КОНСТРУКТИВНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

(ККТП) - направление квантовой теории поля (КТП), осн. задача к-рого состоит в строгом матем. обосновании результатов, получаемых в КТП. В отличие отаксиоматической квантовой теории поля(АКТП), ККТП призвана ответить на вопрос, существуют ли в матем. смысле нетривиальные квантованные поля для обычно рассматриваемых взаимодействий и удовлетворяют ли они осн. аксиомам КТП и АКТП. В задачу ККТП входит реальное построение таких полей, изучение матем. свойств и разл. квантовополевых объектов, связанных с этими полями, и выяснение физ. содержания рассматриваемой конкретной модели КТП.

ККТП как самостоятельный раздел КТП возникла в нач. 60-х гг. и связана с именем А. С. Уайтмена (A. S. Wightman), к-рый сформулировал её осн. задачу. Вторым этапом развития ККТП можно считать 2-ю пол. 60-х - нач. 70-х гг. [Дж. Глимм (J. Glimm), А. Джаффе (A. Jaffe) и др.], когда было доказано существование квантованных полей в простейших супер-перенормируемых взаимодействиях (см.Перенормировки)в пространстве размерностиd=2.Третий этап начался в 70-х гг. и связан с применением методов евклидовой теории поля (см.Евклидова квантовая теория поля).Осн. теоремы евклидовой КТП были доказаны К. Остервальдером (К. Osterwalder) и Р. Шрадером (R. Schrader). В нач. 80-х гг. направление ККТП испытывает кризис, поскольку методы, развитые в пространствеd=2,с большим трудом переносятся в пространствоd=3 и не ясно, что можно сделать в четырёхмерном пространстве-времени (d=4).

На первом этапе осн. объектом изучения ККТП являлся бесконечный наборУайтмена функцийгдеx₁, .. ., х_п(n=1,2, 3, . . .) - точки пространства-времени (используется система единиц, в к-рой . Задание этих ф-ций эквивалентно знанию квантованных полей в смысле АКТП (т. н. теорема реконструкции Уайтмена). Ф-ции Уайтмена, вообще говоря, можно было бы вычислить каквакуумные средниеот произведения полей. Напр., в простейшем случае однокомпонентного скалярного поля

(1)

где гейзенбергово поле (см.Гейзенберга представление)определяется соотношением

(2)

Здесь "нач." поле, т. е. значение поля в точке пространства в момент времениt=0, a

(3)

гамильтониан системы, представленный в виде суммы гамильтонианаH₀, описывающего невзаимодействующую систему, и гамильтониана взаимодействия где - константа связи (квадратные скобки означают функциональную зависимость от поля

Однако наличиерасходимостей -объёмных (см.Хаага теорема),УФ- и, возможно, других - делает прямое вычисление по ф-ле (1) невозможным. Поэтому доказательство существования ф-ций Уайтмена (1) строится след, образом. В гамильтониан взаимодействия (3) вводится объёмное и УФ- "обрезания", так что регуляризованный гамильтониан (см.Регуляризация расходимостей)становится хорошо определённым эрмитовым оператором, а для него существует регуляризов. набор ф-ций Уайтмена где точка обозначает набор пространственно-временных переменных. Далее к регуляризов. гамильтониану добавляются т. н.контрчлены,структура к-рых предсказывается теорией возмущений и к-рые призваны сократить возникающие расходимости в пределе снятия обрезания. Задачей ККТП является, во-первых, доказательство существования конечного предела

(4)

при определённом выборе контрчленов и, во-вторых, доказательство того, что полученные предельные ф-ции удовлетворяют всем требованиям АКТП.

Матем. трудности при непосредств. реализации этой программы определяются сложностью операторной структуры вводимых контрчленов, что, в свою очередь, диктуется конкретным видом рассматриваемой квантовополевой модели. Наиб. простые контрчлены возникают в т. н. суперперенормируемых теориях, т. е. в теориях, где число расходящихсяФейнмана диаграммконечно. Именно по этой причине первые нетривиальные примеры построения релятивистских локальных квантованных полей были получены в суперперенормируемых моделях, характеризуемых плотностями гамильтониана взаимодействия где верхний индекс - степень взаимодействия, а нижний - размерность пространства-времениd=2, - полином степени - спинорноеДирака поле(черта над означает дираковское сопряжение). Проведение сформулированной выше программы даже в этих простейших случаях потребовало создания матем. техники операторных оценок специально для изучаемых моделей.

Дальнейшее развитие ККТП связано с переходом к евклидову пространству и применением методов евклидовой теории поля. В АКТП было доказано, что ф-ции УайтменаW_n(t₁, х₁, . . ., t_n, х_n)являются граничными значениямианалитических функцийв область аналитичности к-рых попадают также евклидовы 4-точки такие, что где - "мнимое время". Значения ф-ций на множестве евклидовых точек наз. ф - ц и я м и Швингера (S_n)[введены Ю. Швингером (J. Schwin-ger) в 1951],

Остервальдер и Шрадер (1975) нашли необходимые и достаточные условия (О. Ш.), при выполнении к-рых была доказана эквивалентность теорий, построенных на ф-цияхW_nиS_n.

Изучение ф-ций Швингера более удобно по след, причинам. Во-первых, к решению проблем теории поля привлекаются хорошо разработанные теоретико-вероятностные методы, поскольку ф-ции Швингера можно отождествить со средними от произведения случайных процессов (евклидовых полей):

ЗдесьЕ[Ф]-среднее от нек-рой случайной величины Ф, заданной на нек-ром вероятностном пространстве. Было выяснено, что величина должна быть евклидово-ковариантным марковским случайным полем (см.Марковские случайные процессы),удовлетворяющим определённым дополнит. требованиям, и доказано, что эти требования эквивалентны условиям О. III. Во-вторых, переход к евклидовым вероятностным мерам позволил при исследовании проблем, связанных со снятием обрезаний, использовать корректные интегральные представления для регуляризованных ф-ций Швингера и многочисл. методы статистич. физики. Тем самым оказалось, что мн. вопросы евклидовой теории эквивалентны проблемам статистич. физики. На этом пути были упрощены доказательства существования ф-ций Уайтмена в модели и доказано их существование в модели

Математически развитые методы ККТП привели пока к доказательству существования квантованных гейзен-берговых полей только в суперперенормируемых моделях КТП. Переход к изучению перенормируемых моделей требует привлечения совершенно новых идей и методов.

Лит.:Саймон Б., МодельР(j)₂евклидовой квантовой теорииполя, пер. с англ., М., 1976; Конструктивная теория поля, пер. с англ., М., 1977; Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход, М., 1978; Г л и м м Д., Д ж а ф ф е А., Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов, пер. с англ., М., 1984.

Г.В. Ефимов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.

конструктивная квантовая теория поля—раздел математической физики изучающий свойства моделей квантовой теории поляi к. т. п. Одна из задач К. к. т. п. состоит в исследовании квантовых полей в реальном мерном...Математическая энциклопедия
конструктивная квантовая теория поля—constructive quantum field theory...Русско-английский словарь по физике