ФУРЬЕОПТИКА
-раздел оптики, в к-ром преобразование световых полей оптич. системами исследуется с помощью фурье-анализа (спектрального разложения) и теории линейной фильтрации. Начало использования в оптике идей спектрального разложения связано с именами Дж. Рэлея (J. Rayleigh) и Э. Аббе (Е. Abbe). Первые работы, к-рые легли в основу совр. Ф.-о., принадлежат Мандельштаму [1], Горелику [2], Рытову [3]. В последней проводится аналогия между задачами радиоэлектроники и теории связи, с одной стороны (в к-рых речь идёт о преобразовании сигналов-ф-ций времени-изменяющихся токов, напряжений и т. д. и о системах радиоэлектроники, регистрирующих эти преобразования), и задачами оптики- с другой, в к-рых рассматривается преобразование световых полей-ф-ций координат-оптич. системами.
Общность методов исследования систем, служащих для преобразования сигналов - ф-ций времени (временных фильтров), и оптич. систем, служащих для преобразования световых полей - ф-ций координат (пространств. фильтров), обусловлена общностью закономерностей, управляющих процессами в системах радиоэлектроники и оптики, общностью, заложенной в универсальности максвеллов-ских ур-ний электродинамики. И тем и другим системам присущи (в достаточно широкой области применений) такие фундаментальные свойства, как линейность и инвариантность. Это позволяет удобно и просто описывать их поведение единым образом, используя универсальный аппарат теории линейной фильтрации и преобразования Фурье.
Основные понятия и соотношения Ф.-о.В радиоэлектронике систему, преобразующую сигналы, принято изображать в виде схемы (рис. 1,а),где внеш. воздействиеf(t) есть входной сигнал фильтра, а результат этого воздействияg(t) -выходной сигнал (или отклик) фильтра. Примером временного фильтра является колебат. контур (рис. 1,б), в к-ром внеш. эдс - входной сигнал, а возникающие изменения напряжения на обкладках конденсатора- отклик фильтра. Тот факт, что ф-цияg(t)является откликом на входное воздействиеf(t), записывают в виде операторного равенства
Волновые (в частности, оптические) явления характеризуются как временной зависимостью, так и пространственной, т. е. зависимостью от координат. В Ф.-о. интерес представляет именно пространств. структура волны, к-рая описывается (в случае гармонич. волн фиксированной частоты w) комплексной амплитудой волныf(x, у, z),являющейся решением ур-ния Гельмгольца:
(k= w/c- волновое число). [Комплексная амплитуда, определяющая распределение амплитуд и фаз колебаний является входным и выходным сигналом когерентной оптич. системы. При некогерентном освещении говорят о картинах интенсивности (а не об амплитудах) во входной и выходной плоскостях.]
В процессе распространения волны через оптич. систему её пространств. структура изменяется. Такая система рассматривается как пространственный фильтр, преобразующий входной сигнал (комплексную амплитуду волны во входной плоскости оптич. системы) в выходной сигнал (комплексную амплитуду волны в выходной плоскости оптич. системы). На рис. 2 представлена схема пространств. фильтра (а)и пример простейшей оптич. системы (б),гдеf(x, у) -комплексная амплитуда волны во входной плоскости П0,g(x, у) -комплексная амплитуда в выходной плоскости П1. Соответствующее операторное равенство имеет вид
В радиоэлектронике свойства линейного фильтра характеризуются импульсным откликомh(t, t) - откликом фильтра на входной d-импульс:
Здесьh(t,t) - ф-ция времениt,параметр t указывает, что речь идёт об отклике на d-импульс, возникающий на входе в момент времениt= t.
Аналогом d-импульса, возбуждающего колебания в линейном фильтре, в задачах пространств. фильтрации является точечный источник света d(x-x,у -h), расположенный в точкеx= x,у =hвходной плоскостиху.При этом в выходной плоскости возникает нек-рое световое поле с комплексной амплитудойh(x, у;x, h),являющейся ф-цией координатх, уввыходной плоскости. Полеh(x, у;x,h) наз. ф у н к ц и е й р а с с е я н и я т о ч к и и является аналогом импульсного отклика линейного временного фильтра.
Временные фильтры подчиняются принципу причинности: сигнал на выходе фильтра не может появиться раньше входного сигнала, импульсный откликh(t,t) отличен от нуля лишь приt>=t. Различие в физ. смысле переменных (времениtи координатх, у)приводит к важному различию временных и пространств. фильтров: принцип причинности в задачах пространств. фильтрации не выполняется: точечный источник света, расположенный в начале координатх =0, у =0входной плоскости, приводит к возникновению светового поля в выходной плоскости как прих,0,так и прих, 0.
Если изменение момента появления d-импульса на входе не меняет вид ф-ции импульсного отклика, а лишь сдвигает её во времениh(t,t) = h(t -t), то временной фильтр наз. с т а ц и о н а р н ы м. Примером является колебат. контур с постоянными, не зависящими от времени параметрамиL, С, R.
Аналогичное свойство пространств. фильтра наз. и з о-п л а н а т и ч н о с т ь ю: сдвиг точечного источника во входной плоскости приводит лишь к сдвигу ф-ции рассеяния в выходной плоскости:
Как правило, изопланатичность оптич. систем выполняется лишь при малых значениях параметров x, h. Стационарный временной фильтр, а также изопланатичный пространств. фильтр наз. и н в а р и а н т н ы м и ф и л ь т р а м и.
Если известен импульсный отклик временного линейного фильтра, то задача фильтрации (нахождение отклика по заданному входному сигналу) решается с помощью интеграла суперпозиции:
Аналогично решается задачапространственной фильтрации-нахождение комплексной амплитуды волны в выходной плоскости по заданному полю во входной плоскости:
Если речь идёт об инвариантных фильтрах, то вместо (2) и (3) имеем
Интегральная операция в (4) или (5)наз. свёрткой функцийf(t) иh(t)в (4) или д в у м е р н о й свёрткой ф-цийf(x, у)ип(х, у)в (5). Символически операции свёртки (4) и (5) записываются в виде
Инвариантность линейных фильтров позволяет перейти к спектральному описанию. Используя известную теорему фурье-анализа о фурье-образе свёртки, связь между спектрами (фурье-преобразованиями) входного и выходного сигналов можно записать в виде
где -частотная характеристика временного фильтра, аН(и,u) -частотная характеристика пространств. фильтра, являющаяся фурье-преобразова-нием ф-ции рассеяния точки:
Одно из важнейших преимуществ спектрального подхода- простота операции, связывающей спектры сигналов на входе и выходе фильтра. Представление сигналаf(t) в виде интеграла Фурье
имеет ясный физ. смысл: равенство (9) утверждает, что сигналf(t)может быть представлен суммой гармонич. колебаний, причём спектрF(w) =A(w)ехрij(w) определяет вклады гармоник разл. частот - их амплитудыA(w) и нач. фазы j(w).
Гармонич. колебания ехрiwtимеют особое значение в задачах линейной фильтрации: при возбуждении ими линейного стационарного фильтра в последнем возникают вынужденные гармонич. колебания той же частоты w. Др. словами, гармонич. ф-ции ехрiwtявляются собств. ф-ци-ями линейной стационарной системы. Это можно записать в виде операторного равенства
гдеH(w) =В(w)ехрia(w)-частотная характеристика фильтра, определяющая амплитудуВ(w) и сдвиг по фазе a(w) вынужденных колебаний относительно внеш. воздействия.
Пространственное фурье-разложение.Комплексную амплитуду волныf(х,у)можно представить в виде интеграла Фурье [двумерный аналог ф-лы (9)]:
Физ. смысл разложения (11) состоит в следующем. Можно проверить, что ф-ция
является решением ур-ния Гeльмгольца (1), удовлетворяющего на плоскости z = 0 граничному условию
Это утверждение справедливо при любых значениях параметрови,u.Ф-ция (12) есть комплексная амплитуда плоской волны, причём параметрыи,u-проекции волнового вектораkэтой волны на осих, у,если |u2+u2|<= <=(w/c)2= k2.Если же |u2+u2|>k2,выражение (12) также является решением (1) и наз. н е о д н о р о д н о й в о л н о й (амплитуда волны спадает с ростом z экспоненциально, поскольку -в этом случае мнимое число).
Т. о., выражение (11) есть представление произвольной волны, заданной в нек-рой плоскости z = const, в виде суперпозиции плоских волн, как бегущих, так и неоднородных.
Плоская волна ехр[i(ux+ uy)] в задачах пространств. фильтрации является аналогом гармонич. колебания ехрiwt. Поэтому пару чисели,uназ. пространственными частотами.
Частотная характеристика свободного пространства.Участок свободного пространства между двумя плоскостями z = 0 и z = const > 0 (рис. 3) является простейшим пространств. фильтром. Согласно (12) и (13), распространение плоской волны между двумя плоскостями приводит лишь к появлению множителя ехр [i.], определяющего набег фазы волны (при |u2+u2|<=k2)или экспо-ненц. уменьшение амплитуды (при |u2+u2|>k2).Это утверждение можно записать в виде операторного равенства:
гдеН(и,u) = ехр(i) - частотная характеристика свободного пространства. Экспоненц. ф-ции ехр[i(ux+uy)] при любых (и,u)являются, согласно (14), собственными ф-циями пространств. фильтра.
Пространственная модуляция.В радиоэлектронике модуляция сигнала записывается как операция перемножения модулируемого колебанияf(t) и модулирующего сигналаm(t),в результате к-рой на выходе модулятора имеем модулированный сигналg(t)=f(t)m(t).Различают два вида модуляции: амплитудную, когдаm(t) -действительная положит. ф-цияa(t),и фазовую:m(t) = ехрij(t). Если несущее (модулируемое) колебание - гармонич. ф-цияf(t) = = ехрiwt, то в первом случае на выходе имеем амплитуд-но-модулированное колебаниеg(t) =a(t)expiwt, а во втором- колебание, модулированное по фазеg(t) = = ехр{i[wt+j(t)]}. Операцию модуляции изображают символически с помощью блок-схемы (рис. 4,а).
Пространств. модуляция осуществляется в оптике с помощью тонких пластинок-транспарантов,- обладающих в разных точках разл. поглощательной способностью и (или) показателем преломления. При освещении пластинки плоской волной expi(ux +uy)это приводит к тому, что амплитуда волны на выходе из пластинки оказывается различной в разных точках (в соответствии с изменением поглощат. способности), т. е. имеем амплитудную модуляцию волны:
Если пластинка имеет различный в разных точках показатель преломленияп(х, )[или толщинуh(x,y)],то набег фазы волны при прохождении пластинки оказывается в разных местах различным: j(х,y) = kn(x,y)h(x,у) -получается фазовая модуляция:
В общем случае с помощью транспаранта осуществляется как амплитудная, так и фазовая пространств. модуляция.
Ф-цияm(x,y) = a(x,y)expij(x,y),определяющая характер пространств. модуляции и связывающая комплексную амплитуду волны на входе и выходе транспарантаg(x,y) ==т (х, y)f(x, у),наз. ф-цией п р о п у с к а н и я (или модуляц. характеристикой) транспаранта. Операция пространств. модуляции изображается с помощью блок-схемы, изображённой на рис. 4(б).Для осуществления пространств. модуляции в оптике используют различного вида маски, пластинки, амплитудные и фазовые решётки.
Преобразование Фурье, осуществляемое линзой.Осн. элементом любого оптич. устройства является линза. Идеальная безаберрационная линза осуществляет фазовую модуляцию вида
гдеf-фокусное расстояние линзы. В оптике пространств. спектральное разложение тесно связано со свойством линзы фокусировать параллельный пучок света: падающая на линзу плоская волна expi(ux+uy)с пространств. частотой (и,u)фокусируется линзой в точку фокальной плоскости с координатамиx=fu/kиy=fu/k(рис. 5). Падающая на линзу произвольная волна с комплексной амплитудойf(x,y)может быть представлена, согласно (11), суперпозицией плоских волн разных направлений (т. е. разных пространств. частоти,u),и каждая из плоских волн в этой суперпозиции фокусируется линзой в свою определ. точку фокальной плоскости, создавая в ней световое поле с амплитудой, пропорциональной амплитуде соответствующей волны, и с фазой, определяемой фазой соответствующей волны, т. е. создавая в ней колебание, пропорциональное величинеF(kx/f, ky/f),гдеF(u,u) -преобразование Фурье ф-цииf(х, у).Т. о., световое поле, возникающее в фокальной плоскости линзы, представляет собой пространств. спектральное разложение волны, падающей на линзу.
Теория Аббе формирования изображения(принцип двойной дифракции). На рис. 5 в качестве примера оптич. системы, формирующей изображение, приведена система, состоящая из двух линз Л1и Л2с общей фокальной плоскостью Ф; входной плоскостью П0(где размещается предмет) служит передняя фокальная плоскость линзы Л1, а выходной плоскостью, где возникает изображение,- задняя фокальная плоскость линзы Л2- плоскость Пt.
Формирование изображения в оптич. системе, согласно теории Аббе,- двухэтапный процесс. Первый этап (первая "дифракция")-это распространение света от входной плоскости до плоскости Ф, где формируется пространств. спектр предметной волны. На этом этапе линза Л1осуществляет первое пространств. фурье-преобразова-ние. Второй этап (вторая дифракция) - распространение света от плоскости Ф (к-рая наз. фурье-плоскостью оптич. системы) до плоскости изображения. На этом этапе линза Л2осуществляет ещё одно преобразование Фурье. В результате двух последоват. преобразований Фурье возникает перевёрнутое изображение-поле с комплексной амплитудойg(x,y)=f(-x, -у),тождественное с точностью до инверсии предметному полюf(х,у).
Частотная характеристика оптической системы формирования изображения.Описанная выше оптич. система является идеальной: изображение, тождественное предмету, создаётся системой с частотной характеристикой
В действительности же оптич. система вносит искажения. Принципиальными являются дифракц. искажения, обусловленные конечностью размеров линз. Влияние конечных размеров линз моделируется диафрагмой, расположенной в фурье-плоскости оптич. системы (рис. 6) (диаметр диа-
фрагмыDравен диаметру меньшего из объективов). В формировании изображения в такой модели принимают участие лишь те плоские волны, к-рые фокусируются линзой Л1внутрь диафрагмы, т. е. волны с пространств. частотами
Эти волны приходят к плоскости изображения П2без искажений по амплитуде и фазе. Все прочие волны, задерживаясь диафрагмой, не достигают плоскости изображения, т. е. оптич. система имеет частотную характеристику:
(т. н. дифракционно-ограниченная система). Ф-ция рассеяния [обратное фурье-преобразование ф-ции (15)] имеет вид
(одномерный случай);
(круглая диафрагма).
Принцип корреляционной фильтрации.Т. к. плоские волны разных пространств. частот, фокусируясь линзой Л1в разные точки фурье-плоскости, пространственно разделяются, то можно избирательно воздействовать на разл. пространств. гармоники. Если маленькую пластинку-транспарант, вносящую определ. поглощение и (или) определ. фазовую задержку, поместить в точку (х, у)фурье-плоскости, то эта пластинка изменит амплитуду и (или) фазу только той плоской волны, к-рая в эту точку фокусируется (т. е. волны с частотойu= kx/f,u=ky/f).При этом все др. волны достигают плоскость изображения без искажений по амплитуде и фазе. Помещая в фурье-плоскость разл. маски-транспаранты, можно непосредственно влиять на пространств. спектр изображения.
Маска с ф-цией пропусканият(х, помещённая в фурье-плоскость, приводит к частотной характеристике
Метод управления частотной характеристикой оптич. системы с помощью транспарантов, устанавливаемых в фурье-плоскости, наз. принципом корреляц. фильтрации. С его помощью решаются разнообразные задачи, такие, как улучшение разрешающей способности оптич. системы, связанное, напр., с сужением гл. максимума ф-ции рассеяния; уменьшение боковых лепестков ф-ции рассеяния (апо-дизация), выполняемое с помощью т. н. мягких диафрагм- плавного уменьшения пропускаемости диафрагмы от центра к краям (напр., по линейному закону); устранение пространственно-периодич. шума в изображении; апостериорная обработка изображений.
С помощью оптич. системы можно совершать ряд ма-тем. преобразований. Для этого ф-ция, подлежащая преобразованию (в общем случае ф-ция двух переменных), записывается в виде комплексной пропускаемости транспаранта, к-рый располагается во входной плоскости. При освещении такого транспаранта параллельным пучком лазера получаем на выходе транспаранта требуемое полеf(x,y),преобразуемое затем в оптич. системе. Таким способом можно проводить двумерное преобразование Фурье, операции свёртки и корреляции, дифференцирование ф-ций одной переменной с помощью частотной характеристикиH(u) = iu[1] и т. д. Многоканальный анализатор спектра, выполняемый с помощью комбинации сфе-рич. и цилиндрич. линз, позволяет проводить одномерное преобразование Фурье в большом числе каналов одновременно.
Преобразование пространственно-случайных (спекл-по-лей) в оптических системах.Из теории фильтрации случайных сигналов линейными колебат. системами хорошо известна связь между спектрами мощности (фурье-образами корреляц. ф-ций) сигналов на входе и выходе фильтраGk(w) = Fk(w)|H(w)|2,гдеH(w)-частотная характеристика фильтра. Аналогичное равенство справедливо для решения задачи фильтрации спекл-полей в оптич. (пространств.) фильтрах:
гдеGk(u,u)иFk(u,u) -пространств. спектры мощности (фурье-образы автокорреляц. ф-ций) спекл-полей во входной и выходной плоскостях оптич. системы.
В соответствии с (16) управление характеристиками системы для фильтрации спекл-полей осуществляется с помощью амплитудных транспарантов.
Некогерентные оптические системы.В некогерентных системах входным и выходным сигналами являются интенсивности светаIвx(х, у)иIвых(х, у)во входной и выходной плоскостях. Связь между ними определяется равенством
(при выполнении условия изопланатичности).
Из (17) следует связь между нормированными спектрами (фурье-преобразованиями) ф-цийIвх(х, у)иIвых(х, у):
гдеJвх(u, u)иJвых(u, u)-фурье-образы ф-цийJвх(x,у)иIвых(x, y); (u,u)-п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я оптич. системы, определяющая свойства некогерентной оптич. системы.
Связь между когерентной частотной характеристикойH (и,u)и передаточной ф-цией оптич. системы (и,u)для одномерного случая имеет вид
Возможности использования идей и методов Ф.-о. существенно расширяются с применением динамически управляемых ячеек и транспарантов, располагаемых в фурье-плоскости оптич. системы: жидких кристаллов, ультразвуковых ячеек, эл.-оптич. ячеек Керра и т. д.
Лит.:Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959; Рытов С. М., О методе фазового контраста в микроскопии, "УФН", 1950, т. 41, в. 4, с. 425; О'Нейл Э., Введение в статистическую оптику, пер. с англ., М., 1966; Строук Дж., Введение в когерентную оптику и голографию, пер. с англ., М., 1967; Гудмен Дж., Введение в фурье-оптику, пер. с англ., М., 1970; его же, Статистическая оптика, пер. с англ., М., 1988; Сороко Л. М., Основы голографии и когерентной оптики, М., 1971; Папулис А., Теория систем и преобразований в оптике, пер. с англ., М., 1971; Мандельштам Л. И., Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике, М., 1972; Зверев В. А., Радиооптика, М., 1975; Юу Ф., Введение в теорию дифракции, обработку информации и голографию, пер. с англ., М., 1979.Г. Р. Лакшин.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.
- фурьеоптика—ж.Fourier optics...Русско-английский словарь по физике
- фурьеоптика—Fourier optics...Русско-английский словарь по электронике