АБСОЛЮТНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ
специальный вид суммируемости рядов и последовательностей, выделяемый из обычной суммируемости наложением дополнительных условий. Вматричном методе суммированияэти условия состоят в требовании абсолютной сходимости рядов или последовательностей, полученных в результате преобразования, соответствующего данному методу суммирования. Пусть метод суммирования Аопределен преобразованием последовательностив последовательность посредством матрицы
тогда последовательность абсолютно суммируема методом к пределу s, если она A-суммируема к этому пределу, т. е.
и последовательность имеет ограниченную вариацию:
Если являются частичными суммами ряда
то в этом случае ряд (2) абсолютно суммируем методом Ак сумме s. Условие (1) и есть то дополнительное условие, к-рое выделяет в этом случае А. с. из обычной суммируемости. Аналогично определяется А. с. для методов, определяемых матричными преобразованиями рядов в последовательности. Если же метод суммирования определен преобразованием ряда (2) в ряд
посредством матрицы
то дополнительное условие здесь состоит в требовании абсолютной сходимости ряда (3).В частном случае, когда методу Асоответствует тождественное преобразование последовательности в последовательность или ряда в ряд, А. с. ряда совпадает с его абсолютной сходимостью.
Для нематричных методов суммирования соответствующие дополнительные условия надлежащим образом видоизменяются. Так, дляАбеля метода суммированиятаким условием является требование, чтобы функция
имела ограниченную вариацию на полуинтервале 0<=x<1. Для интегральных методов суммирования А. с. выделяется требованием абсолютной сходимости соответствующих интегралов. Так, вБореля методе суммированиядолжен абсолютно сходиться интеграл
Метод суммирования наз. сохраняющим абсолютную сходимость ряда, если он абсолютно суммирует каждый абсолютно сходящийся ряд. Если каждый такой ряд суммируем этим методом к той же сумме, к к-рой он сходится, то метод наз. а б-солютно регулярным. Напр.,Чезаро метод суммированияабсолютно регулярен приМетод Абеля абсолютно регулярен. Необходимыми и достаточными условиями абсолютной регулярности метода суммирования, определенного преобразованием ряда в ряд посредством матрицы являются условия:
(теорема Кноппа- Лоренца). Имеются аналоги этих условий и для методов суммирования, определяемых преобразованиями других видов.
Обобщением А. с. является абсолютная суммируемость в степени Дополнительным условием, выделяющим А. с. в степени риз обычной суммируемости, напр., для метода суммирования, заданного преобразованием последовательности в последовательность является условие:
Понятие А. с. введено Э. Борелем (Е. Borel) для одного из его методов в формулировке, отличной от современной: А. с. выделялась требованием
для каждого А. с. применялась первоначально при исследовании суммируемости степенных рядов вне круга сходимости. В связи с вопросами умножения суммируемых рядов была определена и исследовалась А. с. методами суммирования Чезаро ( суммируемость). Общее определение А. с. возникло позже и получило широкое применение в исследованиях посуммированию рядов Фурье.
Лит.:[1] Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [2] Kogbetliantz E., Summation des series et integrates divergentes par les moyennes arlthmetiques et typiques, P., 1931; [3] Knopp K., Lorentz G. G., "Arch. Math.", 1949/50, Bd 2, S. 10 - 16; [4] Кангро Г. Ф., в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974.И. И. Волков.