Физическая энциклопедия

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

(статистическая теория возмущений)-метод приближённого регулярного вычисления свободной энергии (или к.-л. др. термодинамич. величины) физ. системы, аналогичныйвозмущений теориидля энергии осн. состояния в квантовой механике. Построение Т. т. в. предполагает возможность разбиения полногогамильтониана Hданной квантовой физ. системы (или соответственноГамильтона функциидля классич. системы) на свободный (нулевой) гамильтонианH0и гамильтониан взаимодействия lH1, где константа связи l может быть, вообще говоря, не мала. Согласно Т. т. в., свободная энергияF(см.Гельмгольца энергия)такой системы может быть представлена в аддитивной формеF=F0+ F1,гдеF0,по предположению, вычисляется точно, aF1имеет вид бесконечного разложения (ряда) по степеням bl, где b = 1/kT, Т-абс. темп-pa. Очевидно, условия сходимости подобного ряда тем лучше, чем слабее взаимодействие l и выше темп-раТ,хотя строгие критерии сходимости рядов Т. т. в. в общем случае отсутствуют.

Т. т. в. основана на формальной аналогии междуШрёдин-гера уравнениемдля волновой ф-ции системы иБлоха уравнениемдля статистич. оператора r квантового кано-нич. (или большого канонич.) распределения Гиббса для той же системы.Ур-ние Блохадr/дb =-Hrс нач. условием r|b=0= 1 получается из ур-ния Шрёдингера формальной заменой времениtна мнимое времяhb/i, В рамках Т. т. в. решение для r, согласно Т. Мацубаре [1], ищется в виде r = r0S(b) с нач. условиемS(0)=1,гдеS(b) - т. S -м а т ри ц а, имеющая вид, аналогичныйматрице рассеянияв квантовой механике:


или


где - гамильтониан в представлении взаимодействия по мнимому времени,P-оператор "хронологич." упорядочения по мнимому времени (b1>b2>...> bn). Тогда для канонич. (или соответственно большой канонич.) статистич. суммы данной системы Z = exp(-bF)имеем


где введены обозначения Z0= Spr0= exp( - bF0), <...>0=Z0-1Sp(r0...) - термодинамич. среднее для свободной (невозмущённой) системы. Вычисление Z существенно упрощается благодаря наличию для0теоремы о разложении по т. кумулянтам), приводящей к экспоненциальной ф-ле <S(b)>0= exp<S(b)>0,c,гдес- индекс связности. Тогда, логарифмируя (2), находим, что искомая добавкаF1к свободной энергииF0невозмущённой системы имеет вид:


Эфф, вычисление связных средних в каждом порядке разложения (1) дляS(b) (а также частичное суммирование к.-л. подпоследовательностей членов этого разложения) проводится, как правило, с использованием графич. техники, вполне аналогичной техникеФейнмана диаграмм,где вместо причинных ф-ций Грина, характерных для квантовой теории поля, применяются т. Грипа функция в с т а т и с т и ч. ф и з и -к е). В рамках Т. т. в. имеет место теорема (Уорд и Лат-тинжер [2]) о стационарности (точнее, минимальности) функционала свободной энергииFпо отношению к вариациям полной ф-ции Грина или массового оператора; частный случай этой теоремы, соответствующий обобщённомусреднего поля приближению,эквивалентен т. н. с т а т и с т и ч е с к о м у в а р и а ц и о н н о м у п р и н ц и п у H. H. Б о г о л ю б о в а (1956), согласно которому Согласно этой теореме, дляF1.может быть получено формальное замкнутое выражение в виде т. Gl. и соответствующий массовый операторМlили через полную фононную ф-цию ГринаDlи соответствующий поляризац. оператор Пlслед, вида (в символич. записи):


Практич. вычисление слагаемых, входящих в осн. ф-лы Т. т. в. (1) и (3), основано обычно на записи гамильтониана взаимодействияH1в представлении вторичного квантования с помощью ферми-, бозе- или паули-операторов. Соответственно при вычислениях средних в (3) и (1) используется температурное обобщениеВика теоремыо спариваниях, доказанное К. Блохом и Де Доминисисом [3 ] для ферми- и бозе-операторов и С. В. Тябликовым и В. А. Москаленко [5] - для паули-операторов. Построение Т. т. в. для классич. физ. систем существенно упрощается по сравнению с квантовыми благодаря тому, что для коммутирующих в этом случае при любых значениях biсомножителей величинаS(b) превращается из хронологич. Р-экспоненты в обычную, для к-рой кумулянтыF1(n)любого порядка вычисляются значительно проще; напр., в первом порядке по взаимодействию , а во второмF21= ( - l2b/2)- <>0)2>0. Существует обобщение Т. т, в. на случай возмущений , явно зависящих от времениt(напр., при вычислении ф-ций линейной реакции системы на такое возмущение, а также кинетич. коэффициентов, согласноГрина-Кубо формулам).В этом случае при построении аналогаS-матрицы для неравновесного статистич. оператора используется как мнимое, так и обычное время, так что соответствующая диаграммная техника значительно усложняется (см., напр., Л. Каданов, Г. Бейм [6]).

Примеры применения Т. т. в. для разл. типов физ. систем (напр., для неидеальных газов низкой плотности с ко-роткодействием - т. Вириальное разложение, Майера диаграммы в статистич. физике). Т. т. в. широко используется также для анализа физ. свойств систем, описываемыхспиновым гамильтонианом,выше критич. точки фазового перехода; напр., для сильно магнитных систем [8 ] строятся т. н. в ы с о к о т е мп е р а т у р н ы е р а з л о ж е н и я для намагниченности, восприимчивости и т. п., к-рые затем анализируются методомПаде аппроксимациис целью нахождениякритических показателей.

Лит.:1) Matsubara Т., A new approach to quantum-statistical mechanics, "Progr. Theoret. Phys.", 1955, v. 14, p. 351; 2) Luttinger J. M., Ward J. C., Ground-state energy of the many-fermion system, "Phys. Rev.", 1960, v. 118, p. 1417; 3) BlochC., De DominicisC., Undeveloppement du potentice de Gibbs nombre de porticuels, "Nucl. Phys.", 1958, v. 7, p. 459; 4) Бонч-Бруевич В. Л., Тябликов С. В., Метод функций Грина в статистической механике, М-, 1961, 12; 5) Тябликов С. В., Москаленко В. А., Теорема о статистических средних для паули-операторов, "ДАН СССР", 1964, т. 158, с. 839; 6) Каданов Л., Бейм Г., Квантовая статистическая механика, пер. с англ., М., 1964; 7) Абрикосов А. А., Горько в Л. П., Дзялошинcкий И. Е., Методы квантовой теории поля в статистической физике, М., 1962; 8) Тябликов С. В., Методы квантовой теории магнетизма, 2 изд., М., 1975.Ю. Г, Рудой.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. термодинамическая теория возмущений—thermodynamic perturbation theory...Русско-английский словарь по физике