Математическая энциклопедия

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

- главная линейная часть приращения функции.

1) Действительная функцияy = f{x)действительного переменного наз. дифференцируемой в точкех,если она определена в нек-рой окрестности этой точки и если существует такое числоА,что приращение

(при условии, что точках+Ахлежит в упомянутой окрестности) может быть представлено в виде

где при При этомА Ахобозначается черезdyи наз. дифференциалом функции f(х)в точкех.Д.dyпри фиксированном хпропорционаленАх,т. е. является линейной функцией от Dх.Дополнительный член a при является, в силу определения, бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Dх(и по сравнению сdy,если ). Именно в этом смысле Д. и наз. главной частью приращения функции.

Для функции, дифференцируемой в точкех,при, т. е. функция, дифференцируемая в некоторой точке, непрерывна в ней. Функция f(x)дифференцируема в точке хв том и только в том случае, если она имеет в этой точке конечную производную

при этом

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции.

Кроме обозначенияdyиспользуется обозначениеdf(x);тогда предыдущее равенство принимает вид

Приращение аргументаАхобозначается также черезdxи наз.дифференциалом независимого переменного. Поэтому можно писать

Отсюда f(x)=dyldx,т. е. производная равна отношению Д.dyиdx.ЕслиА=0,то при Dx->0, т. е.Ауиdyпри являются в случаеА неравно 0эквивалентными бесконечно малыми; этим, рав, но как и простой структурой Д. (линейностью поАх),часто пользуются в приближенных вычислениях, полагая Dy=dyпри малых Dх.Если хотят, напр., вычислить f(x+Dx),знаяf{x)(Dxмало), то полагают

Конечно, такое рассуждение имеет ценность, если можно оценить соответствующую погрешность.

Геометр и чес к ое истолкование Д. Уравнение касательной к графику .функцииy=f(x)в точке М(х0, у0).имеет видy-y0=f '(х0)(х-х0).Если положитьx=x0+Dх,тоy-y0=f'(х0)Dх.Правая часть есть значение Д. функции f(x)в точкех0,отвечающее рассматриваемому значениюАх.Таким образом, Д. совпадает с соответствующим, приращением ординаты касательной к кривойy-f(x)(см. отрезокNTна рис. 1).

При этом a=Dу-dy,т. е. значение |a| совпадает с длиной отрезкаTS.

2) Определение дифференцируемости и Д. естественным образом обобщается на действительные функции от пдействительных переменных. Напр., в случ.п=2действительная функция z=f(x, у)наз. дифференцируемой в точке (х, у)по совокупности переменных хиу,если она определена в нек-рой окрестности этой точки и ее полное приращение

может быть представлено в виде

где Аи В- некоторые числа, при r=предполагается, что точка (х+Dх, у+Dy).принадлежит упомянутой окрестности (см. рис. 2) При этом вводится обозначение иdzназ. полным дифференциалом, или просто дифференциалом, функции f(x,у).в точке (х, у)(иногда с добавлением: "по совокупности переменных хиу").Для фиксированной точки (х, у)Д.dzесть линейная функция отАхиАу;разность а= Az-dzесть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с р. В этом смыслеdzесть главная линейная часть приращения Az.

Если f(x, у)дифференцируема в точке (х, у),то oн непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные частныепроизводные

Таким образом

ПриращенияАхиАунезависимых переменных, как и в случае одного переменного, обозначаютсяdxиdуПо этой причине можно написать

Существование конечных частных производных,вообще говоря, не влечет дифференцируемости функции (даже если предполагать заранее ее непрерывность) здесь нарушается аналогия с функциями одного переменного.

Если функция f(x, у)имеет в точке (х, у)частную производную пох,то произведениеfx(x, y)dxназ. частным дифференциалом по х;аналогично,f'y(x, y)dyесть частный Д. поу.Если функция дифференцируема, то ее полный Д. равен сумме частных Д. Геометрически полный Д.df(x0, у0)есть приращение аппликаты касательной плоскости поверхностиz-f(x, у)в точке (х0, у0, z0),где z0=f(z0,у0)(см. рис. 3).

Достаточный признак дифференцируемости функции: если в некоторой окрестности точки (x0, y0) функция f(x, у)имеет частную производнуюf'x,непрерывную в точке (х0, у0),и, кроме того, имеет в точке (х0, у0)частную производнуюf'y,то f(x, у)дифференцируема в этой точке Если функция f(x, у)дифференцируема в каждо точке открытой областиD,то в любой точке этой области причем (х, y)= fx(x, у), В(х, y)= f'y(x, у).Если при этом существуют непрерывные в Dчастные производныеА'уиВ'х,то всюду

Это показывает, в частности, что не всякое выражение с непрерывнымиА и В(вобласти D)является в этой области полным Д. нек-рой функции двух переменных. В этом состоит еще одно нарушение аналогии с функциями одного переменного, где любое выражение A(x)dxс непрерывной в нек-ром промежутке функцией (х).служит Д. для нек-рой функции.

ВыражениеAdx+Bdyявляется полным Д. нек-рой функцииz=f(x, у),в односвязной открытой областиD,если (х, у)и В(х, у)непрерывны в этой области и удовлетворяют условиюА' =В'Хи при этом а) А'yиВ'хнепрерывны или б) (х, у)и В(х,у) дифференцируемы по совокупности переменных хи увсюду в D(см.[7],[8]).

О Д. действительных функций одного или нескольких действительных переменных и о Д. высших порядков см. такжеДифференциальное исчисление.

3) Пусть функция f(x)определена на нек-ром множестве Едействительных чисел, х- предельная точка этого множества, Dy=АDx+a, где

при ; тогда функция f(x)наз. дифференцируемой по множеству Ев точкех,ady=ADхназ. ее дифференциалом" по множеству Еточкех.Это есть обобщение Д. действительной функции одного действительного переменного. Разновидностями этого обобщения являются Д. в концах промежутка, на котором определена функция, и аппроксимативный Д. (см.Аппроксимативная дифференцируемоетъ).

Подобным же образом вводится Д. по множеству для действительных функций многих действительных переменных.

4) Все эти определения дифференцируемости и Д. почти без изменений распространяются соответственно на комплексные функции одного или нескольких действительных переменных, на действительные и комплексные вектор-функции одного или нескольких действительных переменных, на комплексные функции и вектор-функции одного или нескольких комплексных переменных. В функциональном анализе они распространяются на функции точки абстрактного пространства. Можно говорить о дифференцируемости и Д. функции множества по отношению к нек-рой мере.

Лит.:[1] Толстов Г. П., Элементы математического анализа, 2 изд., т. 1 - 2, М., 1974; [2] Фихтенгольц Г. М., Куре дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т.1, М., 1969; [3] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; [5] Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; [6] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; [7] Толстов Г. П., О криволинейном и повторном интеграле, М.-Л., 1950 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 35); [8] его же, "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 5, с. 167-70.

Г.В. Толстое.


Синонимы:
диференциал, самоблок


  1. дифференциал—шестеренное устройство передающее вращательное движение на ведущие колеса и обеспечивающее их разную скорость вращения для обеспечения поворота ам без износа покрышек у в...Автомобильный словарь
  2. дифференциал—А. Премия или скидка по отношению к цене базисного сорта по которой могут быть предложены другие сорта допустимые к поставке по фьючерсному контракту. Б. Компенсация диле...Бизнес-словарь
  3. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ дифференциальный механизм iв приводе ведущих колс автомобиля трактора или др. транспортных машин. Д. обеспечивает вращение ведущих колс с разными относит ско...Большая советская энциклопедия
  4. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ от лат. differentia разность различие в математике главная линейная часть приращения функции. Если функция yfx iодного переменного х iимеет при хх производн...Большая советская энциклопедия
  5. дифференциал—м. спец. differenziale Итальянорусский словарь. Синонимы диференциал самоблок...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  6. дифференциал—м мат. Differential n знак дифференциала Differentialzeichen n авто Ausgleichgetriebe n Синонимы диференциал самоблок...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  7. дифференциал—дифференциал м . мат. Differential n a знак дифференциала Differentialzeichen n d . авто Ausgleichgetriebe n dСинонимы диференциал самоблок...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  8. дифференциал—differential...Большой русско-английский словарь биологических терминов
  9. дифференциал—м. мат.em тех.diferencial f...Большой русско-испанский словарь
  10. дифференциал—сущ. муж. рода...Большой русско-украинский словарь
  11. дифференциал—м. мат. diffrentielle sj f тех. differentiel m...Большой русско-французский словарь
  12. дифференциал—м. мат. diffrentielle f тех. differentiel m Синонимы диференциал самоблок...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  13. дифференциал—. премия или скидка по отношению к цене базисного сорта марки с которой могут быть предложены другие сорта марки допустимые к поставке по фьючерсному контракту. компенсац...Большой экономический словарь
  14. дифференциал—от лат. differentia разность различие дифференциальный механизмi в приводе ведущих колс автомобиля трактора или др. трансп. машин см. рис. Д. обеспечивает вращение вед...Большой энциклопедический политехнический словарь
  15. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ название дифференциального механизма в приводе ведущих колес автомобиля трактора или других колесных машин. Наиболее распространен дифференциал с коническими...Большой энциклопедический словарь III
  16. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ название дифференциального механизма в приводе ведущих колес автомобиля трактора или других колесных машин. Наиболее распространен дифференциал с коническим...Большой Энциклопедический словарь V
  17. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ от лат. differentia разность различие см. Дифференциальное исчисление....Большой Энциклопедический словарь V
  18. дифференциал—от лат. differentia разность различие см. Дифференциальное исчисление.i Синонимы диференциал самоблок...Естествознание. Энциклопедический словарь
  19. дифференциал—от латинского differentia разность различие одно из основных понятий дифференциального исчисления....Иллюстрированный энциклопедический словарь
  20. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ а м. diffrentiel m. нем. Differenzial ampLT differentia разность. strong. В математике произвольное приращение независимой переменной величины главная лине...Исторический словарь галлицизмов русского языка
  21. дифференциал—а м.em .strong мат.em Главная линейная часть приращения зависимой переменной величины функции приближенно выражающая значение этого приращения а также приращение независ...Малый академический словарь
  22. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ Differential зубчатая передача посредством которой можно валу той или другой машины сообщать вращение одновременно от двух двигателей. Самойлов К. И.Морской...Морской словарь
  23. дифференциал—корень ДИФФЕРЕНЦИ суффикс АЛ нулевое окончаниеОснова слова ДИФФЕРЕНЦИАЛВычисленный способ образования слова Суффиксальный ДИФФЕРЕНЦИ АЛ Слово Дифференциал содержит с...Морфемный разбор слова по составу
  24. дифференциал—Начальная форма Дифференциал винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  25. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛstrong в математике малое изменение величины в математическом выражении вследствие такого же незначительного изменения переменной. Если обозначить функцию х ...Научно-технический энциклопедический словарь
  26. дифференциал—дифференциал м. Произвольное приращение независимой переменной величины главная линейная часть приращения зависимой переменной величины пропорциональная приращению нез...Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  27. дифференциал—дифференциал дифференциал а...Орфографический словарь
  28. дифференциал—u мu мн.u дифференциалы Р.u дифференциалов диференциал самоблок...Орфографический словарь русского языка
  29. дифференциал—дифференциал...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  30. дифференциал—мат. тех. дифференциал....Осетинско-русский словарь
  31. дифференциал—diffrentielle...Политехнический русско-французский словарь
  32. дифференциал—дифференциал дифференциалы дифференциала дифференциалов дифференциалу дифференциалам дифференциал дифференциалы дифференциалом дифференциалами дифференциале дифференциала...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  33. дифференциал—Орфографическая запись слова дифференциал Ударение в слове дифференциал Деление слова на слоги перенос слова дифференциал Фонетическая транскрипция слова дифференциал [д...Полный фонетический разбор слов
  34. дифференциал—мат. диференцяля р. л руссизм диференцял р. лу....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  35. дифференциал—дифференциал аСинонимы диференциал самоблок...Русский орфографический словарь
  36. дифференциал—М diferensial . riyaz. funksiya artmnn bir hisssi . tex. manlarn hrkt edn hisslrin mxtlif srt istiqamt v s. vern mexanizm....Русско-азербайджанский словарь
  37. дифференциал—м.дифференциал с цилиндрическими шестернями spurgear differential блокируемый дифференциал дифференциал заднего моста дифференциал повышенного трения дифференциал с кони...Русско-английский автомобильный словарь
  38. дифференциал—differential differential gear...Русско-английский машиностроительный словарь
  39. дифференциал—differential матем.u differential gear equalizing gear differential gearing jackinthebox дифференциал м.u .strong мех.u differential gear .strong мат.u differentialнайти...Русско-английский политехнический словарь
  40. дифференциал—м. произвольное приращение независимой переменной величины . перепадem differential increment поведенческий дифференциал семантический дифференциал...Русско-английский психологический словарь
  41. дифференциал—дифференциал м.i. мат. idifferential . тех. idifferential gear...Русско-английский словарь
  42. дифференциал—дифференциал м. . мат. differential дифференциальный differential дифференциальное исчисление мат. differential calculus дифференциальный тариф differential duties pl. ...Русско-английский словарь II
  43. дифференциал—m.differential дифференциал образов transformed differential дифференциал прообразов original differentialСинонимы диференциал самоблок...Русско-английский словарь математических терминов
  44. дифференциал—differential mechanism диференциал самоблок...Русско-английский словарь по машиностроению
  45. дифференциал—м. мат. абелев дифференциал внешний дифференциал второй дифференциал гармонический дифференциал голоморфный дифференциал дифференциал второго порядка дифференциал высоты...Русско-английский словарь по физике
  46. дифференциал—функции differential вчт....Русско-английский словарь по электронике
  47. дифференциал—differential...Русско-английский строительный словарь
  48. дифференциал—area differential абелев дифференциал дифференциал образов дифференциал прообразов конический дифференциал межосевой дифференциал неполный дифференциал полный дифференциа...Русско-английский технический словарь
  49. дифференциал—дыферэнцыял...Русско-белорусский математический словарь
  50. дифференциал—Дыферэнцыял...Русско-белорусский словарь
  51. дифференциал—мат. тех.i дыферэнцыял муж.i...Русско-белорусский словарь II
  52. дифференциал—дыферэнцыяuл ла...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  53. дифференциал—дыферэнцыял ла...Русско-белорусский физико-математический словарь
  54. дифференциал—диференциал самоблок...Русско-ивритский словарь
  55. дифференциал—diferencial diferencial engranaje de compensacin engranaje del diferencial дифференциал бессателлитный дифференциал блокирующийся дифференциал гидравлический дифференци...Русско-испанский автотранспортный словарь
  56. дифференциал—differenziale meccanismo a differenziale...Русско-итальянский автомобильный словарь
  57. дифференциал—м. мех. differenziale m матем. differenziale m автомобильный дифференциал биномиальный дифференциал дифференциал второго порядка дифференциал дуги дифференциал задней ...Русско-итальянский политехнический словарь
  58. дифференциал—. мат. дифференциал шексз аз санны еркт ттасу функциясы. тех. дифференциал бр блктег ек дгелект ек трл шапшадыын басаратын тетк...Русско-казахский словарь
  59. дифференциал—дифференциал...Русско-казахский словарь для учащихся и студентов
  60. дифференциал—дифференциал...Русско-казахский терминологический словарь «Горное дело и металлургия»
  61. дифференциал—дифференциал...Русско-казахский терминологический словарь «Машиностроение»
  62. дифференциал—м. дифференциал . мат. бирбирине багынбаган алмашма чодуктарды каалагандай кошуу . тех. машинанын кыймылдагыч блктрн трд ылдамдыкты жана багытты билдирип туруучу механизм...Русско-киргизский словарь
  63. дифференциал—мат. wifnполный дифференциал частный дифференциал тех. chsqСинонимы диференциал самоблок...Русско-китайский словарь
  64. дифференциал—diferencilis diferencils...Русско-латышский словарь
  65. дифференциал—Дифференциал ялгаатай ондоо...Русско-монгольский словарь
  66. дифференциал—м.Ausgleichgetriebe nu Differentialgetriebe nкулачковый дифференциал повышенного трения Wellenbahnausgleichgetriebe nu mit Gleitsteinenсамоблокирующийся дифференциал с п...Русско-немецкий автомобильный словарь
  67. дифференциал—Ausgleichgetriebe Planetengetriebe...Русско-немецкий автосервисный словарь
  68. дифференциал—Ausgleichgetriebe автоu Differential матем....Русско-немецкий политехнический словарь
  69. дифференциал—Differential...Русско-немецкий экономический словарь
  70. дифференциал—дифференциалм мат тех. ....Русско-новогреческий словарь
  71. дифференциал—...Русско-персидский словарь
  72. дифференциал—м матu diferencial fu техu diferencial m диференциал самоблок...Русско-португальский словарь
  73. дифференциал—Дифференциал тех.em diferenshali kipambulio vi ekseli ya nyuma мат.em diferenshali...Русско-суахили словарь
  74. дифференциал—дифференциал дифференциал...Русско-таджикский словарь
  75. дифференциал—diferansiyel м мат. тех. диференциал самоблок...Русско-турецкий словарь
  76. дифференциал—diferansiyel...Русско-турецкий словарь по строительству и архитектуре
  77. дифференциал—матем. диференцал аналитический дифференциал биномный дифференциал биномиальный дифференциал верхний дифференциал внешний дифференциал гармонический дифференциал з...Русско-украинский политехнический словарь
  78. дифференциал—diferencil vyrovnvac dvoukolo...Русско-чешский словарь
  79. дифференциал—Diferentsiaal...Русско-эстонский словарь
  80. дифференциал—дифференциалСинонимы диференциал самоблок...Русское словесное ударение
  81. дифференциал—А. Премия или скидка по отношению к цене базисного сорта по которой могут быть предложены другие сорта допустимые к поставке по фьючерсному контракту. Б. Компенсация диле...Словарь бизнес терминов
  82. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ лат. от differe различать. Предел бесконечно малой разности между функцией переменного получившего бесконечно малое приращение и первоначальной функцией тог...Словарь иностранных слов русского языка
  83. дифференциал—ял а м.iНем. Differential lt ср.лат. differentialis.Мат.iВозьми дифференциял сего уравнения. Кот. Геодет ....Словарь русского языка XVIII в
  84. дифференциал—дифференциал сущ. колво синонимов диференциал самоблок Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синонимы диференциал самоблок...Словарь синонимов II
  85. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ от латинского differentia разность различие одно из основных понятий дифференциального исчисления....Современная энциклопедия
  86. дифференциал—премия или скидка по отношению к цене базисного сорта с которой могут быть предложены другие сорта допустимые к поставке по фьючерсному контракту компенсация дилеру за с...Современный экономический словарь. 2-е изд
  87. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ от лат . differentia разность различие см. Дифференциальное исчисление....Современный энциклопедический словарь
  88. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ название дифференциального механизма в приводе ведущих колес автомобиля трактора или других колесных машин. Наиболее распространен дифференциал с коническими...Современный энциклопедический словарь
  89. дифференциал—дифференциал [...Толковый словарь иностранных слов
  90. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ а м. . В математике линейная функция приближенноравная некрой функции в окрестности какойн. точки. Д. функции. .Механизм дающий возможность расположенным на ...Толковый словарь Ожегова
  91. дифференциал—дифференциал дифференциал а м. В математике линейная функция приближенно равная некрой функции в окрестности какойн. точки. Д. функции. Механизм дающий возможность распол...Толковый словарь русского языка II
  92. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ а м. . В математике линейная функция приближенно равная некрой функции в окрестности какойнибудь точки. Дифференциал функции. . Механизм дающий возможность р...Толковый словарь русского языка
  93. дифференциал—Ударение в слове дифференциалУдарение падает на букву аБезударные гласные в слове дифференциал...Ударение и правописание
  94. дифференциал—Rzeczownik дифференциал m rnica f Matematyczny rniczka f Techniczny dyferencja m zrnicowanie n...Универсальный русско-польский словарь
  95. дифференциал—Дифференциал Дифференциал премия или скидка по отношению к цене базисного сорта с которыми могут быть предложены другие сорта допустимые к поставке по фьючерсному контра...Финансовый словарь
  96. дифференциал—дифференциал дифференциалы дифференциала дифференциалов дифференциалу дифференциалам дифференциал дифференциалы дифференциалом дифференциалами дифференциале дифференциала...Формы слова
  97. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ differential Скорость изменения значения переменной на протяжении времени которое считается непрерывной переменной. Скорость изменения переменной у dydtem ча...Экономический словарь
  98. дифференциал—Флаер Фифа Фирн Фира Финал Фин Филин Филер Филе Фил Фидер Фиал Фециал Фефер Фефела Фенил Фен Федин Федерал Фан Фал Фаер Рффи Рицин Рифление Риф Рин Риал Риа Реф Рение Рел...Электронный словарь анаграмм русского языка
  99. дифференциал—ДИФФЕРЕНЦИАЛ название дифференциального механизма в приводе ведущих колес автомобиля трактора или других колесных машин. Наиболее распространен дифференциал с коническим...Энциклопедический словарь естествознания
  100. дифференциал—премия или скидка по отношению к цене базисного сорта марки с которой могут быть предложены другие сорта марки допустимые к поставке по фьючерсному контракту компенсация...Энциклопедический словарь экономики и права