Физическая энциклопедия

СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ

- случайная ф-ция носк. непрерывных переменных (параметров),т. е. такая ф-ция, реализации к-рой подчиняются вероятностным законам, размерность пространства, времяt,то говорят о переменном С. п. в пространстве, размерность к-рого определяетсячислом остальных параметров. Напр.,- переменное С. п. в трёхмерном пространстве (х, у, z), наз. такжепространственно-временным С. п. Такие С. п. чаще всего встречаются в физике.

С. п. используют при вероятностном описании флуктуац. явлений всистемахс распределенными параметрами,в частности при описании флуктуацииплотности, темп-ры, диэлектрич. проницаемости и др. параметров разл. сред, флуктуации эл.-магн. и звуковых волн, распространяющихсяв случайно-неоднородных средах, в задачах пространственно-временного приёмаи обработки сигналов на фоне шумов и помех, при описании полей шумов ипомех разл. происхождения, при вероятностной трактовке нек-рых результатовквантовой теории и т. д.

С. п., описываемоеNф-циями ,i= 1, 2, ...,N,наз.N-мерным. Компоненты в общей случае имеют разл. физ. природу (напр., совокупность давления, имеют одинаковую размерность и преобразуются как компоненты вектора (тензора)при преобразованиях системы координат. В этом случае говорят о векторном(тензорном) С. п.

Основные понятия.Для С. п. используют те же способы заданияи статистич. описания, что и дляслучайных процессов,нужно тольковместо одной переменнойtвсюду подразумевать совокупность параметровQ.В частности, на С. п. обобщаются n-точечная плотность вероятности

к-рая должна удовлетворять условиям неотрицательности, согласованностии нормировки, а также связанная с ней преобразованием Фурье n-мернаяхарактеристическаяфункция

В теории С. п. используют функциональные методы, при этом вводят функционалплотности вероятности, являющийся континуальным обобщениемwn,либо характеристич. функционал

Моментные (М)и кумулянтные (К)ф-ции выражаются черезхарактеристич. функционал при помощи функциональных (вариационных) производных:

При статистич. описании С. п. необходимо учитывать причинно-следственныесвязи поля на оси времени и его возможные специфич. свойства, такие, какоднородность и изотропность, на разл. гиперповерхностях n-пространства.

С. п. наз. статистически однородным в узком смысле, если все его статистич. . Если указанным свойством обладают только ср. значение и корреляц. ф-ция, Понятие статистич. однородности С. п. является обобщением понятия стационарностислучайного процесса. Если речь идёт о пространственно-временных С. п.,то различают стационарность поля по времени и его однородность по пространств. vt в случае т. н. «замороженных» неоднородностей, движущихсякак целое равномерно со скоростьюvи описываемых С. п.

При статистич. описании С. п. часто ограничиваютсякорреляционнойтеорией,в к-рой используют только моменты 1-го и 2-го порядка, т.

и корреляц. ф-цию

Характерный масштаб убывания корреляц. ф-ции наз. масштабом или радиусомкорреляции. Напр., С. п. с гауссовой корреляц. ф-цией

имеет масштаб корреляцииавдоль осихи радиус корреляцииbв плоскости (y,z).Корреляц. теория точно описывает толькополя с нормальным (гауссовым) законом распределения вероятностей.

Многомерное С. п.в рамках корреляц. теории характеризуется совокупностью ср. значений и корреляц. матрицей ,в к-рой диагональные элементы представляют собой ф-ции автокорреляции,

В приложениях приходится иметь дело с комплексными С. п., полное статистич. описание к-рых не отличается от описания двумерногоС. п. с компонентами .Обычно не производят разделения С. п. на вещественную и мнимую части, аоперируют непосредственно с и комплексно сопряжённым полем .При описании таких С. п. в рамках корреляц. теории приходится поэтому рассматриватьдве корреляц. ф-ции

через к-рые выражаются ф-ции корреляции вещественной и мнимой частейкомплексного С. п.:

а также ф-ции взаимной корреляции

Для случайного эл.-магн. поля с напряжённостью электрич. поляЕ(r)вводят поляризационную матрицу . С её помощью вычисляютсяСтокса параметры,характеризующие состояниеполяризации С. п.

Простейшей мерой статистич. связи значений С. п. в разных точках Q-пространстваявляются коэффициенты корреляции:

Пространственно-однородные поля, у к-рых и зависят толькоот модуля вектора r = r1- r2, т. е.,наз. статистически изотропными в широком смысле. (Изотропность в узкомсмысле подразумевает аналогичные свойства непосредственно у плотностейвероятности.) Многомерные С. п., у к-рых указанным свойством обладают ф-циикорреляции, являются изотропными и изотропно связанными. Как и однородность, Для статистически однородных (в широком смысле) С. п. справедливо обобщениеВинера - Хинчина теоремы,устанавливающее взаимосвязь между корреляц.

Через пространственно-временную спектральную плотностьG(w,k)выражаются пространственный Ф(k) и временной (частотный)g(w)спектрыС. п.:

Для многомерных однородных и однородно связанных С. п. аналогичная связьимеется между элементами корреляц. матрицы и соответствующими элементами матрицы спектральной плотности Ввиду положит. определённости матрицы диагональные элементы матрицы вещественны и неотрицательны, а недиагональные элементы могут быть комплексными.

Пространственным аналогом случайного процесса со стационарными приращениямиявляется локально одноподное С. п., для к-рого разность ср. значений и структурная ф-ция зависят только от разностиr = r1- r2. Еслиэти величины зависят только от модуля г, говорят о локально изотропномС. п. Локально однородные и локально изотропные С. п. используют, напр.,при описании флуктуации параметров турбулентных сред.

В рамках корреляц. теории локально однородные С. п. можно также описыватьпри помощи спектральной плотности Ф(k). Из-за расходимости интеграла при корреляц. ф-ции для таких С.п. не существуют, а структурная ф-ция существует, т. к. интеграл сходитсяпри

менее жёстких требованиях. Это следствие «нечувствительности» структурной ф-ции к флуктуациям,

Аналогом квазистационарных процессов являются квазиоднородные С. п.,у к-рых многоточечные статистич. характеристики слабо зависят от координатцентра тяжести рассматриваемых точек r1, r2,...,rnпо сравнению с зависимостью от взаимного расположения этих точек, rj- rk. Для таких С. п. r =r1- r2.

Марковские случайные поля.В физ. задачах часто рассматриваютС. п., заданные при помощистохастических уравнений,т. е. динамич. Важным примером таких С. п. являются поля равновесных тепловых флуктуациив электродинамике, описываемыеМаксвелла уравнениямис дельта-коррелированнымисторонними токамиje(r)иim(r):

где - волновое число,и -комплексные тензоры диэлектрич. и магн. проницаемостей среды с компонентами ,-. Элементыкорреляц. матрицы векторных полейjeиjтзависят от электрич. и магн. проводимостей среды и и в соответствиисфлуктуационно-диссипативной теоремойописываются выражениями:

где - ср. энергия квантового осциллятора с собств. частотой w при абс. темп-реТ.к-рая в классич. области переходитв

К С. п. такого типа приводит также т. н.марковского процесса приближениев теории распространения волн в случайно-неоднородных средах. В этомприближении волновое поле описывается параболич. ур-нием, в к-ром флуктуац. волны (см.Параболического уравненияприближение).

Понятие марковского С. п. тесно связано с причинностью, под к-рой понимаютфункциональную зависимость С. п. в данной пространственно-временной точкеот предшествующих значений поля по временной или пространственной координате. , удовлетворяющее стохастич. ур-нию

с аддитивным сторонним воздействием , обладающим корреляц. ф-цией

Если распределение гауссово, то для функционала плотности вероятности этого С. п. справедливообобщённоеФоккера - Планка уравнение

в к-ром вместо частных производных фигурируют функциональные производныеи, кроме того, интегрирование по r проводится в пределах той области пространстваD,на к-рой задано С. п.

При нач. условии это ур-ние описывает функционал плотности вероятности перехода С. п. изначального (в моментt0) состояния в состояние втекущий моментt.Описанное ур-ние (как и вообще подобные ур-ниядля функционалов плотности вероятности) имеет символич. смысл, поcколькунормировочные константы величин обычно обращаются в 0 или в .С матем. точки зрения более корректно было бы оперировать с характеристич.Лит.:М о н и н А. С., Я г л о м А. М., Статистическая гидромеханика, Ю. А. Кравцов, А. Б. Шмелёв.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. случайное поле—случайная функция Xti уi которой параметр ti принимает значения из nмерного вещественного пространства . С. п. в геологии изучается методом аппроксимацииi наблюденных ве...Геологическая энциклопедия
  2. случайное поле—случайный процесс с многомерным временем или с многомерным параметром случайная функция заданная на множестве точек какогото многомерного пространства. С. п. представляют...Математическая энциклопедия
  3. случайное поле—random field...Русско-английский словарь по физике
  4. случайное поле—випадкове поле...Русско-украинский политехнический словарь