ЗЕЙФЕРТА РАССЛОЕНИЕ
- класс расслоений трехмерных многообразий на окружности; определен X. Зейфертом [1]. Каждый слой 3. р. имеет в многообразииМ3окрестность со стандартным расслоением на окружности, к-рое возникает из произведенияD2[0, 1] диска на отрезок при склейке каждой точки (х,0) с точкой (g(x),1), где g- поворот D2на угол 2pv/m (m и v - взаимно простые целые числа, ).
Образы отрезков х [0, 1] в полученном полнотории Рсоставляют слои: каждый слой, кроме централыгого, состоит из m отрезков; центральный слой наз. особым, если v>0. Инварианты (m, v) обычно заменяются инвариантами Зейферта (а, Р), где a=m, a b определяется из условий
Геометрич. смысл a и b состоит в следующем: если в расслоении, индуцированном на крае Р, взять меридиант.(кривая, стягиваемая в Р)и параллель I(пересекающую ттрансверсально один раз), а также любой слой f и секущую g(все четыре кривые простые и замкнутые), то при надлежащей ориентации
причем
Первая задача относительно 3. р. состоит в их классификации с точностью до послойного гомеоморфизма. Оказывается[1],что еслиМ3имеет 3. р., то существует отображение я: гдеВ2- двумерное многообразие, и слоями служат p-1(х),Имеется шесть типов 3.р.: типыО1иО2,в к-рыхВ2ориентируемо иМ3ориентируемо в случаеO1и неориентируемо в случае О2, причем родВ2в этом случае не меньше единицы, и типыni,i=i,2, 3, 4, для к-рыхВ2неориентируемо. В случаеn1обнос слоя вдоль пути вВ2не меняет ориентацию слоя, в случаеп2имеется система образующих, обнос вдоль к-рых меняет ориентацию, в случаеп3не меняет ориентацию только одна из образующих, а в случае n4- только две из образующих, причем родВ2не меньше двух дляп3и не меньше трех для n4. МногообразиеМ3ориентируемо только для типа n2. Каждому 3. р. относится система инвариантов
так что с точностью до послойного гомеоморфизма имеется одно и только одно 3. р. с таким набором. Здесь e=Оiили ni, р- родВ2,(ai, bi) - инварианты Зейферта для особых слоев расслоения, число к-рых равно r, причем в случаях e=О2, п1,n3, n4, и, наконец, b- целое число, если e=O1илипги вычет mod2 в остальных случаях, при этом b=0, если ai= 2 хотя бы для одного слоя. Геометрич. смысл b:на крае окрестности каждого особого слоя выбирается сечение, и вся их совокупность продолжается до сечения во всем дополнении к особым слоям. Это возможно сделать вплоть до одного неособого слоя, к к-рому край продолжаемого сечения подойдет, накручиваясь на него со степеньюb.При изменении ориентацииМ3в случаяхО1и n2число b меняется на -b-r,а bi- на ai-bi.
Вторая задача относительно 3. р. заключается в установлении того, что на замкнутом многообразииМ3может существовать не более одного такого расслоения с точностью до послойных гомеоморфизмов. Это доказано для так наз. больших 3. р., к-рые являются пространствами типа K(p, 1), т. е. гомотопич. тип к-рых определен фундаментальной группой. Фундаментальную группу p1(М3)многообразия, снабженного З. р., удобно описывать с помощью специальной системы образующих: сеченийgjна краях окрестностей особых слоев, элементов аi, bi;(илиvi;,еслиВ2неориентируемо), образы к-рых в p1(B2) являются канонич. образующими, h- неособый слой. При этом определяющие соотношения в случаяхО1иО2следующие:
а в случаяхni:
где ei=l в зависимости от того, обращается ли ориентация слоя при обносе вдоль соответствующей образующей p1(В2).К многообразиям смалыми 3. р. относятся: для типаО1все расслоения с
для типаО2только расслоения с р=1, r=0; для типов n1и n2расслоения с р=1, р=2, r=0; для типа
п3расслоения с р = 2, r=0. Все 3. р. типаn4большие. Малые 3. р. все перечислены, их имеется 10 типов (см. [3]).
Свободные действия конечных групп на трехмерной сфере коммутируют с естественным действием на ней группы SO(2), и поэтому пространства орбит этих действий оказываются 3. р. с конечными фундаментальными группами. Это - единственные известные (1977) примерыМ3с конечной p1(М3).Heк-рые из 3. р. встречаются как границы сферич. окрестностей изолированных особых точек алгебраич. поверхностей, инвариантных относительно действия мультипликативной группы комплексных чисел. Именно, это 3. р. типа: {b; (О1,р); (a1,b1), ..., (ar, br)}приb+r>0.Идентификация этих многообразий, позволяет построить явное разрешение особенностей с учетом действия С* (а также дать полное описание изолированных особенностей поверхностей в С3, допускающих действие С*). 3. р. имеются также на локально плоских римановых многообразиях, полученных при факторизации евклидова пространства по свободному действию дискретной группы движений (имеется 6 ориентированных и 4 неориентируемых многообразия, все из к-рых, кроме одного, являются различными расслоениями над окружностью со слоем тор или поверхность Клейна).
В топологии трехмерных многообразий 3. р. важны, напр., для идентификации многообразий, фундаментальные группы к-рых имеют центр [4]. Имеются также обобщения 3. р. на другие классы расслоений с особыми слоями.
Лит.:[l]Seifert H., "Acta Math.", 1933, Bd 60, S. 147- 238; [2] Holmann H., "Math. Ann.", 1964, Bd 157, S. 138-66; [3] Orlik P., Seifert manifolds, В.- Hdlh.-N. Y., 1972; [4] Hempel J., 3-manifolds, N.Y., 1976.
А. В. Чернавский.