Математическая энциклопедия

ЗВЕЗДА ЭЛЕМЕНТА ФУНКЦИИ

звезда Миттаг-Леффлера,-звездообразная область,в к-рую данный элемент

I

аналитич. функции может быть аналитически продолжен по лучам, выходящим из его центраа.3. э. ф. состоит из тех точек комплексной плоскости z, к-рые можно достичь, аналитически продолжая элемент f(z)в виде степенного ряда вдоль всевозможных лучей, исходящих из центра элементаа.Е, сли при продолжении элемента вдоль данного луча z=a+reij, нельзя достичь произвольной точки этого луча, то на луче найдется точка такая, что продолжение возможно до любой точки интервала [a, z1),но далее неосуществимо.Если продолжение возможно в любую точку луча, то полагают Совокупность точек,

принадлежащих всем интервалам [a,z1) представляет собой (односвязную) звездообразную область относительно точки а- это и есть 3. э. ф.Sf. В результате аналитич. родолжения вSfполучают регулярную аналитпч. функцию f(z), являющуюся однозначной ветвью вSfполной аналитич. функции, порождаемой данным элементом.

Все точки границыдSf3. э. ф. являютсядостижимыми граничными точками.В вопросах аналитического продолжения (см. такжеАдамара теорема)различают также угловые, доступные и хорошо доступные точки границыdSf.Точка наз. угловой точкой границы 3. э. ф., если она имеет наименьший модуль |z1| среди всех точекдSfс тем же аргументом argz1.Точка наз. доступной точкой границы 3. э. ф., если существует полукруг V(z1)такой, что f(z)регулярна всюду внутри V(z1)и в точках его диаметра, отличных от z1. Точка наз. хорошо доступной (или хорошо достижимой) точкой границы З. э. ф., если существует угол V(z1) с вершинойztраствора больше p и такой, что f(z) регулярна в области {V(z1)(|z-z1|0.

Г. Миттаг-Леффлер [1] показал, что регулярную функциюf(z) в ее звездеSfможно представить в виде равномерно сходящегося внутриSfряда многочленов

Формула (*) низ. Миттаг-Л еффлера разложением в звезде. Здесь степени многочленовkпи коэффициенты c0(n), c1(n), ..., ckn(n), n=0, 1, .... не зависят от вида f(z) и могут быть вычислены раз навсегда. Такое вычисление было проделано П. Пенлеве (P. Painleve; см. [2], [3]).

Лит.:[1] Mittag-Leffler G., "Acta math.", 1900, v. 23, p. 43-62; 1901, v. 24, p. 183-204, 205-44; 1902, v. 26, p. 353-93; 1905, v. 29, p. 101 - 82; [2] Mapкушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 8; [3] Воrel E., Lecons sur les fonctions de variables reelles et les developpements en series de polynomes, P., 1928.

E. Д. Соломенцев.