ЗАЦЕПЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТ

- целое или дробное число, сопоставляемое двум непересекающимся циклам z^k-1иz^n-kв многообразии Мразмерности га, классы гомологии к-рых принадлежат подгруппам кручения в целочисленных гомологияхН_k-1(М, Z) иH_n__k(M, Z)соответственно. Простейшим примером является 3. к. двух непересекающихся замкнутых спрямляемых кривыхL₁, L₂пространства R³,выражаемый так наз. интегралом Гаусса:

(здесьх₁их₂- радиус-векторыL₁и L₂).

Понятие 3.к. обобщается на случай замкнутых ориентированных многообразийM^k-1иM^n-k,расположенных в пространстве Rⁿ: З. к. равенстепени отображенияc ориентированного прямого произведения в сферу где c(х, у),есть точка пересечения сS^n-1луча, отложенного параллельно вектору (х, у)от начала координат. 3. к. равенпересечения индексулюбой k-мернойцепи С^k, для к-ройдС^k=az^k-1, с цикломz^n-k,деленному на а. Это число не зависит от выбора пленкиС^k.Если поменять ролями циклы z^k-1иz^n-k,то 3. к. умножится (в ориентируемом случае) на (-l)^k(n-k). Если заменить любой из циклов на гомологичный ему в дополнении к другому, то 3. к. не изменится. Этот факт является основой при интерпретацииАлександера двойственностис помощью зацеплений. При замене одного из циклов на любой гомологичный с ним 3. к. изменяется на целое число, благодаря чему определено спаривание подгрупп кручения вH_k-1(M, Z) иН_п-k(М, Z)со значениями в факторгруппе Q/Z" где Q- рациональные числа. Это спаривание устанавливает между нимиПонтрягина двойственность.В частности, для подгруппы кручения вН_т(М,Z) в случае n=2m+1 этим задается невырожденная квадратичная форма самозацеплений со значениями в Q/Z к-рая является гомотопич. инвариантом многообразия. Напр., с ее помощью впервые были обнаружены асимметричные многообразия, а именно, нек-рые линзовые многообразия.

3. к. рассматриваются также в случае других областей коэффициентов, напр., если на многообразии действует свободно группа л, то группы гомологии являются групповыми модулями, и значение 3. к. определено в соответствующим образом локализованном групповом кольце.

Лит.:[1] Зейферт Г., Трельфаллй В., Топология, пер. с нем., М.-Л., 1938; [2] Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976.

А. В. Чертовский.