Физическая энциклопедия

ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ

-кривая в фазовом пространстве, составленная из точек, представляющих состояниединамической системыв последоват. моменты времени в течение всего времени эволюции.

Динамич. система задаётся с помощью закона, позволяющего установить состояние системы в произвольный (допустимый) момент времениt>0, если известно её состояние в нач. моментt =0.Это означает, что задаётся набор фазовых переменныхx={xi,i=1, 2, ...,n} и эволюционный операторTt,преобразующий состояниех0= х(t =0)в состояниеx(t):


ОператорТtудовлетворяет групповому свойству

и задаёт однопараметрич. группу преобразований фазового пространства на себя (параметром группы является времяt).Группа преобразований фазового пространства, задаваемая операторомТt,наз. ф а з о в ы м п о т о к о м. Ф. x(t )в фазовом пространстве под действием фазового потока. Кривая, начинающаяся в нек-рой нач. точкех0.и образованная по закону (1), является, вообще говоря, лишь частью Ф. т. Для получения полной Ф. t>0, но и в областьt<0.

Ф. Если Ф. т. целиком находится в конечной области фазового пространства, то говорят, что она отвечает ф и н и тн о м у д в и ж е н и ю системы. В противном случае траек-тория представляет и н ф и н и т н о е д в и ж е н и е.

Часто динамич. систему с конечномерным фазовым пространством задают с помощью автономной системы обыкновенных дифференц. ур-ний


где Если в нек-рой области фазового пространства ф-цииFi(X)непрерывно дифференцируемы, то в этой области различные Ф. Коши задача).

Если ф-цииFi(x)в (2) недифференцируемы где-либо, то Ф.



имеет две траектории при


Первая отвечает стационарному состоянию, вторая - ин-финитному движению. Эти две Ф. т. пересекаются в точкеx =0.Неединственность решения обусловлена недифференцируемостью прих= 0 правой части ур-ния (3).

Время движения системы вдоль Ф. т., начинающегося с какой-либо нач. фазовой точки, может быть как бесконечным, так и конечным. Последнее имеет место, напр., в системе


Действительно, из (5) следует так что движение инфинитно, но время эволюции конечно при любых конечных значенияхх0.и составляет

Пусть в фазовом пространстве динамич. системы имеются стационарная точкам к.-л. траектории, идущие в эту точку. Пусть также система - гладкая в окрестности особой точки. Тогда время достижения этой точки вдоль любой траектории, не совпадающей с ней, бесконечно. Поэтому стационарные состояния отделены от прочих траекторий.

См. такжеДинамическая система, Фазовое пространство, Устойчивость движения, Статистическая физика.

Лит.:Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1984.Н. А. Кириченко.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. фазовая траектория—траектория точки в фазовом пространствеi изображающая как изменяется со временем tсостояние динамической системы.i Если последняя описывается автономной системойi обыкнов...Математическая энциклопедия
  2. фазовая траектория—trajectoire de phase...Политехнический русско-французский словарь
  3. фазовая траектория—phase trajectory...Русско-английский политехнический словарь
  4. фазовая траектория—phase path phase trajectory...Русско-английский словарь по физике
  5. фазовая траектория—phase trajectory...Русско-английский словарь по электронике
  6. фазовая траектория—фазавая траекторыя...Русско-белорусский математический словарь
  7. фазовая траектория—фазова тракторя...Русско-украинский политехнический словарь
  8. фазовая траектория—fzov trajektorie...Русско-чешский словарь