Математическая энциклопедия

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ

алгебраическое многообразиеразмерности 1. А. к. является наиболее изученным объектом алгебраической геометрии. В дальнейшем под А. к. понимается, как правило, неприводимая А. к. над алгебраически замкнутым полем.

Наиболее простым и интуитивно ясным является понятие плоской аффинной А. к. Это - множество точек аффинной плоскости удовлетворяющих уравнению - многочлен с коэффициентами из алгебраически замкнутого поля k. Поле рациональных функций неприводимой А. к. над kесть поле алгебраич. функций одного переменного и имеет вид где хи усвязаны уравнением а - многочлен надk.Это означает, что всякая А. к. бирационально изоморфна плоской аффинной кривой.

Уже давно было замечено, что даже при изучении аффинных кривых глубокие закономерности удается вскрыть только при учете бесконечно удаленных точек и детальном исследовании особенностей. Для изучения всех точек аффинной кривой ее погружают в проективное пространство с последующим замыканием вЗариского топологии.Таким образом получается проективная криваяX,причем исходная аффинная кривая У может быть получена из Xвыбрасыванием конечного числа точек. Если Yнеприводима, то Xи Y бирационально изоморфны.Каждая полная А. к. является проективной. ЕслиX -гладкая проективная кривая (г. п. к.), то все кольца нормирования поля исчерпываютсялокальными кольцамиЕсли две г. п. к. бирационально эквивалентны, то они изоморфны. Нормальная А. к. является гладкой. В частности, всякая неприводимая А. к. бирационально эквивалентна г. п. к. Получаемая в процессе нормализации гладкая проективная модель А. к. лежит в нек-ром пространстве Любая г. п. к. изоморфна кривой, расположенной в Каждая плоская А. к.кремоновым преобразованиемможет быть преобразована в кривую с обыкновенными особыми точками.

Дивизоры,на гладкой А. к. представляют собой линейные комбинации точек с целыми коэффициентами


почти для всехх.Если все то дивизор Dназ. положительным, или эффективным, что обозначается Степенью дивизора D наз. число


Главные дивизоры образуют подгруппу Р(X).группы Div Xвсех дивизоров наX.Факторгруппа наз. группой классов дивизоров и обозначается через Сl(Х). Группа Сl(Х) изоморфна группе Pic (X).классов одномерных векторных расслоений на X(см.Векторное алгебраическое расслоение).Степень главных дивизоров на г. п. к. равна нулю, поэтому все дивизоры из одного класса имеют одну и ту же степень. В частности, можно говорить о степени класса дивизоров и о подгруппе классов дивизоров степени 0. Справедливо следующее равенство:


Для прямой т. е. любой дивизор степени 0 является главным. Это свойство характерно для рациональных г. п. к.

Для любой полной А. к. Xчисло наз. арифметическимродом А. к.X.ЕслиX -гладкая, то я совпадает с размерностью пространства всех регулярных дифференциальных форм наX,эта размерность наз. родом А. к.X.По определению, род А. к. равен роду ее неособой модели. Для любого неотрицательного целого числа gсуществует А. к. родаg.Рациональные кривые характеризуются равенством g=0. Если Xпроективная плоская кривая порядка т, то


а ее род вычисляется по формуле:


где d- неотрицательное целое число, измеряющее отклонение от гладкости наX.Если Xимеет только обыкновенные двойные точки, то dесть просто число особых точек. В частности, плоская г. п. к. имеет род


откуда следует, что не всякая г. п. к. является плоской. Для пространственной кривой Xимеет место оценка


гдеп -степеньX.Кривые n-й степени максимального рода существуют для каждого значения пи лежат на квадрике (М. Альфаи, М. Alphen, 1870, см. [8]).

Степень канонич. класса г. п. к. Xсвязана с родом кривой формулой deg Если г. п. к. Xлежит на гладкой алгебраич. поверхностиF,то имеет место формула присоединения: В частности, Для произвольного дивизора Dна Xможно рассмотреть подмножество поля k(X),состоящее из нуля и тех функций f, для к-рых Это-линейное пространство над kконечной размерности l(D).Размерность полнойлинейной системы,определяемой дивизоромD,равна l(D)-1.Вычисление размерности l(D).является важной задачей теории А. к. Наиболее сильный результат в этом направлении -Римана - Роха теорема.Для г. п. к. эта теорема заключается в равенстве:


гдеg -род кривойX.В случае, когда (соответственно ), говорят, что дивизор D специальный (соответственно неспециальный). Для неспециальных дивизоров теорема Римана - Роха дает равенство Каждый дивизор степени большей 2g- 2 является неспециальным.

Класс дивизоров, линейно эквивалентных дивизору Dна г. п. к.X,определяет точку наЯкоби многообразии J(X).А. к.X.Это многообразие совпадает сАлъбанезе многообразиемиПикара многообразиемА. к.X.Точки, соответствующие классам специальных дивизоров1, есть особые точкиПуанкаре дивизорана J(X).Если обозначает подмножество точек J(X),соответствующих классам дивизоров Dс degD = nи l(D)=r,то образует подсхему в J(X).и


(теорема Римана - Брилля - Нётера). Эта теорема имеет многочисленные применения, одним из к-рых является следующее. Всякий дивизорD,для к-рого определяет рациональное отображение кривой Xв проективное пространство Отображение зависит от классаD.Если то определяет изоморфное вложение кривой XвРт,причем не содержится ни в каком собственном подпространстве пространства . Наиболее интересным с точки зрения бирациональной классификации кривых являются отображения , соответствующие кратностипКканонич. класса кривойX.При класс 3K определяет изоморфное вложение г. п. к. в При этом кривые бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их образы получаются друг из друга проективным преобразованием пространства Исследование отображения позволило получить более тонкую характеристику кривых рода Для этих кривых отображение будет изоморфным вложением в том и только том случае, когда Xне являетсягиперэллиптической кривой.В случае, когда - изоморфизм, кривая наз. канонической; она определена однозначно с точностью до проективных преобразований в Важнейшей задачей теории А. к. является классификация кривых с точностью до бирационального изоморфизма. В этом направлении получен ряд сильных результатов, но исчерпывающего решения задачи пока (1977) не имеется. Г. п. к. можно разбить на следующие 4 класса:

1) кривые рода 0 бирационально эквивалентныР';

2) кривые рода 1 (эллиптич. кривые) бирационально эквивалентны гладкой кубической кривой в .Р2;

3) гиперэллиптич. кривые;

4) негиперэллиптич. кривые рода бирационально эквивалентны канонич. кривой в (А. к. основного типа).

Род кривой не характеризует полностью бирацио-нальный класс А. к. Единственное исключение составляют кривые рода 0. В случае, когда kесть поле комплексных чисел множество классов изоморфных друг другу эллиптич. кривых описывается точками фак-торпространстваH/G,гдеН -верхняя полуплоскость,G -модулярная группа, состоящая из дробно-линейных преобразований с целыми коэффициентами и определителем, равным +1. ПространствоH/Gимеет строение аналитич. многообразия, изоморфного (см.Эллиптическая кривая).Классы бирационально эквивалентных кривых рода g> 1 описываются точками некоторого алгебраич. многообразияMgразмерности 3g-3, называемого многообразием модулей кривых родаg.Это многообразие неприводимо. Есть гипотеза, чтоМgунирационально, но она доказана только для g<11 (Ф. Севери, F. Severi).

Имеют место следующие результаты о группе Aut (X).автоморфизмов г. п. к.X.1) Если Xестьто Aut (X)-группа дробно-линейных преобразований PGL(1, k). 2).ЕслиX -эллиптическая кривая, то Aut(AT) есть алгебраич. группа, связная компонента единицы к-рой совпадает с группой точек X(k).3) ЕслиX -кривая рода g>l, то Aut(X) всегда конечная группа. Ее порядок ограничен числом 84(g - 1) (см. [6]). В последнем случае важную роль при изучении группы Aut(X) играютВейерштрасса точкинаX.

Другой способ изучения группы Aut(X) дает тот факт, что каждая г. п. к. является конечным (разветвленным) накрытием проективной прямой.

ПустьX -г. п. к., определенная над полем Множество точек кривой снабжается естественным строением одномерного компактного аналитич. многообразия, к-рое наз. также компактнойримановой поверхностью.Обратное тоже верно, т. е. всякая компактная риманова поверхность может быть получена из нек-рой г. п. к. Обычно употребляется один и тот же символ Xдля обозначения г. п. к. и соответствующего ей одномерного комплексного многообразия. Всякое связное комплексное многообразие представимо в виде фактора - связное односвязное комплексное многообразие, G - группа автоморфизмов многообразия , действующая на дискретно и свободно. Весьма примечательно, что одномерных связных одно-связных аналитических многообразий, с точностью до изоморфизма, всего три. Это - проективная прямая (риманова сфера), аффинная прямая (конечная плоскость) и внутренность единичного круга (плоскость Лобачевского). Все г. п. к. можно разбить на три класса в зависимости от того, к какому из трех типов относится их универсальная накрывающая.

Вопрос о классификации г. п. к. данного типа сводится к изучению дискретных групп преобразований универсальных накрывающих, действующих свободно с относительно компактной фундаментальной областью. В случае проективной прямой G - единичная группа; в случае аффинной прямой Gизоморфна подгруппе аддитивной группы являющейся двумерной решеткой в в случае внутренности единичного кругаG -подгруппа движений в плоскости Лобачевского, определяемая нек-рым неевклидовым ограниченным многоугольником. Таким образом, первый класс содержит единственную кривую второй класс состоит из комплексных торов и все они имеют строение одномерного абелевого многообразия (эллиптич. кривой), причем сложение точек на торе определяет групповую структуру на соответствующей кривой. Всякая гладкая эллиптич. кривая получается таким образом. Поле рациональных функций на эллиптич. кривой изоморфно полю мероморфных двоякопериодических (эллиптических) функций с группой периодов Если - уравнение аффинной модели кривойX,то существует его параметризация эллиптич. функциями (униформизация кривой X).Третий класс состоит из всех г. п. к. Xрода g>1. Поле С(X).в этом случае изоморфно полю мероморфных на Dфункций, инвариантных относительно группы G. Такие функции наз. автоморфными. Любая А. к. рода g>l униформизуется автоморфными функциями (см.Униформизация).Задача классификации эллиптич. кривых также приводила к рассмотрению фактораD/G,но там ситуация существенно отличалась от только что рассмотренной. Во-первых, группа Gимела неподвижные точки вD,во-вторых, многообразиеD/Gбыло некомпактным, хотя обладало конечной площадью по Лобачевскому. Рассмотрение в общем случае таких групп и соответствующих факторов играет важную роль в современных арифметич. исследованиях.

Если А. к. Xопределена над незамкнутым полемk,то одним из важнейших является вопрос о существовании и нахождении рациональных точек X(k).кривойX.Для г. п. к. Xнад конечным полем kдоказано неравенство где N - число точек кривойX,рациональных над конечным расширением Lполяk, q -число элементов поляL,a g- род кривойX.Это неравенство эквивалентно гипотезе, Римана о нулях кривойX -все нули лежат на вертикальной прямой s = 1/2 (см.Дзета-функцияв алгебраич. геометрии).

Пусть теперьX -А. к., определенная над полем рациональных чисел Тогда для кривых рода 0 точки находятся сравнительно легко, для эллиптич. кривых рациональные точки составляют группу с конечным числом образующих (если не пусто), для кривых рода имеется пока не доказанная (1977)Морделла гипотезао том, что конечно.

Если основное поле kесть поле рациональных функцийk0(B).г. п. к. B, то каждая г. п. к. Xнад kизоморфна общему слою морфизма гладкой проективной алгебраич. поверхности Vнадk0.Этот морфизм будет однозначно определен, если потребовать, чтобы в его слоях не было исключительных кривых рода 1. Множество рациональных точек находится в биективном соответствии с множеством сечений V(В).морфизма конечно для кривых рода Кривые рода 0 и 1 над полем изучаются в теории алгебраич. поверхностей (см.Эллиптическая поверхность, Линейчатая поверхность).

Лит.:[1]Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [2] Уонер Р., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; [3] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [4] Шевалле К., Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной, пер. с англ., М., 1959; [5] Серр Ж.-П., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [6] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948; [7] Спрингер Д ж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [8] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974, с. 77 -170.В.


  1. алгебраическая кривая—кривая задаваемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением. См. Алгебраическая геометрия....Большая Советская энциклопедия II
  2. алгебраическая кривая—АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ кривая поверхность кривая поверхность выражаемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением....Большой Энциклопедический словарь V
  3. алгебраическая кривая—АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ кривая поверхность выражаемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением....Новый большой англо-русский словарь II
  4. алгебраическая кривая—algebraic curve...Русско-английский словарь по физике
  5. алгебраическая кривая—алгебрачная крывая ГДЗ по алгебре класс. А.Г. Мордкович...Русско-белорусский математический словарь
  6. алгебраическая кривая—curva algebrica...Русско-итальянский политехнический словарь
  7. алгебраическая кривая—алебрична крива...Русско-украинский политехнический словарь
  8. алгебраическая кривая—АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ кривая поверхность выражаемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением....Современный энциклопедический словарь