УАЙТМЕНА ФУНКЦИИ
(Вайтмана функции, Уайтмана функции) -вакуумные средниепроизведения гейзенберго-вых операторов поля (см.Гепзенберга представление).
Трудности стандартной лагранжево-гамильтоновой теории поля стимулировали в кон. 50-60-х гг. развитие аксиоматич. подхода, опирающегося не на явные ур-ния движения, а на нек-рые необходимые для любой разумной теории осн. свойства типа релятивистской инвариантности, причинности и др., требование выполнения к-рых налагается в форме аксиом (см.Аксиоматическая квантовая теория поля).Один из наиболее разработанных вариантов такого подхода связан с именем А. С. Уайт-мена (A. S.Wightman), к-рый выбрал в качестве осн. объекта оператор гейзенбергова поляA(x)(для простоты- одного и скалярного). Работать с операторнозначнойобобщённой функцией А (х)не всегда удобно, поэтому в методе Уайтмена вводится параллельно бесконечная последовательность числовых обобщённых ф-ций (У. ф.)
и осн. аксиомы переводятся на язык этих ф-ций.
Чтобы гейзенбергово полеА (х)существовало в качестве обобщённого оператора в квантово-механич. гильбертовом пространстве, надо потребовать, чтобы У. ф. были бы обобщёнными ф-циями медленного роста.
Для вещественности поляA(X)должно выполняться соотношение
Инвариантность относительно неоднородных преобразований Лоренца влечёт требование
Условие причинности входит в аксиоматику Уайтмена в виде требования локальной коммутативности полейА (х)иА (у)в пространственно-подобных точкаххиу,что на языке У.ф. требует
для
Следующая аксиома, по существу, содержит условие отсутствиятахионов;она требует, чтобы спектр 4-импуль-са (кроме точки О) был сосредоточен внутри светового конуса будущего. [4-импульс попадает в несодержащую ни лагранжева, ни гамильтонова формализма теорию из требования релятивистской инвариантности, т. е. через посредство унитарного оператора , преобразующего сам оператор поляАпри пространственно-временном сдвиге наа:
Чтобы перевести эту аксиому на язык У. ф., удобно ввести фурье-образы (ФО):
Если учесть, что в силу (*) У. ф. зависят только от разностей координат:
то ФО можно представить в виде
где
В терминах ФО формулируется аксиома спектральности, к-рая требует, чтобы ф-ции (q2,...,qn)были бы отличны от нуля только тогда, когда всеq2,...,qnлежат всветовых конусахбудущего: только если всеqj>0Наконец надо ещё потребовать, чтобы состояния, получающиеся из вакуума действием операторов поляА (х),обладали положит. нормой; это накладывает на У. ф. систему нелинейных ограничений: для любыхNи любых пробных ф-цийn= 0, 1,...,N
Возможность работать с обобщёнными числовыми У. ф. определяется доказанной Уайтменом осн. теоремой о р е к о н с т р у к ц и и. ПустьWn(x1,...,xn),n= 0,1, ... есть последовательность обобщённых ф-ций в пространстве4пизмерений, удовлетворяющих сформулированным выше условиям. Тогда существуют: гильбертово пространство , представление неоднородной группы ЛоренцаV (a,L), состояние вакуума и нейтральное скалярное полеА (х),такие, что средние по вакууму от произведенийnоператоровА(х)будут равныWn(x1, x2,...,хn).
Особенная плодотворность использования обобщённых У. ф. определяется теоремой, утверждающей, что каждая обобщённая У. ф. является граничным значением аналитич. ф-ции комплексных переменныхz2, ..., zn,голоморфной в трубе будущего Imzj>0,j= 2, ...,п,что позволяет использовать мощный аппарат теории ф-ций многих комплексных переменных.
Лит.:Wightman A. S., Quantum field theory in terms of vacuum expetation values, "Phys. Rev.", 1956, v. 101, p. 860; Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, пер. с англ., M., 1963; Йост Р., Общая теория квантованных полей, пер. с англ., M., 1967.Б. В. Медведев.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.