Математическая энциклопедия

ДВОЙСТВЕННОСТЬ

- 1) Д. в алгебраической геометрии - двойственность между различными пространствами когомологий на алгебраич. многообразиях.

Когомологий когерентных пучков. Пусть X- неособое проективное алгебраич. многообразие размерности nнад алгебраически замкнутым полемк,а - локально свободный пучок наX.Теорема двойственности Серра утверждает, что конечномерные линейные векторные пространства когомологий двойственны друг другу. Здесь - пучок ростков регулярных дифференциальных форм n-й степени наX,а -двойственный к локально свободный пучок. В случае, когда - обратимый пучок, соответствующий дивизору DнаX,эта теорема устанавливает равенство

где К- канонич. дивизор наX.При n = 1 эквивалентное этому равенство было найдено еще в 19 в. Существует обобщение теоремы Серра на случай когомологий произвольных когерентных пучков на полных алгебраич. многообразных (см. [1], [4]). В частности, когда многообразие Xесть подмногообразие Коэна - Маколея (напр., локально полное пересечение) коразмерности dв неособом проективном многообразии У,

имеет место Д. между k-пространствомНi(Х, F) и пространством глобальных Ext'oв

где -когерентный пучок наX,(дуализирующий пучок Гротендикa), an=dim X.При этом пучок является обратимым в том и только в том случае, когда Xесть схема Горенштейна (см.Горенштейна кольцо).

Этальные когомологии. Пусть X- полное связное неособое алгебраич. многообразие размерности dнад алгебраически замкнутым полемк, п- целое число, взаимно простое с характеристикой поля А:,- локально свободный (в этальной топологии) пучок -модулей наX,mn- пучок корнейп-Астепени из единицы. Существует невырожденное спаривание Z/nZ-модулей [6]:

Более общая теорема Д. относится к гладким, но необязательно полным многообразиям [5]. Существует невырожденное спаривание -модулей

где слева стоят когомологии с компактными носителями. Если поле кесть алгебраич. замыкание поляk',

то группа Галуа Gal(k/k')действует наНi(Х, F)и предыдущее спаривание есть спаривание Gal(k/k')-модулей.

Аналогом первой из приведенных теорем Д. для l-адических когомологии является теорема двойственности Пуанкаре: существует невырожденное спаривание Zi-модулей

где Zl[d]- пучок Тейта, неканонически изоморфный пучку Zl(см.l-адические когомологии).Отсюда следует изоморфизм Ql-пространств

и, в частности, равенство чисел Бетти

Так же, как и в случае когомологии когерентных пучков, имеется обобщение предыдущих результатов на относительный случай собственного морфизма схем, формулируемый на языке производных категорий [6]. Другие теории когомологии. Аналоги теоремы Пуанкаре имеют место для теории кристальных когомологии [7], когомологии де Рама над полем нулевой характеристики [8]. В теоретико-числовых приложениях важную роль играют когомологии пучков на плоской топологии Гротендика числовых схем. В отдельных частных случаях для таких когомологий также имеются теоремы Д. [9].

Лит.:[1] Гротендик А., в сб.: Международный математический конгресс в Эдинбурге, М., 1962, с. 116-37; [2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 47-112; [3] Серр Ж.-П., в сб. переводов: Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958, 372-450; [4] Наrtshоrne R., Residues and duality, В., 1966; [5] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 3, В., 1973; [6] Verdier J. L., в кн.: Proceedings of a Conference on Local Fields, В., 1967, S. 184-98: [7] Berthelot P., Cohomologie cristalline des schemas de caracteristique p>0, В., 1974; [8] Hartshorne R., Ample subvarieties of algebraic varieties, В., 1970; [9] Mazur В., "Amer. J. Math.", 1970, v. 92, p. 343-61; [10] Altman А., Кleiman S., Introduction to Grothendieck duality theory, В., 1970.

И. В. Долгачев.

2) Д. в алгебраической топологии - положение, когда значения одних топологич. инвариантов определяют значения других. Д. в алгебраич. топологии выражается: в Д. (в смысле теории характеров) между группами гомологии и когомологии одной и той же размерности при двойственных группах коэффициентов; в изоморфизме между группами гомологии и когомологии дополнительных размерностей многообразия (Пуанкаре двойственность);в изоморфизме между группами гомологии и когомологии взаимно дополнительных множеств пространства (Александера двойственность);во взаимозаменяемости в определенных ситуациях гомотопических и когомотопических, а также гомологич. и когомологич. групп, к-рая без дополнительных ограничений на размерность пространства имеет место не для обычных, а дляS-гомотопич. и S-когомотопич. групп (см.S-двойственность).

Д. между гомолог и ями и когомологиями состоит в следующем. Пусть{Нr(Х, А), f*, д}- произвольнаягомологии теориянад нек-рой допустимой категорией пар пространств и их отображений, т. е. система, удовлетворяющаяСтинрода-Эйленберга аксиомамтеории гомологии с дискретной или компактной абелевой группойНr(Х, А).Тогда система{Нr(Х, А), f*, d}, гдеНr(Х, А)-группа характеров группыНr(Х, А),а f* и d - гомоморфизмы, сопряженные соответственно гомоморфизмам f* ид,удовлетворяет аксиомам Стинрода - Эйленберга теории гомологии и стало быть представляет собой теорию когомологии над той же категорией с компактной или, соответственно, дискретной группойНr(Х, А).Подобным же образом для каждой теории когомологии может быть построена двойственная теория гомологии. Следовательно, теории гомологии и когомологии составляют двойственные пары; при этом; преобразование одной теории в другую, с точностью до естественных эквивалентностей, является инволюцией. Для любой теоремы теории гомологии, т. е. теоремы относительно системы{Нr(Х, А), f,д},существует двойственное утверждение относительно системы{Нr(Х, А), f*, d}, т. е. теорема теории когомологии, и наоборот. При переходе к двойственному утверждению группы заменяются их группами характеров, гомоморфизмы меняют направление, подгруппы заменяются факторгруппами, и наоборот. Примерами могут служить сами аксиомы Стинрода - Эйленберга. В случае конкретных категорий пли теорий построение этой Д. осуществляется, напр., следующим образом. ПустьK={tr}(конечный) комплекс. За произведение r-мерной цеписrкомплекса Кнад дискретной или компактной группой Xкоэффициентов и r-мерной коцепи Grкомплекса Кнад группойX*коэффициентов, двойственной Xв смысле теории характеров, принимается число mod 1

Это произведение определяет умножение класса гомологии с классом когомологии и превращает r-мерные группы гомологии и когомологии в группы характеров одна другой. На бесконечных комплексах имеются группы двух видов - проекционные и спектровые. Спектровые группы гомологии являются пределами прямых спектров групп гомологии замкнутых подкомплексов, упорядоченных по возрастанию, а проекционные группы гомологии - гомологич. группами пределов прямых спектров из групп цепей указанных подкомплексов. Группы когомологии получаются аналогично, как пределы соответствующих обратных спектров. При дискретной группе коэффициентов обе гомологич. группы совпадают и дают группу гомологии конечных циклов, а при компактной группе совпадают когомологич. группы и дают группу когомологии бесконечных коциклов. Д. в случае конечных комплексов порождает Д. проекционных групп между собой и спектровых групп между собой, а эти последние Д. (посредством сингулярных комплексов, нервов покрытий и т. п.) - Д. r-мерной проекционной (соответственно спектровой) группы гомологииHr(R, X)пространства Rнад дискретной или компактной группой Xкоэффициентов в какой-либо теории (сингулярных гомологии, Александрова-Чеха гомологии и когомологий, Въеториса гомологиии т. п.) с r-мерной проекционной (соответственно спектровой) группой когомологийHr(R, X*)в той же теории над группойX*,двойственной X(см. [1], [3], [6], [9]):

Соотношения между инвариантами, выражающими связности дополнительных размерностей многообразия, были установлены в первой же работе по алгебраич. топологии - в статье А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1895), где было показано, что для n-мерного ориентируемого многообразия его р-мерное и (n- р)-мерное числа Бетти равны друг другу, равно как и p-мерный и (п- р- 1)-мерный коэффициенты кручения. Эта теорема была усилена О. Вебленом (О. Veblen, 1923), сформулировавшим ее для баз гомологии, а применение групп когомологий придало ей форму, полнее выражающую содержание этой Д. Для получения этой формы следует поставить в соответствие каждой r-мерной цеписr,заданной на какой-либо триангуляции Кгомологического "-мерного ориентированного многообразияМnи принимающей значения из дискретной или компактной группы Xкоэффициентов (п- р)-мерную коцепьсn-pклеточного комплекса K* из барицентрических звездК,принимающую на какой-либо звезде то значение, которое с. имеет на соответствующем этой звезде симплексе. Указанное соответствие, в силу совпадения групп комплексов Ки K*, определяет изоморфизм групп гомологии и когомологий дополнительных размерностей многообразияМn:

При этом Xможет быть и модулем, а в случае неориентируемого многообразия теорема верна по модулю 2. Замена группыНп-r(Мп, X)двойственной ей группойНп-r(Мn, X*)приводит к Д. [1]:

представляющей интерес еще и тем, что при ней произведением оказывается индекс пересечения циклов, произвольно выбранных из перемножаемых классов (см. [1], [И], [12], [13], [15], [16]).

Большой этап, вначале теоретико-множественный, по отысканию топологич. свойств множества, к-рыe определялись бы топологич. свойствами его дополнения, завершился теоремой, полученной Дж. Александером (J. Alexander, 1922) и утверждающей, что r-мерное число Бетти mod 2 полиэдра, лежащего в n-мерной сфере, равно (n-r-1)-мерному числу Бетти mod 2 дополнения (см.Александера двойственность).,

В свою очередь, эта теорема положила начало ряду исследований, в сильной мере повлиявших на развитие всей алгебраич. топологии. Исследования велись в направлении обобщения классов пространств (плоскость, евклидовы пространства, сферы и многообразия любых размерностей, локально компактные пространства и т. д.), их подмножеств (полиэдры, замкнутые подмножества, произвольные подмножества) и областей коэффициентов (целые числа по модулю 2, группа целых чисел, поле рациональных чисел, другие конкретные группы и поля, произвольная абелева группа, топологич., в основном компактные, абелевы группы и т. п.), для к-рых имеет место двойственность Александера, а также усиления тех соотношений, к-рые связывают инварианты взаимно дополнительных множеств (равенство чисел Бетти, изоморфизм групп, Д. топологических групп, естественные и связывающие гомоморфизмы и т. п.). Ряд полученных результатов может быть представлен в виде диаграммы (см. [1] [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [11]):

гдеX -дискретная или компактная группа коэффициентов,Х*|Х, Аи В-взаимно дополнительные множества n-мерного сферич. многообразияМп, Нr(А, X)иНr(А, X*)- r-мерные группы гомологии и когомологий (с компактными носителями) Александрова - Чеха множества Анад Xи соответственноX*,аНп-r-1(В, X*)u Hn-r-1(B, X)суть (п-r-1)-мерные спектровые группы гомологии и когомологий Александрова - Чеха множества ВнадX*и соответственно надX.Указанные в диаграмме соотношения, полученные различными авторами и различными способами, согласованы в том смысле, что соответствующие при изоморфизмах элементы представляют собой один и тот же характер остальных групп при вертикальных и горизонтальных Д. Таким образом, они являются различными формами одной и той же теоремы двойственности. Верхняя двойственность есть Д. зацепления, т. е. при ней произведением элементов являетсязацепления коэффициентциклов, произвольно выбранных из перемнежаемых классов или, в случае компактной группыX*, определяется по непрерывности зацеплением циклов. В приведенной диаграмме группы первого столбца могут быть заменены (r+1)-мерными группами гомологии и когомологии Стинрода с компактными носителями, а группы второго столбца - (n-r-1)-мерными проекционными группами гомологии и когомологий Александрова - Чеха; тогда, в случае компактного Аизоморфизм главной диагонали дает теорему двойственности Стинрода в ее первоначальном виде, если когомологич. группу множества Взаменить, но теореме Пуанкаре, (r+ 1)-мерной группой гомологии бесконечных циклов. Если группа Xкомпактна, то диаграммы изоморфны; если, кроме того, и множество Акомпактно, то двойственность верхней строки диаграммы представляет собой теорему, полученную Л. С. Понтрягиным в 1934 ([1], см.Понтрягина двойственность).О дальнейших обобщениях и направлениях см. [10], [14], [15], [16].

Важным видом двойственности Александера, касающимся связывающего гомоморфизма и аксиомы точности, является изоморфизм между группами гомологии, а также между группами когомологий соседних размерностей. Эти изоморфизмы, установленные П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым, утверждают, что r-мерная группа гомологии (соответственно когомологий) замкнутого множества Анормального локально бикомпактного пространстваR,ацикличного в размерностях r и r+1, над компактной (соответственно дискретной) группой Xизоморфна (r+1)-мерной группе гомологии (соответственно когомологий) дополнения:

и

Из этих изоморфизмов выводится теорема Понтрягина. П. С. Александров [2] получил эти изоморфизмы из общих соотношений Д., связывающих группы гомологии и когомологий взаимно дополнительных множеств и пространства, а также ядра, образы и факторгруппы этих групп при их естественных гомоморфизмах вложения и высечения. Эти соотношения несут также много другой важной информации о расположении множеств в пространстве. П. С. Александров [2] получил их с помощью спектровых групп гомологии и когомологий относительно так называемых особых подкомплексов нервов, состоящих из симплексов, замыкания вершин которых некомпактны. А. Н. Колмогоров доказал вышеуказанные изоморфизмы Д. посредством так называемых функциональных групп гомологии и когомологий (см.Колмогорова двойственность).Указанные выше и другие Д. (ндпр.,Лефшеца двойственность)связаны между собой различными соотношениями. Они могут быть рассмотрены и как следствия нек-рой общей Д., в к-рой участвуют так называемые внешние группы множества, являющиеся прямым пределом групп когомологин окрестностей этого множества, упорядоченных по вложению (см. [3], [4], [5], [6], [7], [12], [13]). Связи между различными Д. приобретают новый вид при их рассмотрении с помощьюпучков теории.

Лит.:[1] Понтрягин Л. С, "Успехи матем. наук", 1947, т. 2, в. 2, с. 21-44; [2] Александров П. С, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1942, т. 6, с. 227-82; [3] его же, "Матем. сб.", 1947, т. 21, № 2, с. 161-232; [4] его же, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1955, т. 48, с. 1 - 108; 1959, т. 54, с. 1 - 136; [5] Чогошвили Г. С, "Докл. АН СССР", 1946 т. 51, № 2, с. 87-90; [6] его же, "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 4, с. 23-34; [7] KaplanS., "Trans. Amer. Math. Soc", 1947, v. 62, p. 248 - 71; [8] Ситников К. А., "Матем. сб.", 1954, т. 34, с. 3-54; 1955, т. 37, с 385-434; 1959, т. 48, с. 213-26; [9] Берикашвили Н. А., "Тр. Тбил. матем. ин-та", 1957, т. 24, с. 409-84; [10] Баладзе Д. С, там же, 1972, т. 41, с. 41-83; [11] Bourgin D., Modern Algebraic Topology, N. Y.-L., 1963; [12] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [13] Switzer R. M., Algebraic Topology Homotopy and Homology, B.-Heid.-N. Y., 1975; [14] Скляренко Е. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, № 4, с. 831-43; [15] Borel А., Мооrе J. С, "Michig. Math. J.", 1960, v. 7, p. 137-60; [16] Bredon G. E., Sheaf Theory, N. Y., [1967].

Г. С. Чогошвили.

3) Д. в теории аналитических пространств - двойственность между различными векторными топологич. пространствами когомологнй комплексных пространств. Имеются три типа теорем Д., соответствующие двойственностям Пуанкаре, Лефшеца и Александера - Понтряпша в топологии, но относящиеся к пространствам когомологийНрФ(Х, F)комплексного пространства Xсо значениями в когерентном аналитич. учкеFи носителями в семействе Ф или их факторпространствам (см.Когомологийсо значениями в пучке).

Первому типу принадлежит теорема двойственности Серра [1]. Пусть X- комплексное многообразие размерности псо счетной базой, W.- пучок голоморфных дифференциальных форм степенип,a F- локально свободный аналитич. учок наX.Для каждого целогор,определено билинейное отображение

которое можно записать как композицию U-умножения

(созначает семейство компактных носителей) и линейной формы sна называемой следом и имеющей вид

где w - форма типа (u, n) с компактным носителем, отвечающая классу в силу теоремы Дольбо (см.Дифференциальная форма).Теорема двойственности Серра утверждает, что если наделить пространства когомологий канонической локально выпуклой топологией (см.Когерентный аналитический пучок),то отображение (*) непрерывно по первому аргументу и, при условии отделимости пространства устанавливает изоморфизм векторных пространств:

Пучки и можно поменять ролями, поскольку операция на локально свободных пучках инволютивна.

В частности, если многообразие Xкомпактно, Кканонический, aD- любойдивизорнаX,то из теоремы Серра вытекает равенство размерностей пространств п к-рое часто используется при вычислениях с когомологиями. Известна аналогичная теорема Д. для неособых проективных алгебраич. многообразий над произвольным полем (см.Двойственностьв алгебраич. геометрии).

В случае, когда - произвольный когерентный аналитич. учок на многообразииX,имеет место естественная топологич. Д. между отделимыми пространствами, ассоциированными с векторными топологич. пространствами и где Ф - семейство замкнутых носителей, Y - семейство компактных носителей или наоборот, а через обозначены производные функтора При этом пространствоНРФ(Х, F) отделимо одновременно с (см. [2], [3]). Для компактного Xотсюда следует изоморфизм конечномерных пространств

Если X- многообразие Штейна, то получается топологич. Д. между и и между и

Имеется также обобщение этих результатов на случай комплексных пространств с особенностями [4] и на относительный случай [5], аналогичное соответствующим теоремам Д. в алгебраич. геометрии.

Аналогом теоремы Лефшеца является следующая теорема Д. [3]: пусть X- комплексное многообразие со счетной базой размерностип, К- штейнов компакт вX.Для любого когерентного аналитич. учка Fна Xи любого целогопространствоимеет топологию типа DFS (сильно сопряженное к пространству Фреше - Шварца), а его сопряженное пространство алгебраически изоморфно Другая теорема того же типа [6]: в тех же предположениях, если открыто, то пространство имеет топологию типа QFS (факторпространства Фреше - Шварца), имеет топологию типа QDFS (факторпространства типа DFS), а ассоциированные с ними отделимые пространства находятся в топологич. Д. Пространство отделимо одновременно с

Третий тип теорем Д. представлен следующей теоремой [8]: для любого открытого подмножества YМХ= СР1- сильное сопряженное к пространству Г(Y, OX/Г(X, ОX))изоморфно Эта теорема допускает следующее обобщение [7]: пусть X- n-мерное комплексное многообразие, счетное на бесконечности, открыто, - когерентный аналитич. пучок наX,- целое число. Рассматриваются канонич. отображения векторных топологич. пространств

Для того чтобы отделимое пространство, ассоциированное с Соkеr b, было изоморфно сильному сопряженному к Сокег а, необходимо и достаточно, чтобы Кеr gбыло замкнуто. (Известен пример, когда Кеr g не замкнуто.) В частности, если пучок локально свободен и

то отделимые пространства, ассоциированные с

и находятся в Д.

Лит.:[1] Serre J.-P., "Comm. math, helv.", 1955, t. 29, p. 9-26; [2] Mai grange В., Seminaire Bourbaki, 1962/63, p. 246; [3] Banica C., StanasilaO., Metode algebrice in teoria globala a spatiilor complexe, Bucuresti, 1974; [4] Ramis J. P., Ruget G., "Publ. IHES", 1970, t. 38, p. 77 - 91: [5] иx жe, "Invent, math.", 1974, Bd 26, № 2, S. 89 -131; [6] Головин В. Д., "Функциональный анализ", 1971, т. 5, № 4, с. 66; [7] его же, "Матем. заметки", 1973, т. 13, № 4, с. 561; [8] Grоthendiеоk A., "J. reine und angew. Math.", 1953, Bd 122, № 1, S. 35.

В. П. Паламодов.

4) Д. в теории аналитических функций.

а) Преобразование Бореля. Э. Борелю (Е. Borel, 1895) принадлежит идея преобразования каждого ряда вида:

в ряд

и обратно, при условии

Так устанавливается отношение Д. между функциями, аналитическими в окрестности бесконечно удаленной точки |z|>s и целыми функциями экспоненциального типа а. На этом пути, напр., получается теорема Пойа: пусть k(j) - опорная функция выпуклой оболочки множества особенностей функции а(г) (при аналитическом продолжении на полуплоскость вида Re(ze-ij)>c,a

- индикатор роста целой функции A(г); тогда

В силу этого отношения двойственности задача аналитич. родолжения функции a(z)в круг |z|

б) Д. в пространствах аналитич, функций. Пусть G- открытое множество расширенной комплексной плоскости С и A(G)- пространство всех аналитических в Gфункций с топологией, задаваемой системой норм

где{Кп}- возрастающая система компактных множеств, содержащихся в Gи исчерпывающих G; таким образом, сходимость в A(G)означает равномерную сходимость на всех компактных подмножествахG.Пусть A0(G)- подпространство A(G),для функций к-рого , и F- компактное подмножество Рассматривается система всех открытых множеств и множество функций

Две функции f1(z) и f2(z) из этого множества считаются эквивалентными, если совпадают их сужения на нек-рое множество Введенное отношение эквивалентности разбивает всю рассматриваемую совокупность на классы Каждый класс наз. локально аналитической на Fфункцией, и совокупность таких функций обозначается A(F).Класс A(F)естественным образом превращается в линейное пространство, и в нем вводится топология индуктивного предела последовательности нормированных пространствВп.Последние строятся следующим образом. Пусть {Gn} - убывающая последовательность множеств из такая, что и

ТогдаВп- пространство ограниченных в G,, аналитич. функций с нормой

Простейший факт оД. пространств аналитических функций состоит в следующем. Пусть G- открытое множество и (для определенности) Двойственным (сопряженным) к пространству A0(G).(в смысле теории линейных топологич. пространств) является пространство A(F).Эта Д. устанавливается следующим образом: если L(f) - непрерывный линейный функционал над A0(G),то существует единственный элемент такой, что

где g - некоторый (сложный) контур; идущий в G и охватывающийF,а не зависит от

Пространства (Е)могут быть определены для произвольных множеств а не только для рассмотренных здесь случаев, когдаE=G -открытое множество иE=F- компакт. Дальнейшие обобщения: рассмотрение множеств на ри меновых поверхностях, пространств функций многих комплексных переменных, пространств векторнозначных аналитич. функций (со значениями в линейных топологич. пространствах).

Развитие теории Д. пространств аналитич. функций, с одной стороны, стимулировалось развитием общей теории Д. линейных топологич. пространств, а с другой стороны, само стимулировало развитие общей теории выявлением глубоких конкретных закономерностей. Применения Д. пространств аналитич. функций многообразны: вопросы интерполяции и аппроксимации (см. ниже), аналитическое продолжение, разделение и устранение множеств особенностей, интегральные представления различных классов функций.

в) Д. между теоремами полноты и единственности. Полнота системы элементов {fn} какого-либо локально выпуклого пространства Xимеет место в том и только том случае, когда для произвольного линейного непрерывного в Xфункционала

из п=1, 2, ..., следует Этот факт приводит к установлению связи между проблемами полноты в пространствах аналитич. функций и разного рода теоремами единственности для аналитич. функций. С функционалом связывается (ср. п. 1) нек-рая аналитнч. функция F(z).Условие n=1, 2, ... , приводит к равенству нулю F(z) в нек-рых точках или к равенству нулю коэффициентов F(z).Теоремы единственности позволяют заключить, что F(z)=0, а затем и что функционал Для пространств аналитич. функций в круге был сформулирован следующий принцип двойственности проблем единственности и полноты. ПустьАRи Ар- соответственно пространства функций, аналитических в кругах: |z|и |z|

и F(z,z) - функция, аналитическая в бицилиндре: |z|- линейные функционалы, определенные вArи и пусть и - подмножества функций, представимых соответственно в виде иLF(z,z).Последовательность функцийZбудет полной в тогда и только тогда, когда для каждой изи=0, 1, 2, ..., следует: j(z)=0.

В частности, когда и оба множества Oи Qсовпадают с совокупностью всех целых функций экспоненциального типа.

г) Д. в экстремальных задачах теории функций. Известно, что задачи наилучшего приближения в нормированных пространствах двойственно связаны с нек-рыми линейными экстремальными задачами. Так, если Е- подпространство в нормированном пространстве Xи w - произвольный элементX,то

где - аннуляторЕ,т. е. совокупность линейных функционаловl,обращающихся в нуль на элементахЕ.Соотношение (1), устанавливаемое на основании теоремы Хана - Банаха, оказалось впоследствии частным случаем двойственных связей экстремальных задач математич. программирования. Пусть Gесть n-связная область, границадGк-рой состоит из спрямляемых контуров,В1- класс аналитических в Gфункций f(z),E1- класс аналитических в Gфункций, представимых интегралом Коши через свои граничные значения, w(z) - какая-либо интегрируемая функция надG.Имеет место равенство:

Слева в этом соотношении стоит линейная экстремальная задача для ограниченных функций (напр., при получают задачу о - задачу о "лемме Шварца" - в многосвязной области); справа - задача наилучшего приближения произвольной функции w(z) надGграничными значениями аналитич. функций в интегральной метрике. Соотношение (2) служит отправным пунктом для проникновения в каждую из двух экстремальных задач, содержащихся в нем: с его помощью устанавливаются характеристич. свойства экстремальных функций и исследуется вопрос об их единственности и т. д. Функция f* (z) оказывается наделенной важными геометрич. свойствами: в задаче о лемме Шварца она отображает Gна n-листный круг; в других задачах с w(z), аналитической надG,функция f*(z) отображает Gнаm>п-листный круг (см. [2] - [4]).

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Избранные главы теории аналитических функций, М., 1976; [2] Итоги науки. Математический анализ. 1964, М., 1966, с. 76-164; [3] Итоги науки. Математический анализ. 1967, М., 1969, с. 75-132; [4] Итоги науки. Математический анализ. 1963, М., 1965, с. 5-80; [5] Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного, М., 1960, с. 77-85,

А. И. Маркушевич, С. Я. Хавинсон.

продолжение Двойственность...

5) Д. в теории топологических векторных пространств - тройка{F, G, f}, в к-ройF, G- векторные пространства над полемК, f- билинейный функционал (форма) вобладающий свойством отделимости: если f(x, y)=0для каждогоу,тоесли f(x, y)=0для каждогох,то Говорят также, что форма fосуществляет Д., а пространстваF, Gнаходятся в Д., или образуют дуальную пару; если f фиксирована, то пишут f(x, y)=(х, у).Важнейшим примером является естественная двойственность:F-(F,t) - локально выпуклое топологическое векторное пространство с топологией т, G=(F,t)' - сопряженное пространство всех линейных т-непрерывных функционалов в Fи (х, х')-х'(х)при свойство отделимости для этой формы (. , .) вытекает, напр., из локальной выпуклости топологии т (теорема о достаточном числе функционалов - следствие теоремы Хана - Банаха). Теория Д. изучает в основном способы построения объектов в FилиG,дуальных (двойственных) заданным относительно формы (. , .); соответствия между свойствами взаимно дуальных объектов; топологии, порождаемые Д. Основным инструментом этого изучения является аппарат поляр (приK=Rили С полярой множестваА,наз. множество

Д. порождает различные локально выпуклые топологии на F(и равным образом на G);такие, напр., как слабая топология s(F, G)(порожденная заданной Д.), задаваемая семейством полунорм |(Х, у)|,это - слабейшая топология, при к-рой все отображения (Х, у)непрерывны; топология Макки m(F, G)с базой окрестностей нуля, образованной полярамиА°абсолютно выпуклых s(G, F-компактных подмножеств Ав G;сильная топология t* (F, G),база к-рой образована полярами А0ограниченных подмножеств А в (G,s(G, F)).Для любогоА,множество A00является выпуклой s(F, G)-замкнутой оболочкой множества (теорема о биполяре). Пространство Gсовпадает с (F,s(F, G))'(основная теорема теории Д., показывающая, что любую Д. можно интерпретировать как естественную). Пространство (F', s(F', F))наз. слабым сопряженным сF.

Пусть F- локально выпуклое пространство над R или С. Для ограниченности множества А, необходимо и достаточно каждое из условий: а) Аограниченно в слабой топологии; б) А0- поглощающее множество. Если А- окрестность, то А0является s(F', F-компактом. Метризуемое пространство Fполно в том и только в том случае, когда замкнутость множестваА,в топологии s(F', F)равносильна замкнутости в той же топологии всех пересечений где U- окрестность нуля в F(теорема Крейна - Шмульяна). Если F- полное сепарабельное пространство и f - линейный функционал в F', то тогда и только тогда, когда из условия limxn=Oв топологии s(F', F)следует(теорема Гротендика). ПодмножествоАполного пространства Fотносительно s(F, F')-компактно, если оно относительно s(F, F')-секвенциально компактно (теорема Эберлейна). Выпуклое подмножество Апространства Фреше над Rs(F, F')-компактно тогда и только тогда, когда для любого f,существуета,такое, что (теорема Джеймса). Для того чтобы (F,t)' = G, необходимо и достаточно условие: топология т не слабее топологии s(F, G)и не сильнее топологии m(F, G) (теорема Макки - Аренcа, дающая важное в приложениях описание топологий, сохраняющих Д.). Каждое из следующих условий на пространство (F, х)достаточно для совпадения т с топологией Макки: a) F-бочечное пространство,б) F- борнологическое пространство (в частности, метризуемое). Сильная топология t* (F, G),вообще говоря, не сохраняет Д.; еслиX = Gлокально выпуклои X' = F,то пространствоХ*=(X',т* (X', X))наз. сильным сопряженным сX,и в случае, когда т* (X', X)сохраняет Д. (т. е.Х*' = Х),пространство Xназ. полурефлексивным (X-рефлексивное пространство,если Х** = Х).

Если Н-подпространствоF,то {H,G/H0}и{F/H, H0}- дуальные пары относительно естественных факторизации формы (Х, Х). Если задано семейство Д.{Fa, Ga,(Х, Х)a}, то Д. произведения пространствF=ПaFaи подпространстваG=П*aGaвсех финитных семейств из UaGaосуществляет форма

где

Подобным же образом описывается Д. индуктивного и проективного пределов Наличие в пространствахF, Faтопологий, сохраняющих Д., позволяет истолковать эти утверждения как описание естественных Д. для ПaFa(тихоновская топология),F/H(фактортопология), Н(индуцированная топология), и lim pr Fa, соответственно. В случае нормированного пространства Fестественный изоморфизмН*иF*/H0является изометрией:

Использование Д. в конкретных задачахлинейногоанализа пропорционально той роли, какую играют в этих задачах линейные (непрерывные) функционалы. Особенно заметными (если не определяющими) являются идеи теории Д. в следующих разделах анализа: в исследовании линейно топологических (метрических) свойств локально выпуклых пространств и, в частности, описании естественной Д. для данного пространства [1] -[3J, [5], в теории обобщенных функций [4], в теории экстремальных задач [6] - [7], в спектральной и структурной теории линейных операторов [1], [2] в теоремах полноты и единственности в теории аналитических функций, в теории аналитических функционалов Фантапье [8], см. также Двойственность в теории аналитических функций.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [2] Робертсон А. П., Робертсон В.-Дж., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1967; [3] Шефер Х., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [4] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., т. 1, М., 1982, т. 2, М., 1966; [5] Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961; [6] Иоффе А. Д., Тихомиров В. М., Теория экстремальных задач, М., 1974; [7] Рокафеллар Р., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973; [8] Хавин В. П., Итоги науки. Математический анализ. 1964, М., 1966, с. 76-164; [9] Хавинсон С. Я., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. 2, с. 25-98; [10] Diesteд J., Geometry of Banach spaces-selected topics, В.-N.Y., 1975.

H. К.Никольский.

6) Д. в экстремальных задачах и выпуклом анализе - особенность выпуклых множеств, выпуклых функций и выпуклых экстремальных задач, состоящая в возможности задавать их двояким образом - в основном и сопряженном пространствах. Замкнутые выпуклые множества в локально выпуклом топологич. векторном пространстве допускают двойственное описание: они совпадают с пересечением замкнутых полупространств, их содержащих. Это позволяет связать с каждым выпуклым множеством Ав векторном пространстве Xдвойственный объект в сопряженном пространстве - его поляру А0=Замкнутые выпуклые функции (т. е. функции с выпуклыми и замкнутыми надграфиками) в локально выпуклом топологич. векторном пространстве также допускают двойственное описание: они являются поточечными верхними гранями аффинных функций, их не превосходящих. Такая Д. позволяет связать с каждой выпуклой функцией f : X-> R двойственный объект - сопряженную функцию, заданную на сопряженном пространствеX*и определяемую формулой

Поточечные верхние грани линейных функций в локально выпуклом топологич. векторном пространстве суть выпуклые замкнутые однородные функции, и в этом факте заложена Д. между выпуклыми множествами и выпуклыми однородными функциями. В основании описанных Д. лежат теоремы Хана - Банаха о продолжении линейных функционалов и теоремы отделимости выпуклых множеств.

Сущность двойственного задания выпуклых множеств и выпуклых функций находит свое отражение в инволютивности оператора полярности А00=Аи сопряженияf**=f,имеющей место для выпуклых замкнутых множеств, содержащих нуль, и выпуклых замкнутых функций, всюду больших -. Последний результат, касающийся функций (наз. теоремой Фенхеля - Моро), порождает многочисленные теоремы Д. для экстремальных задач линейного и выпуклого программирования. Примером пары двойственных задач являются следующие две задачи линейного программирования

Здесь

Для пары двойственных задач линейного программирования имеет место следующая альтернатива: либо значения задач конечны и равны и в обеих задачах существует решение, либо в одной из задач множество допустимых значений пусто или значение задачи бесконечно .

Обычный прием построения двойственной задачи состоит в следующем. Задача минимизации

где X- линейное пространство,включается в класс подобных ей задач, зависящих от параметра:

где Y- некоторое другое линейное пространство, F(x, 0)=f(x)(функцию Fназ. возмущением f). Обычно Fпредполагается выпуклой. Двойственной к задаче по отношению к данному возмущению наз. задача

гдеF*- функция, двойственная (сопряженная) о Fв смысле Лежандра - Юнга - Фенхеля. Для простейших задач выпуклого программирования типа

где X- линейное пространство, выпуклые функции наX, В- выпуклое множество в X(частными случаями (3) являются задачи линейного программирования), обычно применяются следующие стандартные возмущения, зависящие от параметров

y=(у1,..., ym),т,Теоремы двойственности для общих классов задач выпуклого программирования утверждают, что при нек-рых допущениях на возмущение Fзначения задач (2) и (2*) совпадают, и более того, решение одной из задач является множителем Лагранжа для другой.

Лит.:[1] Minkowski H., Geometrie der Zahlen, Lpz.- В., 1910; [2] eго же, Gesammelte Abhandlungen, Bd 1-2, Lpz.-В., 1911; [3] Fenchel W., "Canad. J. Math.", 1949, v. 1, p. 73-77; [4] Рокафеллар P., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973; [5j Ekelandl., TemanR., Convex Analysis and Variational Problem, N. Y., 1976; [6] Иоффе А. Д., Тихомиров В. М., Теория экстремальных задач, М., 1974.

В. М. Тихомиров.

7)Д. конечных абелевых групп - классический прототип общейПонтрягина двойственностии различных более поздних ее модификаций. Относится к свойствам изоморфного соответствия между конечной абелевой группой Аи группой А= Ноm (А , k*)ее характеров со значениями в мультипликативной группеk*алгебраически замкнутого поля кхарактеристики, не делящей порядок группы А(см.Характеров

группа).Естественное отображение определенное правилом для всех также является изоморфизмом, причем для любой подгруппы имеет место равенство где

Соответствие устанавливает двойственность между решетками подгрупп групп Это соответствие взаимно однозначно и обладает свойствами

Лит.:[1] Понтрягин Л. С, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973, гл. 6; [2] Huppert В., Lndliche Gruppen I, В., 1967, S. 688 -96.

А. И. Кострикин.


Синонимы:
алогичность, амбивалентность, двоедушие, двоемыслие, двоякость, двуличие, двуличность, диада, дуализм, дуалистичность, ипокритство, криводушие, лживость, лицемерие, лицемерность, неискренность, нелогичность, непоследовательность, нечеткость, притворность, противоречивость, разноречивость, тартюфизм, фальшивость, фальшь, фарисейство, ханжество


Антонимы:
непротиворечивость


  1. двойственность—противоречиеstrong быть в ктол.strong ampLTampGT ЦЕЛОСТНОСТЬдвойственность противоречие в комл.двойственный.дуализм. дуалистический.диалектика. диалектический.двулики...Идеографический словарь русского языка
  2. двойственность—gt амбивалентность....Словарь практического психолога
  3. двойственность—см. амбивалентность....Большая психологическая энциклопедия
  4. двойственность—ж. dualit двусмысленность doppiezza ambiguit Итальянорусский словарь. Синонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада дуа...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  5. двойственность—ж Zwiespltigkeit f Dualitt f Schizophrenie f раздвоенность двусмысленность двуличностьem Heuchelei f Синонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость ...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  6. двойственность—двойственность ж . Zwiespltigkeit f c Dualitt f Schizophrenie f раздвоенность двусмысленность . двуличность Heuchelei f cСинонимы алогичность амбивалентность двоедушие дв...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  7. двойственность—duplicity...Большой русско-английский словарь биологических терминов
  8. двойственность—ж. противоречивостьem dualidad f двуличностьem falsedad fem duplicidad f...Большой русско-испанский словарь
  9. двойственность—сущ. жен. рода только ед. ч.от словаem двойственныйпротиворечивостьподвйнсть двойственность решения двостсть ршення...Большой русско-украинский словарь
  10. двойственность—ж. dualit f fausset f duplicit f двуличностьem ambigut f двусмысленностьem...Большой русско-французский словарь
  11. двойственность—ж. dualit f fausset f duplicit f двуличностьem ambigut f двусмысленность Синонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада д...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  12. двойственность—ситуация когда один субъект испытывает два противоположных чувства одновременно. Достоевский хорошо выразил глубинный характер двойственности человеческой души она стреми...Евразийская мудрость от А до Я
  13. двойственность—и ж.em .strong Свойство по прил.em двойственный в знач. противоречивость.Между тем и логика и история учат что мелкобуржуазная классовая точка зрения может быть более ...Малый академический словарь
  14. двойственность—корень ДВ корень ОЙ суффикс СТВ суффикс ЕНН суффикс ОСТЬ нулевое окончаниеОснова слова ДВОЙСТВЕННОСТЬВычисленный способ образования слова Суффиксальный ДВ ОЙ СТ...Морфемный разбор слова по составу
  15. двойственность—Начальная форма Двойственность винительный падеж слово обычно не имеет множественного числа единственное число женский род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  16. двойственность—двойственность ж. Отвлеч. сущ. по знач. прил. двойственный....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  17. двойственность—ситуация когда один субъект испытывает два противоположных чувства одновременно. Достоевский хорошо выразил глубинный характер двойственности человеческой души она стреми...Новый философский словарь
  18. двойственность—двойственность двойственность и...Орфографический словарь
  19. двойственность—u жu Р.u Д.u Пр.u двойственности алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада дуализм дуалистичность ипокритство криводушие лживо...Орфографический словарь русского языка
  20. двойственность—осарласты ек жатылы...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  21. двойственность—dualit...Политехнический русско-французский словарь
  22. двойственность—двойственность двойственности двойственности двойственностей двойственности двойственностям двойственность двойственности двойственностью двойственностями двойственности ...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  23. двойственность—Орфографическая запись слова двойственность Ударение в слове двойственность Деление слова на слоги перенос слова двойственность Фонетическая транскрипция слова двойственн...Полный фонетический разбор слов
  24. двойственность—двостсть р. тоста подвйнсть р. ности....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  25. двойственность—двойственность иСинонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада дуализм дуалистичность ипокритство криводушие лживость лице...Русский орфографический словарь
  26. двойственность—Ж мн. нет . ikilik ikitrflilik iki trf meyl etm . ikizllk....Русско-азербайджанский словарь
  27. двойственность—ambiguity...Русско-английский машиностроительный словарь
  28. двойственность—ж. duality duplicity психическая двойственность...Русско-английский медицинский словарь
  29. двойственность—двойственность ж.udualism duality double character natureдвойственность себе мат.u selfdualityСинонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличи...Русско-английский политехнический словарь
  30. двойственность—ж.duality dualism...Русско-английский психологический словарь
  31. двойственность—двойственность ж.i. duality . двуличностьi duplicity...Русско-английский словарь
  32. двойственность—двойственность ж. duality ambivalence duplicity....Русско-английский словарь II
  33. двойственность—f.duality теорема двойственности duality theorem двойственность себе f. selfdualityСинонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличност...Русско-английский словарь математических терминов
  34. двойственность—ж.duality dualism двойственность звзд двойственность Пуанкаре перестановочная двойственность...Русско-английский словарь по физике
  35. двойственность—dualism ampLTmath.ampGT duality двойственность себе обратная двойственностьСинонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада ...Русско-английский технический словарь
  36. двойственность—duality...Русско-английский экономический словарь
  37. двойственность—N...Русско-армянский словарь
  38. двойственность—Двастасць...Русско-белорусский словарь
  39. двойственность—двастасць жен.i...Русско-белорусский словарь II
  40. двойственность—дваuстасць ц двойственность Пуанкаре...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  41. двойственность—двастасць ц...Русско-белорусский физико-математический словарь
  42. двойственность—дво Синонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада дуализм дуалистичность ипокритство криводушие лживость лицемерие л...Русско-ивритский словарь
  43. двойственность—dualidad...Русско-испанский автотранспортный словарь
  44. двойственность—ж. dualit f duplicit f...Русско-итальянский политехнический словарь
  45. двойственность—. противоречивость ек жатылы. двуличность екжздлк...Русско-казахский словарь
  46. двойственность—ек жатылы екштылы...Русско-казахский терминологический словарь «История»
  47. двойственность—осдайылы...Русско-казахский терминологический словарь «Философия и политология»
  48. двойственность—ж. . оомалык оопайлык двойственность характера мнздн оомалыгы . двуличие эки жздлк эки беттлк....Русско-киргизский словарь
  49. двойственность—lingchngxng двуличностьem qqing tiduСинонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада дуализм дуалистичность ипокритство кри...Русско-китайский словарь
  50. двойственность—divkosgums divkosba divpusba divpusgums...Русско-латышский словарь
  51. двойственность—dviveidikumas...Русско-литовский словарь
  52. двойственность—Dualitt матем.u Zweiheit...Русско-немецкий политехнический словарь
  53. двойственность—Ambivalenz...Русско-немецкий экономический словарь
  54. двойственность—двойственностьж . . двуличность двусмысленность....Русско-новогреческий словарь
  55. двойственность—dualisme tvisyn алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада дуализм дуалистичность ипокритство криводушие лживость лицемерие лиц...Русско-норвежский словарь
  56. двойственность—жdualidade fu duplicidade f алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада дуализм дуалистичность ипокритство криводушие лживость л...Русско-португальский словарь
  57. двойственность—Двойственностьuwili ед....Русско-суахили словарь
  58. двойственность—двойственность духелаг дуряг...Русско-таджикский словарь
  59. двойственность—ж .ике трлелек икелелек .икеле икелемикеле булу...Русско-татарский словарь
  60. двойственность—ж противоречивостьem ikili nitelik ikilik двуличностьem ikiyzllk Синонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада дуализм д...Русско-турецкий словарь
  61. двойственность—астр. подвйнсть ност двойственность звезды матем. двостсть тост двойственность пространства Синонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличи...Русско-украинский политехнический словарь
  62. двойственность—психическая ambivalence dualit...Русско-французский медицинский словарь
  63. двойственность—dualita dvojakost dvojitost obojakost obojetnost podvojnost...Русско-чешский словарь
  64. двойственность—.strong duaalsus.strong kahenolisus kahesugusus kahesus silmakirjalikkus...Русско-эстонский словарь
  65. двойственность—непротиворечивостьСинонимы алогичность амбивалентность двоедушие двоемыслие двоякость двуличие двуличность диада дуализм дуалистичность ипокритство криводушие лживость ли...Словарь антонимов
  66. двойственность—двойственность дуализм противоречивость разноречивость нелогичность двуличность двоедушие двоякость фальшивость непоследовательность лживость лицемерие нечеткость двуличи...Словарь синонимов II
  67. двойственность—двойственность дуализм противоречивость разноречивость нелогичность двуличность двоедушие двоякость фальшивость непоследовательность лживость лицемерие нечеткость двуличи...Словарь синонимов
  68. двойственность—ДВОЙСТВЕННОСТЬ двойственности мн. нет ж. книжн. Отвлеч. сущ. к двойственный. Двойственность в характере....Толковый словарь русского языка II
  69. двойственность—ДВОЙСТВЕННОСТЬ ж. см. двойственный....Толковый словарь русского языка
  70. двойственность—Ударение в слове двойственностьУдарение падает на букву оБезударные гласные в слове двойственность...Ударение и правописание
  71. двойственность—Rzeczownik двойственность f dwoisto f dwulicowo f...Универсальный русско-польский словарь
  72. двойственность—ДВОЙСТВЕННОСТЬ содержательное понятие применяемое в логике и математике всякий раз когда между двумя группами понятий установлено взаимнооднозначное соответствие так что ...Философская энциклопедия
  73. двойственность—содержательное понятие применяемое в логике и математике всякий раз когда между двумя группами понятий установлено взаимнооднозначное соответствие так что замена понятий ...Философская Энциклопедия (в 5 томах)
  74. двойственность—двойственность двойственности двойственности двойственностей двойственности двойственностям двойственность двойственности двойственностью двойственностями двойственности ...Формы слова
  75. двойственность—ДВОЙСТВЕННОСТЬ duality Возможность формулировки экономических задач в альтернативных наборах переменных. Например в линейном программировании linear programming в качеств...Экономический словарь
  76. двойственность—Стенной Стенд Стен Соте Сост Сосед Сонность Сонно Сонет Сон Сойот Соед Соевод Совет Совесть Сносно Снос Снов Снедь Сеть Сет Сесть Сестон Сент Сенон Сено Сенной Седость Се...Электронный словарь анаграмм русского языка
  77. двойственность—Двойственность В геометрии обыкновенно принимается точка за основной элемент причем линии рассматриваются как геометрические места точек но с таким же правом следуя Плюк...Энциклопедический словарь
  78. двойственность—В геометрии обыкновенно принимается точка за основной элемент причем линии рассматриваются как геометрические места точек но с таким же правом следуя Плюкеру можно за осн...Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона