ЮНГА СХЕМЫ
(диаграммы Юнга) - графич. способ описания неприводимых представлений симметрической труппыS(N), перестановок группы Nобъектов:
Предложен А. Юнгом (А. ung) в 1900.
Т. к. всякую перестановку а можно представить в виде произведения s=sN...s1Nциклических перестановок si(циклов), среди к-рых могут быть и тривиальные, то имеем разбиение
где li- длина цикла si, т. е. число затронутых им объектов. При этом считается, что lN>=lN-1>=...>=l1.Все подобные друг другу перестановки вида s0ss0-1, образующие класс сопряжённых элементов группыS(N),имеют одинаковую структуру циклов. С др. стороны, число классов сопряжённых элементов совпадает с числом неэквивалентных неприводимых представлений конечной группы (теорема Бернсайда), поэтому каждое неприводимое представлениеD[l]группыS(N)задаётся разбиением (1) числаNна целые числа li, т. е. набором чисел [l] = {lN, ..., l1}. Ю. с. и задаёт такой набор, представляя собойNклеток, объединённых в последовательность строк из lN, lN-1, ..., l1клеток, т. е. каждая строка в Ю. с. отвечает нек-рому циклу. Напр., дляN=7.Ю. с. отвечает набору [l] = {4, 2, 1}.
Вквантовой механикеЮ.с. используются при построенииN-частичных волновых ф-ций y для системыNтождественных частиц. Если выделитьNразл. одноча-стичных состояний, тоk-тая частица описывается волновой - ф-цией y(k)ik, гдеik=1, 2,...,N-номер состояния. В приближении независимых частиц. и суммирование в (2) проводится по всем перестановкам а возможных состоянийi1,...,iN.При этом коэффициентыСi1...iNобладают определ. свойствами симметрии, в зависимости от выбора представленияD[l], отвечающего состоянию y. Обычно принимаемое соглашение соответствует разбиению индексовi1...,iNна группы из lN, lN-1,..., l1индексов, когда считается, что при перестановках индексов внутри каждой группы тензор симметричен, а при перестановках между группами - антисимметричен.
Для определения размерностиn[l]представленияD[l], т. е. числа независимых компонент тензора , используется цепь вложений
Т. S(N) кS(N-1) отвечает отбрасыванию одной клетки в Ю. с., то размерностьn[l]совпадает с числом вариантов отбрасывания клеток, приводящих к единств. клетке. Для перечисления этих вариантов удобно вписывать в клетки Ю. ,...,N, причём первой отбрасывается клетка с большим номером. Полученная т. о. таблица Юнга, или стандартная диаграмма Юнга, отвечает одной из компонент тензора , к-рую обычно обозначают с помощью символа Яманучиr={r1,r2,... ,rN},гдеrk-номер строки таблицы Юнга, в к-рой стоит числоk.Посколькуk-тая клетка Ю. с. может быть отброшена только после того, как отброшены клетки, стоящие под ней и справа от неё, то удобно ввести угл. расстояниеhk,равное числу всех таких клеток, включая её саму. Тогда размерностьп[l]неприводимого представленияD[l], равная числу разл. символов Яманучи, определяется ф-лой "крюков" Робинсона:
а соответствующая Ю.
Если в системеNчастиц выделить подсистемы изN1иN2.частиц соответственно, гдеN=N1+ N2,то такие состояния описываются произведениями волновых ф-ций y(N1)y(N2), преобразующимися по прямому произведению соответствующих представлений
где (l'l "l) - кратность представленияD[l]. Для нахождения правой части ряда Клебша-Гордана (3) применяется правило Литлвуда перемножения Ю. а1, а2,...; b1, b2,...; с1с2,...; ...- каждая группа (а), (b), (с),...в свою строку. Затем клетки схемы [l'] в указанной последовательности поочерёдно присоединяются к клеткам схемы [l "] с соблюдением условий:
1) клетки одной группы [скажем, (а)]должны стоять в разных столбцах, причём-группы должны стоять ниже клетока-груп-пы, клеткис-группы - ниже клетокb-группы и т. д. Напр., произведению Ю. с. отвечает ряд Клебша-Гордана,
Лит.:Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966; Джадд Б., Вайборн Б., Теория сложных атомных спектров, пер. с англ., М., 1973.
Ю. П. Рыбаков.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.