Физическая энциклопедия

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

-одна из важнейших предельных теоремвероятностей теории,описывающая асимптотику при большихNраспределения вероятностей суммыNслучайных величин.

Наиб. просто Ц. п. т. формулируется для суммы


Nпервых членов бесконечной последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин


в предположении, что существуют, по крайней мере, два первых момента у каждой величины:


(и эти моменты одинаковы для всехn). Согласно наиб. простой предельной теореме теории вероятностей -больших чисел закону,случайная величина


с вероятностью, близкой к единице, принимает значения порядкаo(N)приN.Более точно это означает, что для любого e>0 вероятность


приNЦ. п. т. значительно уточняет соотношение (5) при малых (по сравнению сN) значенияхVN:для любых конечныхаиbвероятность того, что


имеет асимптотику


или, иначе говоря, вероятности конечных (порядка константы) значений величиныVN/.(s2== т22-т21-дисперсия xn) распределены прибл.по стандартному нормальному гауссовскому закону (со средним 0 и дисперсией 1). Из (4) и (6) следует, что при большихNсуммаSNимеет вид


где x0-стандартная нормальная случайная величина. Утверждение (7) называют обычно Ц. п. т. в и н т е г р а л ьн о й ф о р м е. В нек-рых случаях удаётся установить не только асимптотику вероятности попадания значенийVN/.на конечный интервал (а, b),но и асимптотику самих вероятностей этих значений (для случайных величин xnс дискретным множеством значений) или асимптотику плотности их вероятностейрN(х)(для непрерывно распределённых xn):


Утверждения этого типа [более тонкие, чем (7)] наз. л ок а л ь н ы м и Ц. п. т. Следует подчеркнуть, что асимптотика (7) или (9) имеет смысл для конечных (порядка 1) значенийVN/.Вероятности значенийVN/.порядка, растущегос N, aименно порядкаNa.для a>0, описываются асимптотикой (7) очень грубо и нуждаются в более тонком оценивании. Соответствующие предельные теоремы в теории вероятностей наз. теоремами о больших отклонениях.

Условия (3) очень существенны. Предельная асимптотика для сумм вида (1), где xnне имеют второго (а также первого) момента, задаётся совершенно другими (отличными от нормального распределения) законами, т. н.устойчивыми распределениями.

Укажем более общие ситуации, для к-рых остаётся верной Ц. п. т. (7) (или 9):

- в случае, когда величины x1, x2, ..., xn,... распределены не одинаково, и при условии, что у этих величин существуют оба первых момента (3), а также при дополнит. условии нек-рой равномерности (условие Линдеберга, см. [1]);

- если требование независимости величин xi,i=1, 2, ... нарушено, но сохраняется в определ. смысле "слабая" зависимость "далеко отстоящих" друг от друга величин xiи xj, когда |i-j| -велико (более точно см. [2]);

- можно рассматривать не только последовательностислучайных величин,но и более общие их совокупности, скажем, случайные поля {xt,tZvнаv-мерной решётке. Пусть выполнены условия (3) и величины xtи xs,t, sZv, при больших |t - s|"слабо зависимы". Тогда для любого достаточно большого и "регулярного" конечного множества LZvсуммы


асимптотически имеют вид:


st2- дисперсия xt(см. [3]);

- кроме сумм величин из одной и той же бесконечной последовательности (2) можно рассматривать т. н. схему серий, т. е. бесконечную совокупность конечных последовательностей:


растущей длины,ns, s.Тогда для суммы


при определ. условиях также верна Ц. п. т.

Лит.:1) Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 6 изд., М., 1988; 2) Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; 3) Нахапетян Б. С., Центральная предельная теорема для случайных полей, удовлетворяющих условию сильного перемешивания, в сб.: Многокомпонентные случайные системы, М., 1978, с. 276.Р. А. Минлос.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. центральная предельная теорема—общее название ряда предельных теорем теории вероятностей указывающих условия при выполнении крых суммы или другие функции от большого числа независимых или слабо зависим...Математическая энциклопедия
  2. центральная предельная теорема—central limit theorem...Русско-английский словарь по физике
  3. центральная предельная теорема—central limit theorem...Русско-английский словарь по электронике
  4. центральная предельная теорема—цэнтральная лмтавая тэарэма...Русско-белорусский математический словарь
  5. центральная предельная теорема—zentraler Grenzwertsatz...Русско-немецкий экономический словарь