Математическая энциклопедия

ДИФФУЗИОННЫЙ ПРОЦЕСС

- непрерывныймарковский процесс X=X(t)с переходной плотностью p(s,х, t, у),удовлетворяющей следующим условиям: существуют функции a(t, х)и s2(f, x),называемые соответственно коэффициентами сноса и диффузии, такие, что для любого e>0

(причем обычно предполагается, что эти предельные соотношения выполняются равномерно по tв каждом конечном интервале и по x, ).

Важнейшим представителем этого класса процессов является процесс броуновского движения, впервые рассмотренный как математич. модель процессов диффузии (отсюда и название "Д. п.").

Если переходная плотность р(s, x, t, у)непрерывна по s ихвместе со своими производнымир(s,x, t, у)и p(s, х, t, у),то она является фундаментальным решением дифференциального уравнения

к-рое наз. обратным уравнением Колмогорова.

В однородном случае, когда коэффициенты сноса a(t, x)=a(x)и диффузии s2(t, x)=s2x).не зависят от времениt,обратное уравнение Колмогорова для соответствующей переходной плотности р(s, x, t, y)=p(t-s, х, у)имеет вид:

Если переходная плотность р(s, x, t, у)имеет непрерывную по t и упроизводную р(s,х, t, у)такую, что функции [a(t, y)p(s, x, t, у)]и [s2(t, y)p(s, х,t, у)]непрерывны поу,то она является фундаментальным решением дифференциального уравнения

к-рое наз.уравнением Фоккера - Планка, или прямым уравнением Колмогорова. Дифференциальные уравнения (2) и (3) для плотности вероятности являются основой аналитич. методов изучения Д. п. Существует и другой, чисто "вероятностный", подход к Д. п., основанный на представлении процесса X(t)как решения стохастического дифференциального уравнения Ито

где Y(t)- стандартный процесс броуновского движения. Грубо говоря, при таком подходе считают X(t)связанным с нек-рым процессом броуновского движения Y(t)таким образом, что при условии X(f)=xза последующее времяAtприращениеAX(t)=X(t+At)-X{t)есть

Если понимать это асимптотич. соотношение в том смысле, что

где o(At)- величины того же типа, что и в равенствах (1), то рассматриваемый процесс X(t)будет диффузионным и в смысле этого определения.

Многомерным Д. п. обычно наз. непрерывный марковский процесс X(t)=(X1(t), . .., Хn(t)}в п-мерном векторном пространствеЕп,переходная плотность p(s, х, t, у)к-рого удовлетворяет следующим условиям: для любого e>0

Вектора={a1(t, х), ...,an(t, x)}характеризует локальный снос процесса x(t), матрица s2= ||2bkj(t, x)||,k, i=1,...,п,характеризует среднеквадратичное отклонение случайного процесса x(t) от исходного положения хза малый промежуток времени от tдоt+Dt.При нек-рых дополнительных ограничениях переходная плотность р(s, х, t, у)многомерного Д. п. удовлетворяет обратному и прямому дифференциальным уравнениям Колмогорова:

Многомерный Д. п. X(t)может быть описан также при помощи стохастических дифференциальных уравнений Ито:

гдеY1(t), ..., Yn(t)- взаимно независимые процессы броуновского движения, а

суть собственные векторы матрицы s2= ||2bkj(t, x)||.Лит.:[1] Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, М., 1965; [2] их же, Стохастические дифференциальные уравнения, К., 1968.

Ю. А. Розанов.


  1. диффузионный процесс—procd de diffusion...Политехнический русско-французский словарь
  2. диффузионный процесс—diffusion process...Русско-английский морской словарь
  3. диффузионный процесс—diffusion process...Русско-английский словарь по физике
  4. диффузионный процесс—diffusion process...Русско-английский технический словарь
  5. диффузионный процесс—дыфузйны працэс...Русско-белорусский математический словарь
  6. диффузионный процесс—кфт. processo per diffusione...Русско-итальянский политехнический словарь
  7. диффузионный процесс—диффузиялы дерс...Русско-казахский терминологический словарь «Медицина»
  8. диффузионный процесс—Diffusionsverfahren...Русско-немецкий словарь по химии и химической технологии
  9. диффузионный процесс—Diffusionsverfahren...Русско-немецкий химический словарь
  10. диффузионный процесс—дифузйний процес...Русско-украинский политехнический словарь
  11. диффузионный процесс—procd de diffusion...Русско-французский словарь по химии