Математическая энциклопедия

ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ

- 1) В первоначальном понимании И. ф.- функция f(x)действительного переменного, обладающая тем свойством, что для любого амножествоЕаточекх,для к-рых f(x)измеримое множество (по Лебегу). И. ф. на отрезке [х1, х2]может быть сделана непрерывной на [x1, x2]путем изменения ее значений на множестве сколь угодно малой меры; это - так наз. С-свойство И. ф. (Н. Н. Лузин, 1913).

2) И. ф. на пространстве Xопределяется относительно выбранной системы измеримых множеств АвX.Если A есть s-кольцо, то действительная функция f, заданная на пространствеX,наз.измеримой функцией, если

для любого действительногоа,где

Это определение равносильно следующему: действительная j функция f измерима, если для любого борелевскогоВ.В случае, когда Аесть s-алгебра, функция f является измеримой, если измеримы множестваЕа(или ). Класс И. ф. замкнут относительно арифметических и структурных операций, т. е., если fn, n=1, 2, ... измеримы, то f1+f2, f1f1. max(f1, f2), min(f1,f2), af,где адействительно, измеримы; тоже измеримы. Комплексная функция измерима, если измеримы ее действительная и мнимая части. Обобщением понятия И. ф. является понятиеизмеримого отображенияодногоизмеримого пространствав другое.

Лит.:[1] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ.,М. 1953; [2] Данфорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы, пер. с англ., т. 1, М., 1962; [3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.

В. В. Сазонов.


  1. измеримая функция—вымерная функцыя...Русско-белорусский математический словарь
  2. измеримая функция—вимрна функця...Русско-украинский политехнический словарь
  3. измеримая функция—miteln funkce...Русско-чешский словарь