ДЮАМЕЛЯ ИНТЕГРАЛ

- представление решенияКоши задачиили смешанной задачи с однородными граничными условиями для неоднородного линейного уравнения с частными производными через решение соответствующей задачи для однородного уравнения. Пусть для уравнения

где L- линейный дифференциальный оператор с независящими от tкоэффициентами, содержащий производные по tне выше 1-го порядка, поставлена задача Коши с начальными условиями:

И пусть достаточно гладкая функция v(t, х;t),

является при t>t решением однородного уравнения

удовлетворяющим приt=tначальным условиям:

Тогда решение задачи Коши (1), (2) выражается Д.и.:

Сформулированное утверждение носит название принципа Дюамеляи является аналогом метода вариации постоянных.

Аналогичное построение можно провести и в случае задачи Коши с однородным начальным условием для уравнения

где М- линейный дифференциальный оператор с независящими от tкоэффициентами, содержащий производные только по переменнымх.

Решение задачи Коши с однородными начальными условиями для неоднородного уравнения теплопроводности выражается Д. и.

а для волнового уравнения в случае n=1

Д. и. наз. по имени Ж. Дюамеля (J. Duhamel).

Лит.:[1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; [2] Йон Ф., Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными, пер. с англ., М., 1958.

А. К. Гущин.