ГАЛУА ТЕОРИЯ КОЛЕЦ

- обобщение результатов теорииГалуа полейна случай ассоциативных колец с единицей. ПустьА -ассоциативное кольцо с единицей,Н -некоторая подгруппа группы всех автоморфизмов кольцаА, N -подгруппа группыН,

.Тогда - подкольцо кольцаА.Пусть - подкольцо кольцаА .Говорят, что автоморфизм hкольца Асоставляет кольцо поэлементно инвариантным, если для всех . Множество всех таких автоморфизмов обозначается . Пусть

Основной объект изучения Г. к. т.- соответствия:

В отличие от теории Галуа полей (даже в том случае, когда группа Нконечна) здесь не всегда выполняется равенство G(B₁)= H(B₁),а соответствия 1), 2) и 1), 3) не обязаны быть взаимно обратными. Поэтому представляет интерес выделение таких семейств подколец и семейств подгрупп, для к-рых справедлив аналог теоремы о соответствиях Галуа.В двух случаях эта задача получила удовлетворительное решение. Первый из них характеризуется требованием "близости" свойств кольцаА ксвойствам поля (напр.,А -тело или полное кольцо линейных преобразований векторного пространства над телом), второй - требованием "близости" строения кольца Анад подкольцом Вк строению соответствующей пары в случае, когдаА -поле (напр., .В-модуль проективен).

Пустьс -обратимый элемент кольца Аи - автоморфизм кольцаА,определяемый равенством

- подалгебра алгебры А, порожденная обратимыми элементами , для которых Группа Нназ.N - группой,если для всех обратимых . ЕслиА -тело,В -его подтело, причем ,А -конечномерное левое векторное пространство надВ,то соответствия Галуа и являются обратными друг к другу где Нпринадлежит множеству всех N-подгрупп группы G(B),aD-множеству всех подтел тела Л, содержащих телоВ.

Аналогичный результат справедлив и в том случае, когдаА -полное кольцо линейных преобразований (однако соответствующая система условий, выделяющая семейства подгрупп и семейства подколец, формулируется несколько сложнее).

Пусть далееА -коммутативное кольцо без нетривиальных идемпотентов и . Кольцо Аназ. конечным нормальным расширением кольцаВ,если и А- конечно порожденный B-модуль. Кольцо Аможно рассматривать как -модуль, полагая

где . Кольцо Аназ. сепарабельной В-алгеброй, еслиА -проективный - модуль. ЕслиА -конечное нормальное сепарабельное расширение кольцаВ,тоА -конечно порожденный проективный fi-модуль, группа G(B).конечна и отображения , задают взаимно обратные соответствия между множеством всех подгрупп группы G(B).и множеством всех сепарабельных B-подалгебр алгебрыА.

Всякое кольцо Вобладает сепарабельным замыканием, являющимся аналогом сепарабельного замыкания поля. Группа всех автоморфизмов этого замыкания, оставляющих кольцо Впоэлементно инвариантным, оказывается, в общем случае, проконечной группой. Соответствия 1) и 2) являются взаимно обратными на множестве всех замкнутых подгрупп полученной группы и на множестве всех сепарабельных В-подалгебр сепарабельного замыкания кольцаВ.

Аналогичные результаты справедливы и в том случае, когда кольцо Всодержит нетривиальные идемпо-тенты. При этом, однако, ряд основных понятий подвергается существенному изменению. Напр., роль группы Галуа G(B).играет фундаментальный группоид.Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [2] Сhase S. U., Swed1еr М. Е., Hopf algebras and Galois theory, В.- Hdlb.- N. У., 1969; [3] De Меуеr F., Ingraham E., Separable algebras over commutative rings, В.- Hdlb.-N. Y., 1971; [4] Magid A. R., The separable Galois theory of commutative rings, N. Y., 1974.

К.И. Бейдар, А. В. Михалев.