ЗИГЕЛЯ МЕТОД
- метод исследования арифметич. свойств значений в алгебраич. точках E-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из C(z); был предложен К. Зигелем [1].
Целая функция
наз.Е-функцией, если все коэффициентысппринадлежат нек-рому алгебраич. полю конечной степени, причем для каждого e>0 максимум модулей, сопряженных с сn, есть О(пгп)и существует последовательность целых рациональных чиселqn=О(nen) таких, чтоqnckесть целое алгебраич. число дляk=0,1, ...,п.Таковы, напр., еz, sin z, функция Бесселя J0(z).
Пусть [a, 0]=1, а [a, п]=(a+п-1) [a,п-1], n=1, 2, ... Если a1, ... ,alиb1, ...,bт- рациональные числа,bkнеравно -1, -2, ... ит-l=t>0, то функция
является E-функцией; она удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению порядка тс коэффициентами из C(z).
Основной результат К. Зигеля относится к значениям функции
гдеJ(z) - функция Бесселя. Если X- рациональное число,то при любом алгебраическом числа Кl(a).иК'l(a).алгебраически независимы над Q.
В 1949 К.Зигель придал своему методу общую форму, однако условия, к-рым должны были удовлетворять E-функцииf1(z), ..., fm(z)для того, чтобы можно было утверждать, что их значения алгебраически независимы, оказались очень трудно проверяемыми. И это не позволило установить какие-либо новые конкретные результаты.
Дальнейшее развитие и обобщение 3. м. получил в работах А. Б. Шидловского (см. [2] - [3]): пусть совокупность E-функций f1(z),..., fm(z)является решением системы дифференциальных уравнений
и алгебраич. число a.отлично от нуля и особых точек системы (1); тогда, для того чтобы тчиселf1(a), ...,fm(a).были алгебраически независимы над полем Q, необходимо и достаточно, чтобы функции f1(z), ..., fm(z) были алгебраически независимы над C(z). Из этой теоремы, в частности, следует трансцендентность всех чисел fk(a),если f1(z), ...,fm(z)алгебраически независимы, а также трансцендентность отличных от нуля и полюсов системы (1) А-точек функцийfk(z)при алгебраическом А;она позволила получить многочисленные результаты, относящиеся к конкретнымЕ-функциям, доказать алгебраич. независимость значений E-функций, удовлетворяющих линейным однородным и неоднородным дифференциальным уравнениям порядка большего двух. Напр., для функции
удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению порядка кс коэффициентами из C(z), справедливо следующее утверждение: при любом алгебраическом r(r-1)/2 чисел1=0,.1, ...,k-1, k=1,2, ..., r алгебраически независимы надQ.
При тех же условиях максимальное количество алгебраически независимых над Qчисел средиf1(а), . . .,fm(a) равно максимальному количеству алгебраически независимых над С (z) функций средиf1(z),...,fm(z).Если f1(z),.. ., fl(z)- алгебраически независимые над С (z)E-функции, удовлетворяющие системе (1), то для всех, кроме конечного числа, точек а числа f1(a), ...,fl(a)алгебраически независимы над Q. В каждом конкретном случае исключительные точки могут быть определены.
Этими теоремами решаются, по существу, все задачи общего характера о трансцендентности и алгебраич. независимости значений E-функций в алгебраических точках.
3. м. позволяет оценивать меру алгебраич. независимости чисел f1(a),...,fm(a),придав тем самым результатам количественную форму. Если функции f1(z), ...,fm{z)алгебраически независимы, то Ф(f1(a), ..., fm(a); где С>0 не зависит от H, ау>0 зависит только от ти степени алгебраич. числа а.
Лит.:[1] Siegе 1 С. L., "Abhandl. Dtsch. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl.", 1929, № 1, p. 1-41; [2] Шидловский А. Б., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1959, т. 23, №1, с. 35-66; [3] его же, там же, 1962, т. 26, № 6, с. 877-910; [4] его же, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1973, т. 132, с. 169-202; [5] Lang S., "Mathem.", 1962, v. 9, с. 157-61; [6] Фельдман Н. И., Шидловский А. Б.", "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 3, с. 1-81.
Ю. В. Нестеренпо.