сходилась к ядруВ,к-рое есть либо точка z₀, либо область, имеющая более одной граничной точки.При этом сходимость равномерна внутри круга |x-x₀|<1. Если предельная функция то она однолистно отображает круг |x-x₀| <1 на ядроВ,а обратные функции j_n(z),n=1,2,. .., равномерно сходятся внутри Вк функции j(z), обратной к f(x).

Аналогично рассматривается вопрос о сходимости последовательности функций, однолистных в многосвязных областях. Ниже приводится одна из таких теорем для неограниченных областей. Пусть дана последовательность любых областейВ_п, n=1, 2,..., плоскости z, содержащих нек-рую фиксированную окрестность точки Ядром последовательности

В_п, n=1, 2,..., относительно точки наз. наибольшая областьВ,содержащая любая замкнутая подобласть к-рой принадлежит всемВ_п,начиная с некоторогоп.Сходимость последовательности областейВ_п, п=1,2,..., к ядру Вопределяется, как и выше. Имеет место следующая теорема [2]. Пусть в плоскости z дана последовательность областейА_п, n=1, 2,..., содержащих и сходящихся к ядру А, и пусть функции x=f_n(z), n=1, 2,..., однолистно отображают их соответственно на областиВ_п,бодержащие n=1, 2,. .. Для того чтобы функцииf_n(z), n=1, 2,..., равномерно сходились внутри области Ак однолистной функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы последовательность областейВ_п, n=1, 2,. .., имела ядро Ви сходилась к нему, причем тогда функция x=f(z) однолистно отображает АнаВ.

Можно указать и другие теоремы о сходимости последовательностей однолистных функций в зависимости от способа их нормировки (см. [2]).

Лит.:[1] Caratheodory С, "Math. Ann.", 1912, Bd 72, S. 107-44; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966.

Г.В. Кузьмина.