Математическая энциклопедия

АРИФМЕТИКА

- область знаний о числах и операциях в числовых множествах. Говоря об А., имеют в виду рассмотрение вопросов о происхождении и развитии понятиячисла,приемы и средства вычислений, исследование операций с числами различной природы, анализ аксиоматич. структуры числовых множеств, свойства чисел. Когда делается упор на логич. анализе понятия числа, то иногда употребляют термин теоретическая арифметика. А. тесно связана салгеброй,в к-рой, в частности, изучаются свойства операций над числами. Свойства же самих целых чисел составляют предмет теории чисел (см.Элементарная теория чисел, Чисел теория).

Термин "А." иногда употребляют и тогда, когда имеют дело с операциями над объектами самой различной природы: "А. матриц", "А. квадратичных форм" и т. д.

Культура счета возникла и развивалась задолго до создания дошедших до нас письменных памятников. Наиболее древними письменными математич. памятниками являются кахунские папирусы и знаменитый папирус Ринда, относящийся приблизительно к 2000 до н. э. Аддитивная иероглифич. системасчисленияпозволяла египтянам сравнительно просто производить только операции сложения и вычитания натуральных чисел.

Умножение выполнялось с помощью удвоения, т. е. множитель разбивался на сумму степеней двойки, производилось умножение на отдельные слагаемые, а затем компоненты складывались. Действия сдробямиегиптяне сводили к операциям саликвотными дробям п, т. е. с дробями вида -. Более сложные дроби разбивались с помощью таблиц на сумму алпквотных дробей. Деление осуществлялось вычитанием из делимого чисел, получаемых в процессе последовательного удвоения делителя. Громоздкая шестидесятичная система счисления вавилонян вызывала большие трудности при выполнении арифметич.операций. До нас дошли многочисленные таблицы, с помощью к-рых вавилоняне выполняли умножение и деление.

А. у греков - изучение свойств чисел; они не относили к ней практику вычислений. Вопросы, связанные с техникой операций над числами, т. е. способы вычислений, составляли особую науку, наз. логистикой. Такое разделение от греков перешло в средневековую Европу. Только в эпоху Возрождения общим назв. А. стали объединять как начатки теории чисел, так и практику вычислений. Греческая математика резко разграничивала понятия числа и величины. Греческие математики называли числами только те числа, к-рые теперь наз.натуральными числами,и различали такие разнородные, по их представлениям, понятия, как числа п гео-метрич. величины. Специальные греческие сочинения по логистике до нас не дошли: все же известно, что греки применяли способ умножения, близкий к современному. Алфавитная система нумерации сильно усложняла операции над числами. Греки практиковали вычисления с обыкновенными дробями, однако дроби не рассматривались как- числа, а только как отношения натуральных чисел.

7 -9-ю книги "Начал" Евклид (3 в. до н. э.) посвятил целиком А. в античном. алгоритм отысканиянаибольшего общего делителя(см.Евклида алгоритм),теоремы опростых числах.Евклид обосновывает коммутативность умножения, а также дистрибутивность этой операции относительно сложения. Рассматривается теория пропорций, т. е., по существу, теория дробей. В других книгах в геометрич. форме излагается общая теория отношений величин, к-рую можно рассматривать как зачатки теориидействительных чисел.

8 дошедших до нас рукописях Диофанта (вероятно, 3 в.) можно найти действия со степенями, показатели к-рых не превосходят шести, и нек-рые приемы операций с вычитаемыми. В неявной форме это операции с отрицательными числами. Сформулированные Диофантом правила применялись им только крациональным числам.

Китайские математики во 2 в. оперировали с дробями и отрицательными числами. Несколько позже ими рассматривались методы извлечения квадратных п кубич. корней, приближенные значения к-рых выражались в видедесятичных дробей.Применявшиеся китайскими математиками для решения арифметич. задач правила, в частности правило двух ложных положений, вошли во многие руководства по А. сначала у арабов, а затем и в Европе. О начальном периоде арифметич. культуры в Индии не имеется достаточно данных. Простейшие дроби употреблялись в Индии задолго до нашей эры. Ныне общепринятаядесятичная система счисленияиндийского происхождения. Начиная с 5 в. имеются датированные письменные источники и они показывают высокую арифметич. культуру Индии в ту эпоху. Индийские математики оперировали с целыми и дробными числами методами, близкими к современным. Решались многие задачи на пропорции, тройное правило и проводились процентные вычисления. С 7 в. начали рассматриваться отрицательные числа. В сочинениях Бхаскары II "Венец науки" (12 в.) приводятся правила умножения и деления отрицательных чисел.

Индийская математика оказала решающее влияние на развитие арифметич. знаний у арабов. Написанный в 9 в. Мухаммедом аль-Хорезмп трактат по А. способствовал повсеместному распространению индийской десятичной системы записи чисел и способов сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

У многих древних народов первоначальные приемы счета на пальцах заменяются вычислениями наабаке.Абак менял свою форму, но принцип оставался один и тот же - разграфленные колонны или к.-л. другим образом отведенные места для поразрядной отметки чисел. У греков абак употреблялся задолго до нашей эры. Абак (суан-пан) у китайцев по форме близок к нашим русским счетам, представляющим собой также разновидность абака.

В то время как теоретико-числовые исследования в Европе возникли на базе греческой математики, в первую очередь трудов Евклида п Диофанта, совершенно иначе обстоит дело с техникой вычислений. Развитие А. в Европе связано с распространением индийской десятичной позиционной системы иарабских цифр.Техника арифметич. операций заимствована из Индии не непосредственно, а в результате ознакомления с трудами Мухаммеда аль-Хорезми и других арабских математиков.

В средние века широко применялся абак. Он стал даже синонимом слова А., так что Леонардо Ппзанский (Leonardo Pisano, 13 в") назвал свой трактат по А. "Книга абака". В этой книге изложены заимствованные иа арабских источников приемы вычисления, однако сделаны и существенные усовершенствования. Напр., при сложении дробей используется наименьшее общее кратное знаменателей, а проверка действий производится не только, как это делали индийцы с помощью девятки, но и с использованием нек-рых других модулей, Рассматриваются задачи на тройное правило, правиле товарищества, на смешение величин, задачи, в к-рыз фигурируют рекуррентные последовательности,арифметические прогрессииигеометрические прогрессии.В Европе первые шаги в направлении применения десятичных дробей были сделаны в 15 в., но широкое распространенпе они получили только в 16 в. после выхода сочинений С. Стевина (S. Stevin).

В 15-16 вв., да и позже, предлагались разные схемы для умножения и деления многозначных чисел. Эти схемы отличаются друг от друга, в сущности, только характером записи промежуточных вычислений. Общепринятый в настоящее время способ умножения ввел А. Ризе (A. Riese, 16 в.).

Отрицательные числа появляются в Европе впервые у Леонардо, к-рый трактовал их в форме долга. Операции с отрицательными числами систематизируются М. Штифелем (М. Stiefel, 16 в.). Такие числа он наз. "фиктивными". В 18 в. еще рассматривались доказательства правил операций с отрицательными числами и только критич. мышление 2-й пол. 19 в. положило конец серьезному восприятию таких работ.

Арифметич. действия над иррациональными числами до 15-16 вв. в Европе ограничивались квадратными корнями. Все же Леонардо рассматривал вопрос о приближенном вычислении не только квадратных, но и кубич. корней. С. Даль Ферро (S. Dal Ferro, конец 15 в.-начало 16 в.) и Н. Тарталья (N. Tartaglia, 16 в.) при решении уравнения 3-й степени стали употреблять кубич. корни. Общая трактовка операций с действительными числами отсутствовала. Понятие действительного числа входило в математпч. обиход только постепенно в связи с развитием аналитич. еометрии и математич. анализа.

Вплоть до 18 в. обоснование операций над иррациональными числами ограничивалось величинами выражаемыми в радикалах. При рассмотрении квадратных уравнений математики разных эпох, начиная с индийских математиков, встречались с комплексными величинами. Однако мнимые решения отбрасывались как несуществующие. А.комплексных чиселначинается с работ Р. Бомбеллн (R. Bombelli, 16 в.), давшего формальные правила арифметич. действий над такими числами. Но и в 17 в. операции над комилексными числами производили по аналогии с операциями над действительными числами, что часто приводило к ошибкам. Только в 18 в. формулы Муавра и Эйлера обеспечили возможность четкого построения А. комплексных чисел.

Идея введения логарифмов восходит к Архимеду (3 в. до н. э.), к-рый сравнивал члены геометрич. и арифметич. прогрессий. М. Штифель (М. Stiefel, 16 в.) продолжил сравниваемые прогрессии влево, добавив отрицательные степени. Он показал связь между операциями над этими рядами, дав, таким образом, основную идею логарифмов. Логарифмирование и использование этой операции для вычислений начали применять в 1-й пол. 17 п. после работ Дж. Непера (J. Napier) и и. Бюрги (J. Burgi).

В 17 в. В. Шиккард (W. Schickard) и Б. Паскаль (В. Pascal) создали независимо друг от друга вычислительные машины - прототипы современных арифмометров. Но широкое практич. применение счетные машины получили только в 19 в. В сер. 20 в. распространяются быстродействующие электронные вычислительные машины. В связи с этим актуальными становятся задачи отыскания алгоритмов, позволяющих выполнять арифметич. действия с наименьшим числом элементарных операций.

Чтобы обосновать какую-нибудь теорию, со времени Евклида считалось достаточным выделить в ней небольшое число ясных простейших первичных начал и убедиться, что все основные положения данной теории можно вывести из них чисто логически. Подразумевалось, что связь этих начал с действительным миром должна быть доступной непосредственному восприятию.

В 19 в. был открыт метод моделей для обоснования математич. теорий. Необходимость этого метода была обусловлена тем, что в математике стали рассматриваться объекты и теории, для к-рых не удавалось найти реального истолкования. непротиворечивость одной математич. теории к непротиворечивости другой. Так, в предположении, что непротиворечива евклидова геометрия, была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, а непротиворечивость евклидовой геометрии была сведена к непротиворечивости А. действительных чисел.

К концу 19 в. обоснование А. казалось завершенным. Р. Дедекинд (Н. Dedekind) и, независимо от него, Дж. Пеано (G. Реапо) указали систему аксиом А. натуральных чисел, из к-рой можно вывести все известные положения этой науки. К. Вейерштрасс (К. Weierstrass) предложил в качестве моделей для целых и положительных рациональных чисел классы пар натуральных чисел. Геометрич. истолкование комплексных чисел, открытое Ж. Арганом (J. Argand), К. Весселем (С. Wes-sel) и К. Ф. Гауссом (К. F. Gauss), по существу является моделью для теории комплексных чисел в рамках теории действительных чисел. И, наконец, теоретико-множественный подход позволил Р. Дедекинду, Г. Кантору (G. Cantor) и К. Вейерштрассу построить теории действительных чисел.

Но после того, как стали известны парадоксы в теории множеств, возник вопрос: как обосновать А. натуральных чисел и действительных чисел? Есть ли гарантия, что парадоксы не будут обнаружены и в этих разделах математики? Непосредственное восприятие не позволяет сделать заключение ни о бесконечной протяженности Вселенной, ни о бесконечной делимости вещества. Поэтому представления о бесконечности множества натуральных чисел и о непрерывности числовой прямой нельзя рассматривать как непосредственно связанные с физическим миром. С другой стороны, для А. натуральных чисел нет более простой модели, чем сама эта теория, а при построении моделей для теории действительных чисел существенным образом используется аппарат теории множеств, в надежности к-рого появились основания усомниться.

Какими должны быть способы и средства рассуждений, на основании к-рых, не прибегая к построению модели, непосредственно можно убедиться, что в данной теории никогда не возникнет противоречий, что на основании аксиом данной теории нельзя с помощью цепочки логич. умозаключений получить результаты, противоречащие друг другу?

Д. Гильберт (D. Hilbert) считал, что парадоксы в теории множеств возникают вследствие того, что безотказно работающие в области конечных систем объектов способы рассуждений без должных оснований применяются к бесконечным совокупностям. Но этого можно избежать, если рассматривать употребляемые символы как объекты нек-рой новой теории, а логич. умозаключения выражать с помощью формального процесса. В таком случае любое высказывание теории представляется в видеформулы,составленной из конечного множества символов, адоказательство -в виде конечной цепочки формул, образованной по определенным правилам из формул, наз.аксиомами.Тогда, по мысли Д. Гильберта, появится возможность оперирования с бесконечным заменить оперированием с конечным и получить надежный способ установления непротиворечивости любой теории. Д. Гильберт надеялся, что на этом пути будет в первую очередь найдено положительное решение проблемы непротиворечивости А. натуральных чисел и, более того, будет показано, что присоединение к формулам А. любой недоказуемой формулы теории чисел превращает эту систему аксиом в противоречивую систему.

Но эти надежды не оправдались. В 1931 К. Гёдель (К. Godel) доказал неполнотуарифметики формальной.Более того, оказывается, что для всякой непротиворечивойформальной системы,содержащей аксиомы А., можно дать явное описание нек-рой замкнутой формулы итакой, что ни сама формулаи,ни ее отрицание не выводимы в этой формальной системе.

Воспользовавшись этим результатом, можно доказать существование неизоморфных моделей формальной А. Вместе стем системаПеано аксиомкатегорична. Как объяснить это? Система аксиом Пеано содержит аксиому индукции: каждое натуральное число обладает нек-рым свойствомР,если 1 обладает этим свойством и вместе с каждым натуральным числомп,обладающим свойствомР,натуральное число n+l также обладает свойствомР.В этой аксиоме за Рможет быть принято любое мыслимое свойство натуральных чисел. В соответствующей аксиоме формальной А. за Рможет быть принято лишь такое свойство натуральных чисел, к-рое выразимо средствами данногоформализма.Различие между этими аксиомами незаметно, пока речь идет о теоремах элементарной теории чисел, и весьма существенно, когда выясняются свойства формальной теории. К. Гёдель показал также, что в непротиворечивой формальной системе, включающей формальную А., содержится формула, выражающая ее непротиворечивость, и что эта формула недоказуема в этой системе. Следовательно, непротиворечивость такой формальной системы может быть обоснована только средствами более сильными, чем те, к-рые формализованы в данной системе.

В 1936 Г. Генцен (G. Gentzen) получил доказательство непротиворечивости формальной А., использующее трансфннитную индукцию до трансфинитного числа . Естественно возникает вопрос о непротиворечивости тех средств, к-рые при этом были использованы. В связи с характером используемых средств рассматривались п другие подходы к проблеме непротиворечивости А. натуральных чисел.

Попытки преодоления трудностей, связанных с обоснованием теории действительных чисел, послужили одним из источников развития конструктивного направления в математике.

Лит.:[1] История математики, т. 1-3, М., 1970-72; [2] Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; [3] Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; [4] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948, с. 315-99; [5] Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 - Арифметика, М.-Л., 1951; (6] Молодший В. Н.. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века, М., 1963; [7] Нечаев В. И., Числовые системы, М., 1975.А. А. Бухштаб, В. И. Нечаев.

1. арифметика—АРИФМЕТИКА греч. arithmetike от arithmos число наука о числах в первую очередь о натуральных целых положительных числах и рациональных дробях и действиях над ними.Владен...Большая советская энциклопедия
2. арифметика—греч. arithmetika от arithmys число наука о числах в первую очередь о натуральных целых положительных числах и рациональных дробях и действиях над ними. Владение достато...Большая Советская энциклопедия II
3. арифметика—ж. aritmetica Итальянорусский словарь. Синонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
4. арифметика—арифметикаarithmetischesСинонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
5. арифметика—жArithmetik f Rechnen n школьный предметчетыре действия арифметики die vier Grundrechnungsarten математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
6. арифметика—арифметикаArithmetik fСинонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
7. арифметика—арифметика ж Arithmetik f Rechnen n школьный предмет четыре действия арифметики die vier GrundrechnungsartenСинонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифи...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
8. арифметика—арифметика arithmetischСинонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
9. арифметика—ж.aritmtica f...Большой русско-испанский словарь
10. арифметика—сущ. жен. рода...Большой русско-украинский словарь
11. арифметика—ж. arithmtique f...Большой русско-французский словарь
12. арифметика—мен. жн. роду...Большой украинско-русский словарь
13. арифметика—ж.arithmtique f математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Большой французско-русский и русско-французский словарь
14. арифметика—греч. arithmetike от arithmos число часть математики в крой изучаются простейшие свва чисел в первую очередь натуральных целых положит. и дробных и действия над ними....Большой энциклопедический политехнический словарь
15. арифметика—от греч. arithmos число часть математики изучаетпростейшие свойства чисел в первую очередь натуральных целыхположительных и дробных и действия над ними. Развитие арифмет...Большой энциклопедический словарь II
16. арифметика—АРИФМЕТИКА от греч. arithmos число часть математики изучает простейшие свойства чисел в первую очередь натуральных целых положительных и дробных и действия над ними. Раз...Большой Энциклопедический словарь V
17. арифметика—и ж.i Роздл математики що вивча найпростш властивост чисел д над ними. розм. перен. Пдрахунок результат якогонебудь пдрахунку. звичайно чогоi. Те що на вдмну вд чогоне...Великий тлумачний словник (ВТС) сучасної української мови
18. арифметика—от греч. число часть математики изучает простейшие свойства чисел в первую очередь натуральных целых положительных и дробных и действия над ними. Развитие А. привело к вы...Естествознание. Энциклопедический словарь
19. арифметика—от греческого arithmos число часть математики изучающая простейшие свойства целых и дробных чисел и действия над ними. Возникла в глубокой древности из практических потр...Иллюстрированный энциклопедический словарь
20. арифметика—арифметика....Киргизско-русский словарь
21. арифметика—арифметика арифметика урок урок арифметики...Коми (зырянский)-русский словарь
22. арифметика—и ж.em Раздел математики занимающийся изучением простейших свойств чисел и производимых над ними действий [греч. ]Синонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело...Малый академический словарь
23. арифметика—корень АРИФМЕТ суффикс ИК окончание А Основа слова АРИФМЕТИКВычисленный способ образования слова Суффиксальный АРИФМЕТ ИК А Слово Арифметика содержит следующие мо...Морфемный разбор слова по составу
24. арифметика—АРИФМЕТИКАstrong способ расчета при помощи сложения вычитания умножения и деления. Формальную аксиоматическую базу под эти операции подвел Джузеппе Пеано в конце XIX в. И...Научно-технический энциклопедический словарь
25. арифметика—от греч. arithmos число наука о числах и операциях над ними. Арифметика в первую очередь изучает натуральные и дробные числа и является одной из древнейших отраслей чел...Начала современного естествознания
26. арифметика—арифметика ж. Раздел математики изучающий простейшие свойства чисел способы их записи и действия над ними. Учебный предмет содержащий основы данного раздела математики....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
27. арифметика—арифметика арифметика и...Орфографический словарь
28. арифметика—u ж математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Орфографический словарь русского языка
29. арифметика—арифметика менник жночого роду...Орфографічний словник української мови
30. арифметика—арифметика д. м.em ие...Орфоепічний словник української мови
31. арифметика—ариефметиека кие д. м. иец....Орфоэпический словарь украинского языка
32. арифметика—арифметика...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
33. арифметика—инф.в. мат. арифметика...Орысша-қазақша салааралық терминологиялық сөздік
34. арифметика—от греч.u arithmos число раздел математики изучает простейшие свойства чисел и действия над ними. Как учебный предмет изучается в начальной школе. БимБад Б.М. Педагогич...Педагогический терминологический словарь
35. арифметика—arithmtique f...Политехнический русско-французский словарь
36. арифметика—арифметика арифметики арифметики арифметик арифметике арифметикам арифметику арифметики арифметикой арифметикою арифметиками арифметике арифметиках...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
37. арифметика—Орфографическая запись слова арифметика Ударение в слове арифметика Деление слова на слоги перенос слова арифметика Фонетическая транскрипция слова арифметика [рвмэтк] Х...Полный фонетический разбор слов
38. арифметика—аритметика....Російсько-український словник (Українська академія наук)
39. арифметика—арифметика иСинонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Русский орфографический словарь
40. арифметика—Ж мн. нет hesab....Русско-азербайджанский словарь
41. арифметика—arithmetic sum арифметика ж.uarithmeticдвоичная арифметика binary arithmeticдесятичная арифметика decimal arithmeticмашинная арифметика machine arithmeticарифметика п...Русско-английский политехнический словарь
42. арифметика—арифметика ж.iarithmetic...Русско-английский словарь
43. арифметика—арифметика ж. arithmetic учебник арифметики arithmeticbook арифметический arithmetical арифметическая задача problem sum....Русско-английский словарь II
44. арифметика—f.arithmetic number theoryСинонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Русско-английский словарь математических терминов
45. арифметика—ж....Русско-английский словарь по физике
46. арифметика—arithmetic number figure...Русско-английский словарь по электронике
47. арифметика—arithmetic...Русско-английский словарь политической терминологии
48. арифметика—arithmetic arithmetics арифметика порядков двоичная арифметика десятичная арифметикаСинонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Русско-английский технический словарь
49. арифметика—N...Русско-армянский словарь
50. арифметика—арыфметыка арытметыка...Русско-белорусский математический словарь
51. арифметика—Арыфметыка...Русско-белорусский словарь
52. арифметика—арыфметыка жен.i...Русско-белорусский словарь II
53. арифметика—арыфмеuтыка к арифметика мультипликативная конечномерных тел...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
54. арифметика—арыфметыка к...Русско-белорусский физико-математический словарь
55. арифметика—szmtan математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Русско-венгерский словарь
56. арифметика—арифметика ж...Русско-греческий словарь (Сальнов)
57. арифметика—арифме Синонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Русско-ивритский словарь
58. арифметика—ж. aritmetica f аддитивная арифметика аналитическая арифметика асинтотическая арифметика двоичная арифметика десятичная арифметика арифметика порядков рациональная арифм...Русско-итальянский политехнический словарь
59. арифметика—арифметика сандар туралы ылым...Русско-казахский словарь
60. арифметика—ж. арифметика....Русско-киргизский словарь
61. арифметика—sunshчетыре действия арифметики математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Русско-китайский словарь
62. арифметика—Esap...Русско-крымскотатарский словарь
63. арифметика—эсап...Русско-крымскотатарский словарь II
64. арифметика—aritmtika...Русско-латышский словарь
65. арифметика—Arithmetik Rechnen...Русско-немецкий политехнический словарь
66. арифметика—ж. Arithmetik f Rechnen n школьный предмет....Русско-немецкий словарь
67. арифметика—Rechnen...Русско-немецкий экономический словарь
68. арифметика—Rekenkunde...Русско-нидерландский словарь
69. арифметика—арифметикаж ....Русско-новогреческий словарь
70. арифметика—aritmetikk regning математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Русско-норвежский словарь
71. арифметика—...Русско-персидский словарь
72. арифметика—arytmetyka...Русско-польский словарь
73. арифметика—жaritmtica f математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Русско-португальский словарь
74. арифметика—Арифметикаhisabati...Русско-суахили словарь
75. арифметика—арифметика арифметика...Русско-таджикский словарь
76. арифметика—aritmetik aritmetik i математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Русско-турецкий словарь
77. арифметика—aritmetik...Русско-турецкий словарь по строительству и архитектуре
78. арифметика—матем. арифметика Синонимы математика подсчет цифирная наука цифирное дело цифирь...Русско-украинский политехнический словарь
79. арифметика—femlaskento aritmetiikka...Русско-финский словарь
80. арифметика—aritmetick aritmetika poetn poty...Русско-чешский словарь
81. арифметика—сущ.жен.арифметика математика пай хисепсене хушассикларасси тата хутлассипайласси учебник арифметики арифметика учебнике...Русско-чувашский словарь
82. арифметика—.strong aritmetik...Русско-шведский словарь
83. арифметика—Aritmetik...Русско-шведский словарь II
84. арифметика—Aritmeetika...Русско-эстонский словарь
85. арифметика—АРИФМЕТИКА от греч. arithmos число и toche искусство. Наука имеющая своим предметом числа. Словарь иностранных слов вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н. АРИФ...Словарь иностранных слов русского языка
86. арифметика—арифметика цифирное дело цифирная наука цифирь подсчет Словарь русских синонимов. арифметика цифирь устар. Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М. ...Словарь синонимов II
87. арифметика—арифметика цифирное дело цифирная наука цифирь подсчет...Словарь синонимов
88. арифметика—арифметика ж. гр. вд число частина математики в якй розглядаються найпростш властивост чисел та д над ними. Див. також алгебра геометря топологя тригонометря...Словник іншомовних слів
89. арифметика—арифметика грец. вд число частина математики в якй розглядаються найпростш властивост чисел та д над ними....Словник іншомовних слів Мельничука
90. арифме́тика—АРИФМЕТИКА и ж. . Роздл математики що вивча найпростш властивост чисел д над ними. То це й мен треба доконечно сдати за граматику та арифметику крикнула Настуся Н.Лев....Словник української мови в 11 томах
91. арифметика—АРИФМЕТИКА и ж. Роздл математики що вивча властивост чисел д над ними. То це й мен треба доконечно сдати за граматику та арифметику крикнула Настуся . НечуйЛевицькийЗна...Словник української мови у 20 томах
92. арифметика—Аритметика рахунки...Словник чужослів Павло Штепа
93. арифметика—АРИФМЕТИКА от греческого arithmos число часть математики изучающая простейшие свойства целых и дробных чисел и действия над ними. Возникла в глубокой древности из практи...Современная энциклопедия
94. арифметика—АРИФМЕТИКА от греч . arithmos число часть математики изучает простейшие свойства чисел в первую очередь натуральных целых положительных и дробных и действия над ними. Раз...Современный энциклопедический словарь
95. арифметика—АРИФМЕТИКА ж. греч. учение о счете наука о счислении основа всей математики науки о величинах о измеримом стар. счетная или цифирная мудрость счет счисление цифирная смет...Толковый словарь живого великорусского языка
96. арифметика—арифметика [гр. arithmetike lt arithmos число] часть математики изучающая простейшие свойства чисел прежде всего целых чисел и дробей а также свойства действий сложения...Толковый словарь иностранных слов
97. арифметика—АРИФМЕТИКА и ж. . Раздел математики изучающий простейшие свойствачисел выраженных цифрами и действия над ними. . перен. То же что подсчетво знач. разг. Проверили расходы...Толковый словарь Ожегова
98. арифметика—АРИФМЕТИКА арифметики мн. нет ж. греч. arithmetike. Учение о числах выражаемых цифрами и действиях над ними....Толковый словарь русского языка II
99. арифметика—арифметика арифметика и ж. Раздел математики изучающий простейшие свойства чисел выраженных цифрами и действия над ними. перен. То же что подсчет во знач. разг. Проверил...Толковый словарь русского языка II
100. арифметика—АРИФМЕТИКА и ж. . Раздел математики изучающий простейшие свойства чисел выраженных цифрами и действия над ними. . перен. То же что подсчт во значение разговорное. Провер...Толковый словарь русского языка
101. арифметика—и ж. Роздл математики що вивча найпростш властивост чисел д над ними. розм. перен. Пдрахунок результат якогонебудь пдрахунку. звичайно чогоem. Те що на вдмну вд чогон...Толковый словарь украинского языка
102. арифметика—Ударение в слове арифметикаУдарение падает на букву еБезударные гласные в слове арифметика...Ударение и правописание
103. арифметика—матем. арифметика...Украинско-русский политехнический словарь
104. арифметика—Arithmetic...Українсько-англійський словник
105. арифметика—...Українсько-грузинський словник (Георгій Чавчанідзе)
106. арифметика—Aritmetik...Українсько-датський словник
107. арифметика—em em...Українсько-китайський словник
108. арифметика—Aritmetikk...Українсько-норвезький словник
109. арифметика—[arytmetyka]...Українсько-польський словник
110. арифметика—Aritmetik...Українсько-шведський словник
111. арифметика—Rzeczownik арифметика f arytmetyka f Przenony rachunek m...Универсальный русско-польский словарь
112. арифметика—Роздл математики займаться теорю обчислень над постйними алгебрачними виразами у вужчому сенс дослджу числа та операц над ними....Універсальний словник-енциклопедія
113. арифметика—роздл математики займаться теорю обчислень над постйними алгебрачними виразами у вужчому сенс дослджу числа та операц над ними....УСЕ (Універсальний словник-енциклопедія)
114. арифметика—арифметика арифметики арифметики арифметик арифметике арифметикам арифметику арифметики арифметикой арифметикою арифметиками арифметике арифметиках Источник Полная акцент...Формы слова
115. арифметика—АРИФМЕТИКАискусство вычислений производимых с положительными действительными числами.Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на д...Энциклопедия Кольера II
116. арифметика—искусство вычислений производимых с положительными действительными числами.Краткая история арифметики.strong С глубокой древности работа с числами подразделялась на две р...Энциклопедия Кольера
117. арифметика—арифметик уже со времен Петра I см. Смирнов который считает что это слово восходит к польск. arytmetyk. Против этого говорит наличие ф в русск. слове. Скорее из лат. ari...Этимологический русскоязычный словарь Фасмера
118. арифметика—арифметика арифметикаарифметик уже со времен Петра I см. Смирнов который считает что это слово восходит к польск. arytmetyk. Против этого говорит наличие ф в русск. слов...Этимологический словарь русского языка (М. Фасмер.)

• АРГУМЕНТ
• АРТИНОВ МОДУЛЬ