Математическая энциклопедия

БИФУРКАЦИЯ

- термин, употребляемый в нек-рых разделах математики применительно к ситуации, когда нек-рый объект зависит от параметра (не обязательно скалярного) и в любой окрестности нек-рого значения последнего (бифуркационное значение, или точка Б.) исследуемые качественные свойства объекта не являются одинаковыми для всех . Соответствующие точные определения различны в различных случаях, но в общем они следуют (с теми или иными модификациями) двум вариантам:

а) Изучаемые качественные свойства объекта состоят в существовании других объектовО,определенным образом связанных с ним. Б. состоит в том, что при изменении объекты Овозникают или исчезают (в частности, они могут сливаться друг с другом, или из одного объекта может "рождаться" несколько). См. ниже - п. 1).

б) Сначала для объектов определяется, когда два таких объекта считаются эквивалентными. (Определение должно быть таким, чтобы у эквивалентных объектов все интересующие нас качественные свойства были одинаковыми.) Изменение качественных свойств в окрестности точки Б. , по определению, понимается в том смысле, что там имеются значения с неэквивалентными .См. ниже - п. 2).

1) В теории операторов исходный объект - это нелинейный оператор в действительном банаховом пространстве, с действительным параметром , определенный в окрестности точки и такой, что . Ему при каждом фиксированном сопоставляются другие объектыО -решения хнелинейного операторного уравнения . Точка В.- это точка, в к-рои происходит рождение нового, нетривиального решения этого уравнения. Именно, это такая точка , что для любого существует при к-ром уравнение имеет решение , удовлетворяющее условиям Если , где A - линейныйвполне непрерывный оператор,то понятие точки Б. совпадает с понятием характери-стич. значения оператораА.

Если - нелинейный вполне непрерывней оператор, непрерывно дифференцируемый в смысле Фреше и такой, что , то точками Б. оператора Ф могут служить лишь характеристич. значения оператораА.Топологич. методом (см. [1], [2]) установлено, что каждое нечетнократное (в частности, простое) характеристич. значение оператора Аявляется точкой Б. оператора Ф. Аналогичное достаточное условие для случая четнократных характеристических значений формулируется с помощью понятия вращения векторного поля.

Если - неизолированное решение уравнения есть точка Б. оператора Ф. Вариационным методом доказано (см. [1], [2]), что если - нелинейный вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве, являющийся градиентом слабо непрерывного функционала, а - вполне непрерывный самосопряженный оператор, то каждое характеристич. значение оператора Аявляется точкой Б. оператора Ф. Понятие точки Б. видоизменяется также на случай больших решений при Важное значение этих понятий и результатов состоит в том, что при сравнительно слабых ограничениях удается установить ветвление решения в частности доказать неединственность решения нелинейной задачи. В ряде случаев более точную информацию дают аналитич. методы теорииветвления решенийнелинейных уравнений (см. [5]).

2) В теории гладких динамич. систем рассматриваются однопараметрические (и отчасти двупараметрические [6]) семейства потоков (и каскадов; здесь рассматриваются лишь первые), причем выясняется, когда Б. "типичная", т. е. сохраняет свой характер при малом изменении рассматриваемого семейства [9]; употребительны оба варианта а) и б). При втором два потока считаются эквивалентными, если существует гомеоморфизм фазового пространства, переводящий траектории одного из них в траектории другого с сохранением направления движения. Имеется вполне удовлетворительная теория Б. однопараметрич. семейств потоков с двумерным фазовым многообразием [7], [9], а также локальный вариант, относящийся к окрестности положения равновесия или периодич. решения в гс-мерном случае [6].

В варианте а) изучаемые объектыО,к-рые сопоставляются данной дннамич. системе,- это положения равновесия и периодич. решения, а иногда также нек-рые инвариантные многообразия (преимущественно торы) и гиперболич. инвариантные множества. Рассматривается "рождение" этих объектов, происходящее как "локально", возле нек-рого положения равновесия или периодич. решения, так и "полулокально", в окрестности "замкнутого контура", образованного несколькими траекториями, к-рые при стремятся к положению равновесия или к периодич. решениям. Возможен случай В., к-рая в определенном Смысле связана с подобным контуром, но к-рая происходит (с изменением параметра ) еще до его возникновения [8]. Часто рождение периодич. решений бывает удобно рассматривать, переписывая дифференциальное уравнение и условие периодичности в виде интегрального уравнения и применяя к нему соответствующие методы [5].

3) В теории особенностей отображений встречаются разнообразные Б. различных объектов (как исходных, так и сопоставленных им), в связи с чем имеются различные случаи использования этого термина (вернее, производных от него) (см. [10], [6], [11]), но еще чаще соответствующие понятия получают самостоятельные названия. Таковы, напр., версальные семейства (или деформации) (см. [6], [И], [12]), к-рые (в нек-ром смысле) описывают все возможные Б., могущие произойти при малой деформации рассматриваемого объекта, в частности сюда относятся семь элементарных катастроф [12], к-рые представляют собой "типичные" k-параметрические () семейства функций, включающие функцию с вырожденной критической точкой и определенные в окрестности последней; тем самым они описывают соответствующую Б. (Вообще, в иностранной литературе по теории особенностей вместо Б. часто говорят о "катастрофах".)

Лит.:[1] Красносельский М. А., Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, М., 1956; [2] Функциональный анализ, М., 1964; [3] Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравнений, М., 1962; [4] Вайнберг М. М., Вариационные методы исследования нелинейных операторов, М., 1956; [5] Вайнберг М. М., Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969; [6] Арнольд В. И., "Успехи матем. наук*", 1972, т. 27, в. 5, 119-84; [7] Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г., Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, М., 1967; [8] Гаврилов Н. К., Шильников Л. П., "Матем. сб.", 1972, т. 88, №4, 475-92; 1973, т. 90, №1,139-56; [9] Реiхоtо М. М., в кн.: Proceedings of the International Congress of Mathematics, Vancouver, 1974, v. 2, p. 315-19; [10] Том P.. "Успехи матам, наук". 1972., т,. 27. в 5, 51-7; [11] Арнольд В. И., "Успехи матем. наук", 1975, т. 30, в. 5, 3-65; [12] Brocker P., Lander L., Differentiable germs and catastrophes, Cambrige, 1975.

Д. В. Аносов, В. А. Треногий.


Синонимы:
разветвление, раздвоение, разделение


  1. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ новолат. bifurcatio раздвоение разветвление от лат. bis дважды furca вилы вилообразное раздвоение органа напр. трахеи на два бронха аорты на две общие подвзд...Биологический энциклопедический словарь
  2. бифуркация—см. Синергетика....Большая психологическая энциклопедия
  3. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ от лат. bifurcus раздвоенный мед. разделение трубчатого органа сосуда или бронха на ветви одинакового калибра отходящие в стороны под одинаковыми углами....Большая советская энциклопедия
  4. бифуркация—от лат. bifurcus раздвоенный мед. разделение трубчатого органа сосуда или бронха на ветви одинакового калибра отходящие в стороны под одинаковыми углами....Большая Советская энциклопедия II
  5. бифуркация—bifurcatio PNA лат. bifurcus раздвоенный разделение трубчатого органа на две ветви приблизительно одинакового калибра напр. Б. трахеи Б. аорты....Большой медицинский словарь
  6. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ см. Синергетика....Большой психологический словарь
  7. бифуркация—bifurcation...Большой русско-английский словарь биологических терминов
  8. бифуркация—ж. книжн.bifurcacin f...Большой русско-испанский словарь
  9. бифуркация—f Bifurkation f бифуркация аортыбифуркация трахеи...Большой русско-немецкий медицинский словарь
  10. бифуркация—сущ. жен. рода...Большой русско-украинский словарь
  11. бифуркация—от лат. bifurcus раздвоенный англ. bifurcation нем. Bifurkation. Тип родственных отношений связывающих семью супругов и их родителей при кром родственники по женской ли...Большой толковый социологический словарь II
  12. бифуркация—от лат. bifurcus раздвоенный в биологии раздвоениевилообразное разделение напр. трахеи на главных бронха....Большой энциклопедический словарь II
  13. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ в педагогике см. в ст. Фуркация....Большой энциклопедический словарь III
  14. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновы...Большой энциклопедический словарь III
  15. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ от лат. bifurcus раздвоенный в биологии раздвоение вилообразное разделение напр. трахеи на главных бронха....Большой Энциклопедический словарь V
  16. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ в педагогике см. в ст. Фуркация....Большой Энциклопедический словарь V
  17. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов...Большой Энциклопедический словарь V
  18. бифуркация—Через несколько лет все закончится человечество разделится надвое. Возврата нет и у того мира который вам знаком нет будущего. Со всеми надеждами и мечтами людей Земли по...Галактическая энциклопедия из научно-фантастической литературы
  19. бифуркация—[bifurcatio раздвоение разделение на две ветви] разветвление на две части. В биологии син. термина дихотомия.iГеологический словарь в х томах. М. Недра.Под редакцией К...Геологическая энциклопедия
  20. бифуркация—strong БИФУРКАЦИЯ от лат. bifurcus раздвоенный биол. раздвоение вилообразное разделение напр. трахеи на гл. бронха. strong БИФУРКАЦИЯ приобретение нового качества в д...Естествознание. Энциклопедический словарь
  21. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ и ж. bifurcation f. лат. bifurcatio. strong. Раздвоениеem. Мак. . Раздвоение реки горного хребта кровеносного сосуда и прem. Павленков . Естествознание ели оно...Исторический словарь галлицизмов русского языка
  22. бифуркация—лат. раздвоенный приобретение нового качества движениями динамической системы при малом изменении ее параметров см. Система. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкар...Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов
  23. бифуркация—лат. раздвоенный приобретение нового качества движениями динамической системы при малом изменении ее параметров см. Система. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкар...Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов
  24. бифуркация—и ж. книжн.em Разделение разветвление чегол. реки кровеносного сосуда и т. п. на два потока.[От лат. bifurcatio раздвоение] разветвление раздвоение разделение...Малый академический словарь
  25. бифуркация—bifurcatio PNA лат. bifurcus раздвоенныйразделение трубчатого органа на две ветви приблизительно одинакового калибра например Б. трахеи Б. аорты....Медицинская энциклопедия
  26. бифуркация—Начальная форма Бифуркация единственное число женский род именительный падеж неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  27. бифуркация—от лат. bifurcus раздвоенный в биологии раздвоение вилообразное разделение чеголибо на две ветви в механике динамике разветвление в траектории движения системы в опред...Начала современного естествознания
  28. бифуркация—бифуркация ж. Раздвоение разделение разветвление реки кровеносного сосуда и т.п. на два потока....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  29. бифуркация—bifurcation в анатомии точка в которой происходит разделение на две ветви например кровеносных сосудов или трахеи....Оксфордский толковый словарь общей медицины
  30. бифуркация—бифуркация бифуркация и...Орфографический словарь
  31. бифуркация—арналану ашалану...Орысша-қазақша «Ауыл шаруашылығы» терминологиялық сөздік
  32. бифуркация—бифуркация...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  33. бифуркация—бифуркация...Орысша-қазақша «Электроника, радиотехника және байланыс» терминологиялық сөздік
  34. бифуркация—bifurcation...Политехнический русско-французский словарь
  35. бифуркация—приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в нач. в...Политическая наука - Словарь-справочник
  36. бифуркация—Бифуркация приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновы...Политология. Словарь.
  37. бифуркация—бифуркация бифуркации бифуркации бифуркаций бифуркации бифуркациям бифуркацию бифуркации бифуркацией бифуркациею бифуркациями бифуркации бифуркациях...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  38. бифуркация—Орфографическая запись слова бифуркация Ударение в слове бифуркация Деление слова на слоги перенос слова бифуркация Фонетическая транскрипция слова бифуркация [бфркаа] Х...Полный фонетический разбор слов
  39. бифуркация—[от лат. bifurcus раздвоенный позднелат. furca tus разделенный] раздвоение разделение разветвление чегол. в анат. разделение трубчатого органа на две ветви напр. трахеи н...Психомоторика словарь-справочник
  40. бифуркация—раздвоfontй м....Расейска-беларускі слоўнік медыцынскіх тэрмінаў
  41. бифуркация—бифуркация иСинонимы разветвление раздвоение разделение...Русский орфографический словарь
  42. бифуркация—Ж bifurkasiya haalanma ikiy ayrlma....Русско-азербайджанский словарь
  43. бифуркация—ж. разделение на две ветвиem bifurcation bifurcatioem [NA] бифуркация аорты бифуркация лгочного ствола бифуркация трахеи...Русско-английский медицинский словарь
  44. бифуркация—bifurcation бифуркация ж.ubifurcation branching разветвление раздвоение разделение...Русско-английский политехнический словарь
  45. бифуркация—бифуркация ж.ibifurcation...Русско-английский словарь
  46. бифуркация—f.bifurcation branchingСинонимы разветвление раздвоение разделение...Русско-английский словарь математических терминов
  47. бифуркация—bifurcation разветвление раздвоение разделение...Русско-английский словарь по машиностроению
  48. бифуркация—ж.бифуркация при пересечении единичной окружности парой комплексносопряжнных мультипликаторов bifurcation when the unit circle is crossed by a pair of complex conjugate ...Русско-английский словарь по физике
  49. бифуркация—bifurcation...Русско-английский словарь по электронике
  50. бифуркация—реки bifurcation...Русско-английский строительный словарь
  51. бифуркация—bifurcation branchingСинонимы разветвление раздвоение разделение...Русско-английский технический словарь
  52. бифуркация—бфуркацыя...Русско-белорусский математический словарь
  53. бифуркация—Бфуркацыя...Русско-белорусский словарь
  54. бифуркация—книжн.i бфуркацыя жен.i...Русско-белорусский словарь II
  55. бифуркация—бiфуркаuцыя цыi...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  56. бифуркация—бiфуркацыя цыi...Русско-белорусский физико-математический словарь
  57. бифуркация—biforcazione...Русско-итальянский медицинский словарь
  58. бифуркация—ж. матем. biforcazione f...Русско-итальянский политехнический словарь
  59. бифуркация—бифуркация бр нрсен екге айырылуы ек баыта блну...Русско-казахский словарь
  60. бифуркация—ашалану...Русско-казахский терминологический словарь «Биология»
  61. бифуркация—бифуркация...Русско-казахский терминологический словарь «История»
  62. бифуркация—бифуркация ажарылу...Русско-казахский терминологический словарь «Философия и политология»
  63. бифуркация—ж. бифуркация экиге айрылуу экиге блн бифуркация реки дарыянын бифуркациясы....Русско-киргизский словарь
  64. бифуркация—Синонимы разветвление раздвоение разделение...Русско-китайский словарь
  65. бифуркация—Bifurkation Gabelung...Русско-немецкий политехнический словарь
  66. бифуркация—gaffeldeling разветвление раздвоение разделение...Русско-норвежский словарь
  67. бифуркация—астр. матем. бфуркаця Синонимы разветвление раздвоение разделение...Русско-украинский политехнический словарь
  68. бифуркация—bifurcation...Русско-французский медицинский словарь
  69. бифуркация—bifurkace...Русско-чешский словарь
  70. бифуркация—бифуркация иСинонимы разветвление раздвоение разделение...Русское словесное ударение
  71. бифуркация—от лат. bifurcatio раздвоение метод научного познания социальных явлений связанный с поведением сложных систем в состояниях и условиях далеких от равновесия. Впервые пр...Сводный словарь по политологии
  72. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ лат. bifurcatio развилка разделение разветвление чегол. на два потока или направления в эзотерике предсказательные дисциплины принцип прогнозирования предпол...Словарь астрологических терминов
  73. бифуркация—от лат. bifurcus раздвоенныйВ экономике разветвление структуры экономической системы раздвоение траектории характера функционирования социальноэкономической системыСлова...Словарь бизнес терминов
  74. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ bifurcatio onis лат. bis дважды и furca ae f вилка разделение трубчатого органа на две ветви одинакового диаметра....Словарь ветеринарных гистологических терминов
  75. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ лат. bifurcatio от bis дважды и firca вила. раздвоение. Деление надвое. разделение учебных занятий и самих учащихся на два различных курса. Словарь иностра...Словарь иностранных слов русского языка
  76. бифуркация—от лат. bifurcus раздвоенный в синергетике и некоторых др. современных физических и математических теориях стадия в процессе изменения системы которое обусловлено возр...Словарь конфликтолога
  77. бифуркация—бифуркация bifurcatio PNA лат. bifurcus раздвоенный разделение трубчатого органа на две ветви приблизительно одинакового калибра напр. Б. трахеи Б. аорты....Словарь медицинских терминов
  78. бифуркация—бифуркация раздвоение разветвление разделение на две части Словарь русских синонимов. бифуркация сущ. колво синонимов разветвление раздвоение разделение Словарь си...Словарь синонимов II
  79. бифуркация—бифуркация раздвоение разветвление разделение на две части...Словарь синонимов
  80. бифуркация—раздвоение разделение разветвление чеголибо точка ветвления путей эволюции открытой нелинейной системы Бифуркацию иллюстрирует биология в виде эволюционного дерева которо...Словарь-справочник по философии
  81. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ в педагогике см. в ст. Фуркация....Современный энциклопедический словарь
  82. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ от лат . bifurcus раздвоенный в биологии раздвоение вилообразное разделение напр. трахеи на главных бронха....Современный энциклопедический словарь
  83. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновы...Современный энциклопедический словарь
  84. бифуркация—от лат. bifurcatio раздвоение метод познания социальных явлений связанных с поведением сложных систем в неравновесных условиях. Термин предложил Э. Ласло опираясь на те...Социальный менеджмент. Словарь-справочник
  85. бифуркация—существенное качественное изменение состояния системы заставляющее познающего субъекта ее переопределить. Очень часто за бифуркацию принимают особенные точки состояния си...Теоретические аспекты и основы экологической проблемы
  86. бифуркация—бифуркация [lt лат. bifurcus раздвоенный] раздвоение разделение разветвление чегол. в географии разделение реки на две ветви которые в дальнейшем не сливаются и впадают...Толковый словарь иностранных слов
  87. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ бифуркации ж. от латин. bis дважды и furca вилы. разделение Разветвление чегон. в двух направлениях науч. книжн. разделение кровеносного сосуда или нерва ан...Толковый словарь русского языка II
  88. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ ж. Раздвоение разделение разветвление реки кровеносного сосуда и т.п. на два потока....Толковый словарь русского языка
  89. бифуркация—Ударение в слове бифуркацияУдарение падает на букву аБезударные гласные в слове бифуркация...Ударение и правописание
  90. бифуркация—Rzeczownik бифуркация f bifurkacja f...Универсальный русско-польский словарь
  91. бифуркация—нарушение устойчивости эволюционного режима системы приводящее к возникновению после точки бифуркации квантового спектра альтернативных виртуальных сценариев эволюции. Вс...Философия науки
  92. бифуркация—бифуркация бифуркации бифуркации бифуркаций бифуркации бифуркациям бифуркацию бифуркации бифуркацией бифуркациею бифуркациями бифуркации бифуркациях Источник Полная акцен...Формы слова
  93. бифуркация—Фрикция Фрик Фри Фрау Фракция Фракия Фрак Фра Фира Фикция Фибра Фиакр Фбр Фация Фау Факир Уфа Урка Уик Убия Уба Рука Рубка Рубик Рия Рифя Риф Рик Риа Рая Рация Рафия Рафи...Электронный словарь анаграмм русского языка
  94. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ в педагогике см. в ст. Фуркация....Энциклопедический словарь естествознания
  95. бифуркация—БИФУРКАЦИЯ приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов...Энциклопедический словарь естествознания
  96. бифуркация—от лат. bifurcus раздвоенный англ. bifurcation нем. Bifurkation. Тип родственных отношений связывающих семью супругов и их родителей при кром родственники по женской ли...Энциклопедия социологии