КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Содержание

Место К. м. среди других наук о движении
История создания К. м.
Физические основы К. м.
Корпускулярно-волновой дуализм
Принцип суперпозиции состояний
Вероятностное описание в К. м.
Математический аппарат К. м.
Векторы состояния и линейные эрмитовы операторы
Основные постулаты К. м.
Представления вектора состояния
Эволюция системы во времени
Принцип соответствия и временное уравнение Шрёдингера
Среднее значение физической величины. Дисперсия.
Соотношение неопределённостей
Производная физической величины по времени
Перестановочные соотношения и классические скобки Пуассона
Симметрия гамильтониана и сохраняющиеся величины
Обратимость уравнения Шрёдингера во времени
Плотность потока вероятности
Стационарные состояния
Соотношение неопределённостей для энергии и времени
Стационарное уравнение Шрёдингера
Движение в периодическом поле
Движение в центральном поле
Квазистационарные состояния
Спин. Полный момент
Системы многих частиц. Тождественные частицы
Обменное взаимодействие. Химическая связь
Приближённые методы К. м.
Парадоксы К. м.

К. м. (волновая механика) - теория, устанавливающая способ описания и законы движения физ. систем, для к-рых величины, характеризующие систему и имеющие размерностьдействия,оказываются сравнимыми с постоянной Планкаh.Этому условию удовлетворяет, как правило, движение микрочастиц (электронов в атоме, атомов в молекулах, нуклонов в ядрах и т. д.). Однако в нек-рых случаях специфич. квантовыми свойствами обладают макроскопич. системы как целое (см.Макроскопические квантовые эффекты).К. м. представляет собой систему понятий и адекватный ей матем. аппарат, необходимый и достаточный для описания всех наблюдаемых свойств соответствующих систем и их движения. молекулярные спектры, установить природу хим. связи, объяснить периодич. систему элементов Менделеева, понять строение и свойства атомных ядер. Поскольку свойства макроскопич. тел определяются движением и взаимодействием частиц, из к-рых они состоят, законы К. м. объясняют многие макроскопич. явления, напр., температурную зависимость и величину теплоёмкости макроскопич. систем (газов, твёрдых тел). Законы К. м. лежат в основе теории строения твёрдых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников) и её многочисл. техн. приложений. Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить магн. свойства веществ и создать теориюферромагнетизмаиантиферромагнетизма.К. м. естеств. образом решила ряд проблем классич. статистич. физики, напр., обосновала теорему Нернста (см.Третье начало термодинамики),разрешилаГиббса парадокс.Важное значение имеют макроскопич. квантовые эффекты, проявляющиеся, квантовых жидкостей, каксверхтекучестьисверхпроводимость(см. такжеДжозефсона эффект, Квантовый Холла эффект).На основе К. м. удалось объяснить природубелых карликов, нейтронных звезд,выяснить механизм протеканиятермоядерных реакцийв Солнце и звёздах. термоядерные реакции (в т. ч. УТС), получать большие токи (см.Автоэлектронная эмиссия),а также использовать в техн. целях туннельные переходы в твёрдых телах (см., напр.,Туннельный диод. Сканирующий туннельный микроскоп).Фундаментквантовой электроникисоставляет квантовомеханич. теория излучения. Законы К. м. используются при целенаправл. поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Т. о., открытие законов К. м. явилось одним из важнейших факторов, приведших к совр. научно-техн. революции, а К. м. стала в значит. мере "инженерной" наукой, знание к-рой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.
Место К. м. среди других наук о движенииВ нач. 20 в. выяснилось, что классич. механика Ньютона имеет огранич. область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она неприменима при скоростях движения тел, сравнимых со скоростью света. Здесь её заменила релятивистская механика, построенная на основе специальной (частной) теории относительности Эйнштейна (см.Относительности теория).Релятивистская механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. (Ниже термин "классич. механика" будет объединять Ньютонову и релятивистскую механику.)Для классич. механики в целом характерно описание частиц путём задания их координат и скоростей в зависимости от времени. Такому описанию соответствует движение частиц по вполне определ. траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо в случае частиц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения даёт К. м., к-рая включает в себя как частный случай классич. механику. К. м. делится на нерелятивистскую, справедливую при малых скоростях, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям спец. теории относительности. В статье изложены основы нерелятивистской К. м. (однако нек-рые общие положения относятся к квантовой теории в целом). Нерелятивистская К. м. (как и механика Ньютона для своей области применимости) - вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей применимости количественно описать в принципе любое физ. явление. Напротив, релятивистская К. м., за исключением отд. частных задач, не может считаться замкнутой теорией, а представляет собой составную частьквантовой теории поля(со всеми присущими ей трудностями). Это связано с тем, что при взаимодействии релятивистских частиц в игру неизбежно вовлекаются полевые степени свободы. h~6,62.10^-27эрг. h/2p~1,05.10^-27эрг.История создания К. м.В нач. 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости механики Ньютона и классич. электродинамики к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установленной на опыте двойственной природой света -дуализмом света (см. ниже), вторая - с невозможностью объяснить на основе классич. представлений существование устойчивых атомов, а также их оптич. спектры. Установление связи между этими группами явлений и попытки их объяснения и привели, в конечном счёте, к открытию законов К. м. h )были введены в 1900 М. Планком (М. Planck) в работе, посвящённой теории теплового излучения тел (см.Планка закон излучения).Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классич. электродинамики и статистич. физики, приводила к бессмысленному выводу о невозможности термодинамич. равновесия между излучением и веществом, т. к. вся энергия должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, предположив, что свет испускается не непрерывно (как это следовало из классич. теории излучения), а определ. дискретными порциями энергии - квантами. Величина такого кванта энергии пропорциональна частоте света n и равна: e=hn.Попытки обосновать гипотезу Планка в рамках классич. физики оказались безуспешными. Несовместимость гипотезы Планка с классическими представлениями отмечалась, в частности, А. Пуанкаре (H. Poincare).От работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся к 1927 окончат. формулировкой К. м. в двух её формах. Первая начинается с работы А. Эйнштейна (1905), в к-рой была дана теорияфотоэффекта.Развивая идею Планка, Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету: свет состоит из отд. порций - световых квантов, названных позднеефотонами.Энергия фотона e=hn.На основании этой гипотезы Эйнштейн объяснил установленные на опыте закономерности фотоэффекта, к-рые противоречили классической (базирующейся на классич. электродинамике) теории света. Комптона эффект).Кинематика столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причём фотону наряду с энергией следует приписать импульсp=h/l=hn/c(где l - длина световой волны). Энергия и импульс фотона связаны соотношением e=ср, справедливым в релятивистской механике для частицы с нулевой массой покоя. Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися в интерференции, дифракции и поляризации) свет обладает и корпускулярными свойствами. В этом состоит дуализм света, его корпускулярно-волновая природа. Дуализм содержится уже в ф-ле e=hn, не позволяющей выбрать к.-л. одну из двух концепций: энергия e характеризует частицу, а частота n является характеристикой волны. Возникло формальное логич. противоречие: для объяснения одних явлений необходимобыло считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других - корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физ. основ К. м. корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой частице, независимо от её природы, следует поставить в соответствие волну, длина к-рой l связана с импульсом частицырсоотношением l=h/p. По этой гипотезе не только фотоны, но и все "обыкновенные частицы" (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами (см.Волны де Бройля),к-рые, в частности, должны проявляться вдифракции частиц.В 1927 К. Дэвиссон (С. Davisson) и Л. Джермер (L. Germer) впервые наблюдали дифракцию электронов. Позднее волновые свойства были обнаружены и у др. частиц и справедливость ф-лы де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1926 Э. Шрёдингер (Е. Schrodinger) предложил ур-ние, описывающее поведение таких "волн" во внеш. силовых полях, а М. Борн (М. Born) дал им статистическую, вероятностную интерпретацию. Так возникла волновая механика. ВолновоеШрёдингера уравнениеявляется осн. ур-нием нерелятивистской К. м. В 1928 П. Дирак (Р. А. М. Dirac) сформулировал релятивистское ур-ние, описывающее движение электрона во внеш. силовом поле;Дирака уравнениестало одним из основных ур-ний релятивистской К. м. осцилляторов. Испускание или поглощение волн эквивалентно возбуждению или, напротив, переходу в основное (невозбуждённое) состояние соответствующих осцилляторов. Тот факт, что испускание и поглощение эл.-магн. излучения веществом происходят квантами с энергиейhn,можно выразить так: осциллятор поля не может обладать произвольной энергией, он может иметь только определ. дискретные уровни энергии, расстояние между к-рыми равноhn.Эйнштейн обобщил идею квантования энергии осциллятора эл.-магн. поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение твёрдых тел сводится к колебаниям атомов, то и твёрдое тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантована, т. е. разность соседних уровней энергии должна равнятьсяhn, где n - частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем (P. Debye), Борном и Т. Карманом (Th. Karman), сыграла выдающуюся роль в развитии теории твёрдых тел. электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрич. заряд должен излучать эл.-магн. волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен непрерывно уменьшаться, и за время ~10^-11с электрон должен упасть на ядро. Это означало, что законы классич. физики неприменимы к движению электронов в атоме, т. к. атомы не только существуют, но и весьма устойчивы. h. Такие орбиты были названы стационарными. Им отвечают определ. уровни энергии. Далее Бор постулировал, что при движении по стационарным орбитам электрон не испускает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии E_iна другой, с меньшей энергией, E_k,и при этом рождается квант света с энергиейhn=E_i-E_k.Так возникает линейчатый спектр атома. Исходя из этих постулатов, Бор получил правильную ф-лу для частот спектральных линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирич. ф-л (см.Спектральная серия).При этом числ. значениеРидберга постоянной,к-рое Бор выразил через фундам. константыт, е, h(тие-масса и заряд электрона), оказалось в прекрасном согласии с её значением, измеренным на опыте. Размеры атома в теории Бора также выражались через фундам. константы: радиус нижней боровской орбитыа=h²/mе²~0,5.10^-8см совпадал с эксиерим. оценками размеров атома. h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение электронов в атоме. Впоследствии стало ясно, что этот вывод - одно из следствий универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Существование дискретных уровнен энергии в атомах было непосредственно установленоФранка- Герца опытами.(1913-14).Успех теории Бора, как и предыдущие успехи теории квантов, был достигнут за счёт нарушения логич. цельности классич. теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой,- привлекались чуждые ей искусств. правила квантования. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение электронов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение хим. связи между атомами, приводящей к образованию молекул, и др. "Полуклассич." теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется электрон при переходе с одного уровня энергии на другой. Дальнейшая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что движение электрона в атоме нельзя описывать в терминах (понятиях) классич. механики (как движение по определ. траектории, или орбите), что вопрос о движении электрона между стационарными орбитами несовместим с характером законов, определяющих поведение электронов в атоме, и что необходима новая теория, в к-рую входили бы только величины, относящиеся к нач. и конечному стационарным состояниям атома. В 1925 В. Гейзенберг (W. Heisenberg) построил такую форм. схему, в к-рой вместо координат и скоростей электрона фигурировали некие абстрактные алгебр. величины - матрицы: связь матриц с наблюдаемыми величинами (уровнями энергии и интенсивностями квантовых переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита Борном и П. Иорданом (P. Jordan). Так возникла матричная м е х а н и к а. Вскоре после появления ур-ния Шрёдингера была показана матем. эквивалентность волновой (основанной на ур-нии Шрёдингера) и матричной механики. неопределённостей соотношение - важнейшее соотношение, освещающее физ. смысл ур-ний К. м., её связь с классич. механикой и ряд др. принципиальных вопросов К. м. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга. спин.[Ранее представление о внутр. моменте электрона развивалось Р. Кронигом (R. Kronig), но его работа не была опубликована.] Важную роль сыграл открытый Паули (1925) т. н. принцип запрета (Паули принцип,см. ниже), имеющий фундам. значение в теории атомов, молекул, ядер, твёрдых тел. скрытых параметров),теории измерений (квантовые неразрушающие измерения)и т. д., продолжали возникать и новые разделы и методы К. м.- теория движения в нерегулярном поле (андерсоновская локализация),теория комплексного углового момента (Редже полюсов метод),суперсимметричная К. м. (см.Суперсимметрия)идр. Р. Фейнманом (R. Feynman) была предложена новая формулировка К. м. в виде т. н. интегралов по траекториям (см.Функционального интеграла метод).
Физические основы К. м.Корпускулярно-волновой дуализм.Физ. основой К. м. является корпускулярно-волновой дуализм - всеобщее и универс. свойство материи, согласно к-рому не только любой волне с частотой w и волновым векторомkотвечает частица с энергией Eи импульсомр,соответственно равными:

E = hw,p=hk,(1)

но и, обратно, с любой частицей, обладающей энергией Eи импульсомр, связана волна, частота и волновой вектор к-рой определяются соотношениями (1). Наличие у частиц волновых свойств доказано в огромном числе экспериментов. Интерференция и дифракция наблюдались для электронов, нейтронов, атомных ядер, атомов, молекул. Волновые свойства нейтронов лежат в основенейтронной оптики(имеющей, в частности, прикладное значение) и широко используются при изучении структуры вещества (см.Нейтронография).Т. S можно считать точечным), то на экране Э будут наблюдаться интерференц. полосы. М, отвечающую минимуму интерференции, фотоны не попадают. С точки зрения классич. представлений движения частиц по траекториям, фотоны не должны попадать в точкуМни по путиSaM,ни по путиSbM.Это, однако, противоречит след. опыту: закрывая щельb,можно наблюдать нек-рую освещённость в точкеМ,что указывает на возможность распространения фотонов по путиSaM.Аналогично, закрывая щельа, можно убедиться, что фотоны могут распространяться и по путиSbM.

Исходя изклассич. представлений о движении частиц, нельзя объяснить, почему фотоны, способные попадать в точкуМкак по путиSaM,так и поSbMв отдельности, не попадают в неё, когда оказывается возможным движение по обоим путям сразу. [Представление о том, что между фотонами, движущимися по разным путям, существует взаимодействие, обусловливающее интерференц. явления, опровергается опытом, из к-рого следует, что картина интерференции не зависит от интенсивности источникаS.Более того, если вместо экрана использовать, напр., фотоэмульсию, накапливающую эффект, то при достаточно большой экспозиции интерференция будет наблюдаться при столь малой интенсивности источника, когда от него летят практически единичные фотоны. Образно говоря, каждый фотон интерферирует сам с собой, что и даёт в результате интерференц. картину (хотя попадание каждого отд. фотона на фотоэмульсию - случайно).] Причиной возникшего парадокса является предположение о том, что каждый фотон движется по вполне определ. траектории. Это предположение представляет собой необоснованное распространение понятия траектории (возникшего в результате наблюдения движения макроскопич. тел) на движение фотона, для к-рого оно не имеет места. Напротив, наблюдение интерференц. явлений [для осуществления к-рых необходимо по крайней мере два возможных пути движения фотонов (или к.-л. др. частиц)] указывает на то, что в этом случае нельзя считать, что частица движется по определ. траектории. Существенно, что соотношения (1), согласно к-рым с волной может быть сопоставлена частица, определяют лишь энергию и импульс этой частицы, не требуя её движения по к.-л. определ. траектории.
Принцип суперпозиции состояний.Для того чтобы устранить противоречие между корпускулярным и волновым описанием явлений (существующее в рамках классич. представлений о частицах как матер. точках, движущихся по определ. траекториям), оказывается необходимым спец. постулат - т. н. принцип суперпозиции состояний. Этот принцип позволяет описать волновые явления в терминах корпускулярных представлений ценой отказа от нек-рых классич. понятий, взятых из макроскопич. опытов и неприменимых к микропроцессам в квантовой области. Тем самым принцип суперпозиции состояний лежит в основе физ. содержания К. м. и определяет её матем. аппарат. К необходимости указанного принципа и его формулировке можно прийти, рассматривая конкретные примеры волновых процессов и попытку их интерпретации в терминах корпускулярных представлений. Рассмотрим 2 таких примера.1. Отражение и преломление волн. Пусть волна y₀=A₀ехр(-iwt+ilk₀r)падает на границу двух сред, в результате чего возникает отражённая [y₁=A₁ехр(-iwt+ik₁r)] и преломлённая [y₂=A₂ехр(-iwt+ik₂r)] волны (рис. 2) (w - частота волны,k,-соответствующие волновые векторы,А-амплитуды). Используя граничные условия, волновая теория позволяет определить отношенияА₁/А₀иА₂/А₀и,следовательно, найти коэф. отраженияR=|А₁/А₀|²и преломленияD(R+D= 1) (см., напр.,Френеля формулы;для простоты используется лишь одна компонента волны).

Рассмотрим это явление с корпускулярной точки зрения. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, падающей волне отвечают частицы с импульсомp₀=hk₀,а отражённой и преломлённой волнам - частицы с импульсамиp₁=hk₁ир₂=hk₂. Поскольку частота волн при отражении и преломлении не меняется, частицы в каждойиз волн имеют одинаковую энергию: E₀=E₁=E₂=hw. В мысленном (и в принципе осуществимом) эксперименте, когда на границу двух сред падает одна частица, возникает вопрос, в какой из волн - отражённой или преломлённой - она окажется. Специфика корпускулярного описания (в отличие от волнового описания, позволяющего падающей волне разделиться на две) не допускает разделения одной падающей частицы на две, т. к. в противном случае при одинаковых энергиях частиц не выполнялся бы, напр., закон сохранения энергии. Поэтому приходится считать, что частица оказывается случайным образом либо в отражённой, либо в преломлённой волне. Т. о., корпускулярное описание процесса требует прежде всего отказа от полностью детерминированного описания движения отд. частицы и вследствие этого предположения о том, что законы движения могут предсказывать лишь вероятности, с к-рыми частица отразится от границы раздела двух сред или пройдёт через неё.Обозначим символом |Х> состояние частицы, возникающее в результате взаимодействия падающей частицы с границей двух сред, а символами |p₁> и |р₂> - состояния частицы, отвечающие отражённой и преломлённой волнам (с единичными амплитудами). Поскольку в состоянии |Х>существует вероятность обнаружить частицу как в отражённой, так и в преломлённой волне, описание процесса в терминах корпускулярных представлений может быть получено, если предположить, что состояние |Х>является суперпозицией состояний |p₁> и |p₂>:

Х> =с₁|p₁>+с₂|p₂>, (2)

причём квадраты коэф. |c₁|²и |с₂|²пропорциональны вероятностям обнаружить частицу в соответствующих состояниях. Соотношение (2) по виду полностью аналогично суперпозиции отражённой и преломлённой волн на границе двух сред. Однако по своему смыслу суперпозиция состояний (2) принципиально отличается от суперпозиции к.-л. полей или волн. В то время как суперпозиция двух колебаний (напр., в упругой волне) имеет наглядный смысл и соответствует реальному сложению двух возможных колебаний, суперпозиция состояний (2) содержит альтернативные состояния одной и той же частицы |p₁> и |p₂>, т. е. допускает возможность того, что частица одновременно находится в двух альтернативных (по отношению к выбранному способу регистрации) состояниях. Это является отказом от наглядных классич. представлений о частицах как матер. точках, движущихся по определ. траекториям. Необходимость такого отказа диктуется корпускулярно-волновым дуализмом, к-рый следует принять как надёжно установленное на опыте первичное свойство материи. При этом только вероятностная интерпретация суперпозиции двух альтернативных состояний (2) позволяет избежать логич. противоречия, т. к., согласно этой интерпретации, в каждом отд. эксперименте частица с определ. вероятностьюможет быть обнаружена лишь в одном из этих состояний. Возможность нахождения частицы одновременно в разных состояниях реализуется только при повторных измерениях в ансамбле тождественно "приготовленных" состояний частицы. Разумеется, если система состоит из большого числа независимых тождеств. частиц (как, напр., монохроматич. световая волна, состоящая из большого числа одинаковых фотонов), измерение сразу даёт распределение частицы по возможным состояниям в соответствии с вероятностями обнаружить её в этих состояниях. c₁, c₂в соотношении (2) использовать комплексные числа и считать, что физ. смысл имеет разность фаз этих комплексных чисел. Т. о., для полного описания волнового явления на корпускулярном языке необходимо приписать физ. смысл не только вероятностям |c₁|², |с₂|², но и самим коэф.с₁с₂- т. н. амплитудам вероятности - с точностью до общей фазы. При этом для измерения разности фаз амплитуд необходимы интерференц. опыты.2. Поляризационные явления (суперпозиция состояний, отличающихся значениями внутр. характеристики частиц). Поляризация представляет собой чисто волновое свойство, поскольку она определяется направлением колебаний в волне. Тем не менее частицам, соответствующим волне с определ. поляризацией, можно приписать дополнит. (внутр.) степень свободы, принимающую разл. значения для разных состояний поляризации. Для определённости рассмотрим фотоны, отвечающие световой волне. Опыт показывает, что угл. распределение электронов в фотоэффекте зависит от направления поляризации световой волны. А т. к. фотоэффект является чисто корпускулярным эффектом, то это означает, что фотон обладает дополнит.

Не рассматривая физ. смысла этой дополнит. степени свободы (связанной со спином фотона), можно убедиться, что она формально удовлетворяет всем требованиям, к-рые можно предъявить к наблюдаемой (физ.) величине (см.Наблюдаемая),а именно: а) у фотона существуют состояния, в к-рых указанная величина с достоверностью принимает вполне определ. (собственные) значения; б) результатом измерения этой величины в произвольном состоянии фотона всегда является одно из её собств. значений. Пусть устройство П (поляризатор) пропускает эл.-магн. волну с поляризацией, параллельной осиуили осих(рис. 3,а; 3,б; двойными стрелками обозначены направления поляризации). Обозначим состояния фотона, прошедшего поляризатор в положении 3,аи 3,б, соответственно символами |р,#> и |р, ">,гдер- импульс фотона, а направление стрелок отвечает поляризации волны вдоль осейуих.Оба эти состояния являются собств. состояниями рассматриваемой внутр. переменной фотона, поскольку устройство А (анализатор), пропускающее (без поглощения) волну с поляризацией вдоль осиу,с достоверностью пропустит каждый одиночный фотон, "приготовленный" поляризатором в состоянии |р, #> (рис. 3,а), и поглотит каждый фотон в состоянии |р, ">. Рассмотрим теперь фотон, "приготовленный" поляризатором, пропускающим световую волну с поляризацией под углом a к осиу;соответствующее состояние обозначим символом |р, &> (рис. 3,в). Пройдёт ли этот фотон анализатор А или будет в нём поглощён, с достоверностью предсказать нельзя. Т. о., в этом случае (как и в предыдущем примере) необходимо отказаться от полностью детерминированного описания движения каждого отд. фотона. Вместе с тем следует считать (имея в виду прохождение световой волны, содержащей большое число фотонов), что для отд. фотона существуют вполне определ. вероятности прохождения и поглощения в анализаторе. Адекватное этому матем. описание основывается на предположении, что состояние |р, &> является линейной суперпозицией состояний |р, #> и |р, ">:

|р, &> =с₁|р, #>+ с₂|р, ">, (3)

причём вероятности обнаружить фотон в состояниях |р, #> и |р, "> равны |c₁|²и |с₂|². (Согласно волновому описанию, |c₁|²= cos²a, |c₂|²= sin²a.) Для линейно поляризованной под углом a к осиусветовой волны разность фаз в волнах, поляризованных вдоль осиуи перпендикулярно к ней, равна нулю. Соответственно коэф.c₁,с₂в (2) можно рассматривать как действит. числа [точнее, Im(c₁/c₂) = 0]. В более общем случае эллиптически поляризованной световой волны состояние отвечающего ей фотона может быть описано суперпозицией (3) с комплексными коэф., разность фаз к-рых соответствует разности фаз колебаний вдоль осейхиу.Для измерения этой разности фаз необходимо, помимо анализатора, использовать спец. устройства (напр., пластинку в четверть длины волны). Т. о., как и в предыдущем примере, физ. смысл имеют амплитуды вероятностиc₁,с₂(а не только вероятности |с₁|², |с₂|²), причём в общем случае они должны быть комплексными числами, разность фаз к-рых равна разности фаз соответствующих волн. f₁>, |f₂>, . . ., |f_n>, в к-рых физ. величинаfпринимает с достоверностью соответственно значенияf₁,f₂, . . .,f_n, то система может находиться и в состоянии |X>, являющемся линейной суперпозицией состояний |f_i>:

при этом вероятность обнаружить систему в состоянии |f_i> (т. е. получить в результате измерения физ. величины её значениеf_i) равна |с_i|².Принцип суперпозиции состояний тривиально обобщается на бесконечное (счётное или континуальное) множество состояний.
Вероятностное описание в К. м.Отказ от полностью детерминированного описания движения отд. частицы и переход к вероятностному описанию, адекватному принципу суперпозиции состояний, позволяет совместить волновые и корпускулярные свойства материи. Вероятностное описание, т. о., отвечает фундам. свойствам движения микрообъектов и не связано с к.-л. неполнотой сведений о них. Подчеркнём, однако, что в его основе лежит чуждое классич. теории вероятностей понятие амплитуды вероятности, т. е. комплексного числа,Математический аппарат К. м.Векторы состояния и линейные эрмитовы операторы.Принцип суперпозиции состояний диктует выбор матем. аппарата К. м. Первым осн. понятием К. м. является квантовое состояние. Согласно принципу суперпозиции состояний, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэф., является также возможным состоянием системы. Т. о., состояния системы образуют линейное векторное пространство. Тем самым принцип суперпозиции состояний вскрывает матем. природу квантового состояния. Он указывает на то, что состояние системы должно описываться нек-рым вектором-вектором состояния,являющимся элементом линейного пространства состояний. Это позволяет использовать матем. аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается, по Дираку, символом |y>. Если система находится в состоянии, в к-ром физ. величинаfимеет определ. (собств.) значениеf_i, вектор состояния системы удобно обозначать символом |f_i>. Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор |y> может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение |y> с любым др. вектором состояния |y'>; оно обозначается каки является комплексным числом, причём

=*. (5)

Скалярное произведение вектора |y> с самим собой,,- положит. число; оно определяет длину, или норму, вектора. Норму вектора состояния удобно выбрать равной единице; его фазовый множитель произволен. Разл. состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пространстве состояний. к др. вектору |y'>. Символически эту операцию можно записать как результат действия на |y> нек-рого оператора

При этом |y'> может отличаться от |y> длиной и направлением. В силу принципа суперпозиции состояний в К. м. особое значение имеют линейные операторы, в результате воздействия к-рых на суперпозицию произвольных векторов |y₁> и |y₂> получается, по определению, суперпозиция преобразованных векторов:

Важную роль для оператора играют такие векторы |y> = |y_l>, для к-рых |y'> совпадает по направлению с |y>, т. е.

где l- число. Векторы |y_l> наз. собственными векторами оператора а числа l - его собственными значениями. Собств. векторы |y_l> принято обозначать просто |l>, т. l>=|l>.Собств. значения l образуют либо дискретный ряд чисел (тогда говорят, что оператор имеет дискретный спектр), либо непрерывный набор (непрерывный, или сплошной, спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный (смешанный спектр).Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейныеэрмитовы операторы,собств. значенияк-рых вещественны. Собств. векторы эрмитового оператора, принадлежащие разл. собств. значениям, ортогональны друг к другу, т. е.=0. Из них можно построить ортогональный базис в пространстве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на единицу:= 1. Произвольный вектор |y> можно разложить по этому базису:

При этом

и если вектор |y> нормирован на единицу, то

Знак суммы в этих ф-лах означает суммирование по дискретному и интегрирование по непрерывному спектру значений l. В последнем случае собств. векторы предполагаются нормированными на d-функцию:

= d(l -l'). (11)

Любой линейный оператор в выбранном базисе |l> может быть представлен матрицей:

Если - эрмитов оператор, то (Для |l_j>, являющихся собств. векторами оператора , матрица диагональна.) Если сопоставлятьс произвольным вектором |y> столбец из его коэффициентов в выбранном базисе (9), то действие оператора на |y>, сводится к матричному умножению:

где столбец отвечает координатам вектора |y'>в том же базисе:

Принципиальное значение для построения матем. аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физ. величины существуют нек-рые выделенные состояния системы, в к-рых эта величина принимает вполне определ. (единств.) значение. По существу это свойство является определением измеримой (физ.) величины, а состояния, в к-рых физ. величина имеет определ. значение, наз. собственными состояниями этой величины. f в любом произвольном состоянии системы |y> должно получаться одно из собств. значений измеряемой величиныf_i, то |y> должно быть представимо в виде линейной комбинации собств. состояний этой физ. величины:

Т. о., совокупность собств. состояний физ. величины должна составлять (аналогично совокупности собств. векторов линейного эрмитова оператора) полный базис. с_iпредставляют собой координаты вектора состояния |y> в выбранном базисе (для простоты ограничимся системой с одной степенью свободы). Заданиес_iполностью определяет вектор состояния системы. Совокупность коэф.с_iназ. волновой функцией состояния в представлении величиныf. Согласно вероятностной трактовке принципа суперпозиции состояний, сумма должна бытьравна единице, т. е. вектор состояния должен иметь конечную (приводимую к единице) норму. Между собств. состояниями физ. величины и собств. векторами линейного эрмитова оператора можно заметить аналогию: во-первых, каждое из них отвечает определ. числу (собств. значению физ. величины или собств. значению оператора), и, во-вторых, произвольный вектор линейного пространства должен быть представим в виде линейных комбинаций собств. векторов [ср. (14) и (9)]. Эта аналогия указывает на то, что физ. величине следует поставить в соответствие линейный эрмитов оператор, действующий в пространстве векторов состояния. На основании приведённых физ. соображений формулируются след. постулаты К. м.
Основные постулаты К. м. I.Состояние системы полностью описывается вектором состояния, к-рый должен быть однозначным (с точностью до произвольной фазы) и иметь конечную норму. матрицы плотности. Состояния, описываемые вектором состояния, наз. чистыми состояниями, в отличие от смешанных состояний, описываемых матрицей плотности. Описание с помощью матрицы плотности является наиб. общей формой квантовомеханич. описания. Оно лежит в основе квантовой статистики.II. Каждой физ. величине соответствует линейный эрмитов оператор, собств. значения к-рого являются возможными значениями физ. величины, а собств. векторы - её собств. состояниями, отвечающими выбранному собств. значению. соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе h " 0 рассматриваемые физ. величины принимали "классич." значения, и согласуется с общими принципами определения этих величин на основе законов сохранения (см. ниже). Вместе с тем в К. м. существуют такие линейные эрмитовы операторы [напр., отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат (пространственной инверсии),перестановке одинаковых частиц и др.], к-рым соответствуют измеримые физ. величины, не имеющие классич. аналогов, напр.,чётность(см.Операторы).III.В разложении (14) произвольного вектора состояния системы по ортонормированной системе собств. векторов |f_i> физ. величиныfзначения |с|²=|<f_i|y>|²равны вероятностям обнаружить систему в состояниях |f_i>, т. е. вероятностям того, что при измеренииfеё значение окажется равнымf_i.В случае, когда величинаfимеет непрерывный спектр, а собств. состояния нормированы условием:

<f|f'> = d (f-f'), (15)

выражение |c_f|²=|<f|y>|²представляет собой плотность вероятности, т. е. dw_{f, f+df}обнаружить величинуfв интервале (f,f+df) равна:dw_{f, f+df}= |c_f|²df. (16) Условие (15) формально противоречит постулатуI, т. к. вектор состояния |f>, принадлежащий непрерывному спектру, имеет бесконечную норму. Это связано с тем, что "монохроматич." состояние |f>, выделенное из непрерывного спектра, является матем. идеализацией. Подобной идеализацией является, напр., монохроматич. плоская эл.-магн. волна, к-рая должна была бы заполнять всё пространство и иметь поэтому бесконечную энергию. В действительности, любая физ. величина, принимающая непрерывные значения, может быть определена лишь с нек-рой точностью - в нек-ром интервале Df, зависящем от точности прибора. Вектор состояния, отвечающий такому определению, представляет собойволновой пакет,составленный из монохроматич. состоянийfв интервале Dfи имеющий конечную норму. Т. о., для физ. векторов состояния противоречия с постулатомIнет. Учитывая, однако, матем. преимущества использования монохроматич. состояний для описания непрерывного спектра, производится форм. расширение допустимого постулатомIкласса векторов состояний путём включения в него нек-рых собств. векторов с бесконечной нормой (при условии, что из них может быть составлен волновой пакет с конечной нормой).Постулат, определяющий зависимость вектора состояния от времени, будет сформулирован ниже [см. (29)].
Представления вектора состояния.Состояние системы определяется заданием нек-рой совокупности физ. величин, характеризующих систему,- т. н. полного набора. Число физ. величин, составляющих полный набор, равно числу степеней свободы системы (включая возможные внутр. степени свободы). Естественно, что физ. величины, входящие в полный набор, должны быть одновременно измеримыми, способными принимать одновременно определ. значения. Это свидетельствует о том, что соответствующие данным величинам операторы должны иметь общие собств. векторы. Необходимым и достаточным условием этого является коммутативность (переставимость) соответствующих операторов. Т. о., для физ. величинF, G, . . ., H, составляющих полный набор, должны выполняться условия коммутации:

Общий собств. вектор этих величин удобно обозначать индексами их собств. значений: |F_i, G_k, . . .,H_l>. Любой вектор состояния системы |y> может быть представлен в виде:

где x - совокупность собств. значений величин, входящих в выбранный полный набор, а совокупность координата(x) вектора состоянии - волновая ф-ция системы в представлении, использующем в качестве базиса собств. векторы этого полного набора. Задание волновой ф-ции в к.-л. представлении полностью определяет вектор состояния системы и, в частности, её волновую ф-цию в любом др. представлении. Если h-совокупность собств. значений величин, составляющих др. полный набор (отличный от x), то волновая ф-цияb(h)в этом представлении

выражается через волновую ф-циюа(x), и, наоборот,a(x) может быть выражена черезb(h):

Как отмечалось, для непрерывного спектра собств. значений символы суммы в этих ф-лах означают интегрирование.) Если в качестве измеряемых величин взять координаты частиц, то волновая ф-ция системы будет задана в т. н.конфигурационном представлении.В частности, для одной частицы волновая ф-ция y(r) представляет собой коэф. разложения вектора состояния |y> по собств. векторам |r> операторов координаты r , y(r) =. В этом случае |y(r)|²определяет вероятностьdwобнаружить частицу в бесконечно малом объёмеdVвокруг точки r:dw=|y(r)|²dV.В ряде задач оказывается полезнымимпульсное представление,в к-ром в качестве полного набора используются операторы проекций импульса частицы
Эволюция системы во времениПолнота описания системы, согласно постулатуI, подразумевает, что задание вектора состояния в к.-л. момент времени t₀, |y(t₀)>, позволяет найти вектор состояния |y(t)> в любой последующий момент времениt.Т. о., имеется соответствие |y(t₀)> " |y(t)>, т. е. должен существовать оператор (оператор эволюции) такой, что

Сохранение нормы вектора состояния (сохранение полной вероятности) требует, чтобы был унитарным оператором: (где эрмитово сопряжён ). Рассматривая эволюцию за бесконечно малое времяdt,можно представить оператор[с точностью доdt²] ввиде

(использовано, что Условие унитарности приводит в этом случае к условию , к-рое будет выполняться, если , где - нек-рый эрмитов оператор. Полагая и используя разложение , можно получить ур-ние:

к-рому в соответствии с постулатомIдолжен подчиняться вектор состояния системы. Для того чтобы установить, какой физ. величине соответствует , необходим дополнительный физический принцип - принцип соответствия.
Принцип соответствия и временное уравнение ШрёдингераЕстественно потребовать, чтобы в пределе, когда де-бройлевская длина волны частицы значительно меньше размеров, характерных для данной задачи (в частности, для макроскопических тел), законы К. м. переходили бы в законы движения классической механики, отвечающие движению частиц (тел) по классическим траекториям, а действия квантовомеханических операторов на векторы состояния сводились бы к умножению их на соответствующие классические величины. Эти требования составляют содержание принципа соответствия в К. м. Аналогичный предельный переход при дл. волны l " 0 от законов волновой оптики к законам геом. оптики хорошо известен. С др. стороны, существует тесная аналогия между классич. механикой и геом. оптикой. Лучи света в геом. оптике можно сопоставить с траекториями частиц; при этом закон распространения лучей между двумя точками определяетсяФерма принципом,аналогичнымнаименьшего действия принципудля движения частиц. Предельному переходу от волновой оптики к геометрическойотвечает определённое поведение волновых полей, к-рые могут быть представлены в виде

u=aexp(ij). (24)

При длине волны l " 0 фаза j(r, t)(наз.эйконалом)очень быстро меняется с расстоянием, и её изменение на характерных размерах L>>l велико. Волновой вектор и частота волны определяются производными эйконала:

k = nj, w=-дj/дt.(25)

Согласно принципу Ферма, лучи света между двумя точками распространяются по траекториям, соответствующим миним. изменению эйконала.

Исходя из отмеченных аналогий (рис. 4), можно ожидать, что волновая ф-ция частицы в конфигурац. представлении в предельном случае l " 0 должна иметь вид

гдеS -действие, а h выступает как обезразмеривающий множитель в экспоненте. В классич. пределе S/h>>1, и траектория частицы между двумя точками определяется минимумомS.Обобщённый импульсPи ф-ция ГамильтонаHчастицы при этом равны:

P=nS, H = -дS/дt. (27)

Ф-лы (25)-(27) при j=S/hсоответствуют гипотезе де Бройля. Используя (27) и дифференцируя ф-цию (26) по времени, получаем выражение:

ih(дy/дt)= Hy.(28)

Сравнивая (28) с общей зависимостью вектора состояния от времени (23), можно на основании принципа соответствия заключить, что оператор отвечает ф-ции Гамильтона, делённой на h.Обобщая полученный результат на произвольные системы, принимают в виде специального постулата:IV-эволюция вектора состояния описывается временным уравнением Шрёдингера,

где -гамильтониансистемы.

-ihny=Py.(30)

Обобщая этот результат (с учётом принципа соответствия), принимают в качестве постулата выражение для оператора обобщённого импульса в конфигурац. пространстве:

Ввиду непрерывного (континуального) характера конфигурац. пространства матрица оператора импульса представляет собойобобщённую функцию.Для одномерного случая, напр., она выражается через производную d-функции:

P_x,x' = -ih(d/dx)d(x-x'). (32)

Действие оператора координаты частицы в конфигурац. пространстве сводится к умножению волновой ф-ции на координату. гамильтониан получается заменой обобщённых импульсов ф-ции Гамильтона соответствующими операторами. Так, для частицы с массойтв потенц. поле гамильтониан имеет вид:

гдеV (х, у, z) -потенц. энергия частицы в этом поле, а для частицы с зарядомевэл.-магн. поле, описываемом скалярным j и векторнымАпотенциалами:

(Существенно, что оператор -ihnотвечает именно обобщённому импульсуPчастицы в эл.-магн. поле, к-рый в классич. механике имеет вид:P=mv+(e/c)A. )С помощью постулатов I-IV может быть полностью построена матем. схема К. м. [Для описания систем из одинаковых частиц необходим дополнит. постулат (см. ниже)]. Спец. исследования показали, что система постулатов К. м. полна и непротиворечива. Чёткие правила устанавливают соотношение между элементами матем. схемы и физ. величинами.
Среднее значение физической величины. ДисперсияСогласно постулатуIII, вероятность получить в результате измерения физ. величиныfеё собств. значениеf_iравна |с_i|², гдес_iявляются коэф. разложения вектора состояния системы |y> по собств. состояниям измеряемой величины. Поэтому ср. значение физ. величиныfв данном состоянии системы равно:

Используя условие и разложение (14), имеем:

Если вектор состояния задан в базисе |g_i>, отличном от собств. векторов измеряемой величины, т. е. |y>= , то матрица оператора недиагональна и (36)принимает вид

соответствующий матричному произведению в (36):

В случае, когда система находится в собств. состоянии измеряемой величины, ср. значение совпадает с её собств. значением в этом состоянии. В общем случаe существует разброс возможных значений измеряемой величины от ср. значения, характеризуемый дисперсией (ср. квадратичным отклонением):

Соотношение неопределённостейЕсли операторы двух физ. величинf, g не коммутируют, эти величины не могут быть точно измереныодновременно. В любом состоянии системы между дисперсиями этих величин существует соотношение неопределённостей (СН):

где - коммутатор операторов . Поскольку коммутатор физ. величин в классич. пределе должен обращаться в нуль, величина его пропорциональна h. Поэтому правая часть соотношения (39) пропорциональна h².В частности, для оператора компоненты импульса и соответствующей координаты

и СН для этих величин имеет вид:

Оно означает, что для состояния, в к-ром частица локализована в области пространства Dx(рис. 5,а),

возможный разброс значении её импульса (около его ср. значения) заключён в области Dp_x(рис. 5,б),определяемой соотношением

Dp_x.Dx~h. (42)

Т. о., монохроматич. волна с определ. импульсом (Dp_x" 0) должна заполнять всё пространство (Dx" :). Соотношение (39) может быть уточнено путём использования новой характеристики - корреляции величинf,g.Если определить коэф. корреляции r:

то для состояний, в к-рыхr№0(39), принимает вид:

Состояния системы, минимизирующие СН (т. е. отвечающие знаку равенства), наз.когерентными состояниями.СН играет большую эвристич. роль, т. к. мн. результаты задач, рассматриваемых в К. м., могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классич. механики с СН. Важный пример - проблема устойчивости атома. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиусаrсо скоростьюv.По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру равнаe²/r²,гдее -заряд электрона, а центростремит. ускорение равноv²/r.По второму закону Ньютона,тv²/r=е²/r²(т -масса электрона), т. е. радиус орбитыr=e²/mv²может быть сколь угодно малым, еслиvдостаточно велика. Но в К. м. должно выполняться СН. Если допустить неопределённость положения электрона в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости - в пределахv,т. е. неопределённость импульса в пределах Dp=mv, то (41) можно представить в виде:mvr/h.Отсюда можно получитьv[e²/nиr/h²/те².Следовательно, движение электрона по орбитес r[а_Б=h²/те²~0,5.10^-8см невозможно, т. е. электрон не может упасть на ядро - атом устойчив. Величинаa_Би является радиусом атома водорода (боровским радиусом). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома E₀=-е²/2a_Б~-13,6эВ, определяющая его минимальную энергию - энергию основного состояния. т, е. Указанные соображения позволяют понять устойчивость др. систем и оценить их характерные энергии. Действительно, из СН следует, что для частицы с массойт,совершающей движение в области с линейными размерами ~r₀, ср. кинетич. энергия будет Применяя эту оценку к нуклонам в ядре [m~l,6.10^-24г, r₀~(10^-13-10^-12)см], получаем характерные энергии порядка (1-10) МэВ. В то же время для вращат. уровней молекулы водорода (r₀~10^-8см) она даёт оценку 10^-2эВ. дополнительности принципа Бора.Производная физической величины по времениСр. значение физ. величины является, вообще говоря, ф-цией времени. Это определяется зависимостью от времени вектора состояния |y>, рассматриваемого в (36) вШрёдингера представлении.(Помимо этого возможна явная зависимость оператора от времени.) Производная ср. значения по времени является ср. значением нек-рого оператора, к-рый, по определению, наз. производной физ. величины по времени:
где

С др. стороны, если использовать ф-лу (21), то зависимость в (36) от времени может быть перенесена с векторов состояния на операторы :


Это соответствуетГейзенберга представлению.Используя ур-ние , к-рому подчиняется оператор эволюции, можно получить для производной выражение, по форме аналогичное (44), но имеющее др. смысл, т. к. оно относится непосредственно к производной физ. величины, представленной её гейзенберговым оператором:

Можно использовать такжевзаимодействия представление,являющееся в нек-ром смысле промежуточным между представлениями Шрёдингера и Гейзенберга. Эренфеста теоремой. В соответствии с ним центр волнового пакета в предельном случае малых длин волн будет двигаться по классич. траектории.
Перестановочные соотношения и классические скобки ПуассонаВыражения (44) и (46) можно сопоставить с полной производной по времени ф-цииf(t, . ..,q_i, . . .,р_i), зависящей явно от времени и от обобщённых классич. координат и импульсов системы, подчиняющихсяГамильтона уравнениям:

где {Н, f}_кл- классич. скобка Пуассона:

Сравнение (44) с (47) указывает на то, что коммутатору можно сопоставить классич. скобку Пуассона, умноженную на-ih:

Обобщая (49) на произвольные величиныf, g, можно рассматривать это соотношение как особую формулировку принципа соответствия: коммутатор операторов двух физ. величин в предельном случае, когда действие для системы S>>h, переходит с коэф.-ihв величину, равную классич. скобке Пуассона для этих величин,

Если физ. величине С, определяемой равенством С={f, g}_кл, отвечает оператор то обобщением (50) является соотношение

Соотношения коммутации (51) дают все известные перестановочные соотношения для механич. величин (координат, компонент импульса и момента). В представлении Гейзенберга они вместе с ур-нием (46) полностью описывают поведение физ. системы.
Симметрия гамильтониана и сохраняющиеся величиныЕсли оператор физ. величины не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом, то, согласно (44), её ср. значение не меняется со временем, а отвечающий ей гейзенбергов оператор не зависит от времени. В частности, если в нач. момент времени такая физ. величина принимала к.-л. своё собств. значение, то с течением времени система не выйдет из соответствующего собств. состояния. Существование таких сохраняющихся величин тесно связано с симметрией гамильтониана. Пусть гамильтониан системы не меняется при нек-ром преобразовании системы, к-рое осуществляется с помощью оператора , действующего на векторы состояния. Тогда из равенства , где - гамильтониан, действующий на преобразованные векторы состояния системы, следует: . Вследствие сохранения нормы вектора состояния при преобразованиях симметрии оператор должен быть унитарен. Для преобразований симметрии, характеризуемых непрерывным изменением к.-л. параметра l(такими являются, напр., сдвиги или повороты системы), унитарный оператор при бесконечно малом изменении параметра dlимеет вид:

где - эрмитов оператор, и предполагается, что l=0 отвечает тождеств. преобразованию. Условие сводится к коммутации с гамильтонианом оператора , , и, следовательно, к сохранению физ. величины, к-рой он может соответствовать. Для операции сдвига системы на бесконечно малый вектор dаволноваяф-ция системы частиц в конфигурац. пространстве преобразуется по закону

(r_i- координатыi-й частицы). Т. о., оператор бесконечно малого сдвига имеет вид:
где
- оператор полного импульса системы частиц. Если рассматриваемая система замкнута, а потенциалы взаимодействия между частицами зависят лишь от расстояния между ними, то её гамильтониан не меняется при сдвиге, и, следовательно, компоненты импульса, коммутируя с гамильтонианом, согласно (52), (53), сохраняются. Это находится в полном соответствии с законом сохранения импульса в классич. механике. При операции пространств. поворота на бесконечно малый угол dj вокруг оси, направление к-рой задаётся единичным вектором n, координаты частиц системы преобразуются по закону:r_i"r_i+ dr_i, dr_i=[djr_i], dj=ndj, и оператор поворота имеет вид:

где - оператор полного орбит. момента системы:

Для замкнутой системы частиц, взаимодействующих по центр. закону, гамильтониан не меняется при поворотах, и поэтому компоненты момента, коммутируя с гамильтонианом, должны сохраняться. То же относится к компонентам момента отд. частицы, находящейся в центр. поле. квазиимпульса (значения к-рого, в отличие от обычного импульса, определены лишь с точностью до векторовобратной решётки).Аналогичным образом для гамильтониана, периодически зависящего от времени, может быть определена величинаквазиэнергии.Наличие у гамильтониана дискретных симметрии приводит в К. м. к сохранению ряда мультипликативных физ. величин, к-рые (в отличие от аддитивных импульса и момента) не имеют аналогов в классич. механике. Так, если гамильтониан системы инвариантен относительно отражения пространств. координат частиц:r_i"-r_i,то он коммутирует с оператором пространств. инверсии , определяемым соотношением:

Поскольку операция является тождеств. преобразованием, собств. значения равны 1, т. е. собств. значения оператора должны быть равнымиР=6 1 (верхний знак отвечает чётным, нижний - нечётнымволновым ф-циям относительно изменения знака координат частиц). В случае коммутации с гамильтонианом система, находившаяся первоначально в состоянии с к.-л. определ. собств. значениемР,будет с течением времени оставаться в этом состоянии, т. е. пространств. чётность в процессе эволюции системы сохраняется. Т. к. пространств. чётность системы, состоящей из неск. невзаимодействующих подсистем, равна произведению пространств.-чётностей подсистем, она является мультипликативнымквантовым числом.Др. пример мультипликативного квантового числа -зарядовая четность.Поскольку гамильтониан сильного и эл.-магн. взаимодействий не меняется призарядовом сопряжении(замене всех частиц наантичастицы),он коммутирует с оператором зарядового сопряжения , собств. значения к-рого, как и для пространств. инверсии, равныC=b1.Собств. состояния оператора могут быть только у истинно нейтральных систем (см.Истинно нейтральные частицы),т. к. только такие системы при зарядовом сопряжении переходят сами в себя. Именно для них в процессах сильного и эл.-магн. взаимодействий сохраняется зарядовая чётность. В процессах слабого взаимодействия, гамильтониан к-рого не меняется приСР-преобразовании (см.СР-инвариантность),сохраняетсяСР-чётность. инвариантность гамильтониана системы относительно перестановки одинаковых частиц. Коммутативность гамильтониана с операторами перестановки любой пары одинаковых частиц означает, что в процессе эволюции системы тип симметрии её волновой ф-ции относительно перестановок одинаковых частиц не меняется со временем. В частности, волновые ф-ции, симметричные (антисимметричные) относительно перестановки любой пары одинаковых частиц, остаются симметричными (антисимметричными). Это позволяет ввести особые постулаты К. м., необходимые для описания систем одинаковых частиц (см. ниже).
Обратимость уравнения Шрёдингера во времениУр-ние Шрёдингера для системы бесспиновых частиц, взаимодействующих по центр. закону или (и) находящихся в электрич. поле (в отсутствие магнитного), сохраняет свой вид при заменеtна -tи одноврем. переходе к комплексному сопряжению (т. к. для таких систем ). На этом основана симметрия К. м. по отношению кобращению времени:если возможно к.-л. квантовомеханич. движение, описываемое вектором состояния |y>, то возможно и движение, описываемое вектором состояния |y*>, при к-ром система проходит во времени те же состояния в обратном порядке. Для частиц со спином симметрия относительно обращения времени будет выполняться, если одновременно с переходом от |y> к |y*> изменить направление проекции спинов частиц (т. к. она меняет знак при заменеt" -t).При наличии магн. поля симметрия относительно обращения времени будет выполняться, если одновременно с заменойt"-tрассматривать движение в магн. поле, знак к-рого изменён на противоположный. Это естественно, т. к. ур-ния эл.-магн. поля (Максвелла уравнения)симметричны относительно обращения времени при одноврем. замене напряжённости магн. поляH" -Н(или эквивалентной замене скалярного и векторного потенциалов: j " j,А" -А).Формально обратимость ур-ния Шрёдингера в этом случае имеет место благодаря тому, что комплексно-сопряжённый гамильтониан для частиц в эл.-магн. поле совпадает с гамильтонианом, преобразованным в соответствии с заменой j " j,А" -А. Симметрия относительно обращения времени приводит к ряду важных следствий, таких, какКрамерса теорема,равенство коэф. туннельных переходов при прохождениипотенциального барьерасразных сторон, теорема взаимности (согласно к-рой совпадают амплитудыдвух процессов рассеяния, являющихся обращёнными по времени по отношению друг к другу). Существенно, что в К. м. эта симметрия относится лишь к эволюции вектора состояния и не включает процесс измерения, к-рый носит необратимый характер.
Плотность потока вероятностиИз ур-ния Шрёдингера в конфигурац. представлении с гамильтонианом (33) вытекает уравнение непрерывности:

дr/дt+ divj= 0, (57)

где r - плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатами (х, у, z)в момент времениt,а вектор

по своему смыслу представляет собой плотность потока вероятности. Т. о., вероятность частице пройти за ед. времени через площадку dsравна:ddw/dt=(jn)ds(n- единичная нормаль к ds).Соотношение (57) аналогично ур-нию непрерывности в гидродинамике и является непосредств. следствием сохранения полной вероятности (и отвечающего этому требованию условия эрмитовости гамильтониана). Если волновая ф-ция представлена в виде y=А ехр(iФ) (где амплитудаА (х, у, z, t)и фаза Ф(х, у, z, t) -действит. числа), то

j= rh/mnФ, r = |y|². (59)

В частности, для плоской волны (Ф = -wt+kr) ур-ние (59) по аналогии с гидродинамикой даёт:j=rv, гдеv=p/m=hk/m.(В связи с этим отметим, что оператор (-i/m)nв (58) представляет собой оператор скорости ) Из (59) следует, что отличный от нуля поток вероятности существует только в том случае, если волновая ф-ция имеет зависящую от координат фазу (если y - действительная, тоj=0). Несколько др. ситуация будет для заряж. частицы в эл.-магн. поле, волновая ф-ция к-рой оказывается неоднозначной из-за неоднозначности потенциалов поля, определённых с точностью до градиентного преобразования:

гдеf(x, у, z, t) -произвольная ф-ция координат и времени. Поскольку преобразования (60) не меняют значений напряжённостей полей, они не должны влиять и на любые др. величины, имеющие физ. смысл. Действительно, ур-ние Шрёдингера с гамильтонианом (34) не меняется при преобразовании (60), если одновременно проводится преобразование волновой ф-ции:

y " y exp {(ie/hc)f}. (61)

При этом плотность потока вероятности равна

и также остаётся неизменной при одноврем. проведении преобразований (60) и (61).Зависимость фазы волновой ф-ции от потенциалов поля может приводить к наблюдаемым интерференц. эффектам даже в отсутствие прямого силового воздействия на заряж. частицу (см.Ааронова - Бома эффект).
Стационарные состоянияВ классич. механике ф-ция Гамильтона, не зависящая явно от времени, равна сохраняющейся со временем энергии системы. Соответственно в К. м. физ. система, гамильтониан к-рой не зависит от времени, может находиться в состояниях с определ. энергией. Эти состояния наз. стационарными. Отвечающие им векторы состояния являются частными решениями

временного уравнения Шрёдингера (29) и имеют вид:

где |y>не зависит от времени и представляет собой собств. вектор оператора Гамильтона:

принадлежащий собств. значению энергии E.Ур-ние (64) является одним из осн. ур-ний К. м. и наз. стационарным уравнением Шрёдингера. В стационарном состоянии постоянны и не меняются со временем ср. значение (любой) физ. величиныf(независящей явно от времени) и вероятностиw_fi,обнаружить при измерении то или иное значениеf_iэтой величины,

В частности, не меняется cо временем вероятность обнаружить частицу в окрестности к.-л. точки (поскольку для волновой ф-ции Y (r, t) = ехр{( -iE/h)t}y(r)стационарного состояния |Y(r,t)|²=|y(r)|²). Т. о., стационарное состояние аналогично стоячей волне, в к-рой зависимость от времени факторизована и амплитуда колебаний в каждой точке не зависит от времени.
Соотношение неопределённостей для энергии и времени.Для энергии и времени СН

отличается по смыслу от аналогичного соотношения (42), поскольку времяtне является динамич. переменной и должно рассматриваться как параметр. Для нестационарных состояний с характерным разбросом энергии DE под величиной Dt в (65) следует понимать промежуток времени, в течение к-рого существенно (на величину соответствующей дисперсии) изменяются ср. значения физ. величин, характеризующих систему. Так, для волнового пакета шириной Dx~1/Dkвеличина Dt соответствует времени его прохождения через заданную точку Dt ~ Dx/v_гр~1/Dw (гдеv_rp=дw/дk- групповая скорость пакета, а Dw - характерный разброс частот). Для квазистационарного состояния (см. ниже) в качестве Dt выступает его время жизни t, и из соотношения (65) получается выражение для его ширины: Г~h/t.Др. аспект соотношения (65) заключается в том, что возмущение, действующее на систему в течение времени Dt, вызывает в ней (независимо от своей величины) переходы между уровнями энергии в интервале DE, определяемом (65) [отсюда получается, напр., критерий адиабатичности (см.Адиабатические возмущения)].Этот аспект тесно связан с первым. Действительно, если рассматривать данную и возмущающую её системы как подсистемы единой замкнутой системы, то можно заключить, что последняя должна быть нестационарной и обладать характерным временем Dt изменения своих параметров (поскольку именно на это время включается взаимодействие между подсистемами). Отсюда следует, что объединённая система обладает разбросом по энергии DE/Dt. Если рассматриваемая подсистема первоначально находилась в стационарном состоянии, то таким разбросом энергии обладала бы возмущающая подсистема. Данная же подсистема приобретает его в результате обмена энергией при взаимодействии с возмущающей подсистемой. Условно можно сказать, что физ. система на короткие времена Dt ~h/DE может переходить в виртуальные состояния с нарушением закона сохранения энергии на величину DE. Из (65) следует, что взаимодействие, приносимоевиртуальными частицамис массой М, должно иметь радиусh/Mc.
Стационарное уравнение Шрёдингера.В общем случае каждая квантовомеханич. система характеризуется своим энергетич. спектром, определяемым из ур-ния (64). В зависимости от вида потенц. энергии (т. е. от характера взаимодействия в системе), энергетич. спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной частицы), либо смешанным (напр., уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергий ионизации, дискретны, а при больших энергиях - непрерывны).Характер квантовомеханич. движения, описываемого ур-нием (64), можно понять, рассматривая одномерное движение частицы (вдоль осих)в случае, когда потенц. энергияVзависит только отх.Ур-ние Шрёдингера в конфигурац. пространстве

сводится к ур-нию

где выражение р²(х) = 2m [E- V (х)]совпадает с квадратом классич. импульса частицы (с энергией E) в точкех.В классич. механике должно всегда выполняться условие E/V(x), причём точких₀,в к-рыхV(x₀)=E,являются точками остановки и ограничивают область возможного классич. движения. В отличие от классич. механики, ур-ние (66) имеет смысл и в областиV(х)>E, где классич. импульс формально становится мнимым. Эту область движения наз. "неклассической". Для действит. решения ур-ния (67) y "(x) обращается в нуль в точках остановки и в точках, где обращается в нуль сама y(x). Эти точки являются точками перегиба ф-ции y(x).Отсюда вытекает, что в неклассич. области y(x) либо вовсе не обращается в нуль (будучи направленной выпуклостью вниз при y>0 или выпуклостью вверх при y<0), либо имеет всего один нуль, где происходит перегиб и поэтому сохраняется монотонное изменение y(x). В классич. же области движения возможны осцилляции ф-ции y(x). Т. о., поведение y(x) в классич. и неклассич. областях качественно различно. V (х), изображённой на рис. 6.

Для большой общности будем полагать наличие уV (х)как потенц. барьера, так ипотенциальной ямы,а также считать, что предельные значенияVприх"b: отличаются друг от друга (для определённостиV₂>V₁).Характер движения в таком поле качественно определяется положением энергии Eпо отношению к предельным значениям потенц. энергии V₁и V₂на бесконечности. Он существенно различен в трёх областях: E>V₂/V₁(I);V₂> E>V₁(II);V_min<E₁[V₂(III) (V_min-мин. значение потенц. энергии). В области (I) прих"- : существуют два приближённых линейно независимыхрешения ур-ния (67):e^bik,x, k₁²=2m(E-V₁)/h²>0,к-рые можно рассматривать как асимптотику нек-рыхдвух точных линейно независимых решении y₁(x)иy₂(x).Обшее решение y(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x)прих" - : имеет асимптотич. вид

и полностью определяется заданием коэф.с₁, с₂. С др. стороны, прих" +: существуют приближенные решения ур-ния (67) к-рые являются асимптотиками двух др. точных линейно независимых решений y₃(x)и y₄(x).Точное решение y(x)= c₃y₃(x)+c₄y₄(x)прих" +: имеет асимптотич. вид

Поскольку y₃(x), y₄(x)должны линейно выражаться через y₁(x), y₂(x)(и наоборот), коэф.с₃,c₄являются линейными ф-циямис₁,с₂:

Матричные элементы a_ik(E)являются нек-рыми функционалами потенц. энергии и зависят от энергии. Из осциллирующих прих" b: решений (68), (69) можно составить волновые пакеты, имеющие конечную норму. Поэтому никаких ограничений на значения энергии в области (I) не возникает, спектр энергий непрерывный, а движение инфинитно (неограниченно) в обе стороны. Каждое значение энергии при этом двукратно вырождено в соответствии с существованием в области (I) двух физически разл. движении. Первое из них отвечает движению частицы слева направо и выделяется граничным условиемс₄=0 (т. е. требованием, чтобы прих"+: существовала только прошедшая слева волна), второе (выделяемое условиемc₁=0) - движению справа налево. Отношение плотностей вероятности прошедшего и падающего потоков наз. коэф. прохождения (D),а отношение отражённого к падающему - коэф. отражения (R).Для первого из упомянутых движений

Из сохранения плотности потока следует, чтоR+D=1.Используя обратимость ур-ния Шрёдингера во времени [к-рая для стационарного случая сводится к тому, что наряду с любым решением y(x)решением (65) будет также комплексно-сопряжённая ф-ция y*(x)],можно получить соотношение для матричных элементов в (70):a₁₁= a*₂₂, a₁₂=a*₂₁. Т. о., коэф. отражения (и соответственно прохождения) для частиц, движущихся слева направо (R = |c₂|²/|c₁|²=|-a₂₁/a₂₂|²) и справо налево (R' = |с₃|²/|c₄|²=|a₁₂/a₂₂|²), одинаковы:R'=R,D'=D.В отличие от классич. механики, коэф. прохождения для квантовомеханич. движения не равен нулю даже в случае, когда энергия (E₁)меньше высоты барьераV_Б. В этой ситуации при классич. движении слева направо частица должна была бы остановиться в точке a и затем, отразившись от барьера, двигаться налево (аналогично частица, двигавшаяся из областих" +: налево, должна была бы отразиться в точке остановкиb).Областьaзапрещена для классич. движения. В квантовом случае существует конечная вероятность подбарьерного, туннельного, перехода (см.Туннельный эффект).Для гладкого барьера вквазиклассическом приближениикоэф. туннельного перехода равен

гдеa(E)иb(E)- классич. точки остановки. ВеличинаDв классич. пределе (h "0)обращается в нуль(в согласии с принципом соответствия). Существенно, что показатель экспоненты (72) зависит как квадратный корень от высоты барьера и линейно - от его длины. Поэтому вероятность туннельного перехода оказывается большей для сравнительно высоких и узких барьеров (часто встречающихся в ядерной физике), чем для низких и длинных (встречающихся, напр., в хим. реакциях). Характерна также зависимость экспоненты в (72) от массы частиц, обусловливающих заметную вероятность туннелирования для наиб. лёгких частиц - электронов. - V₁) до величины (E- V₂)[при прохождении слева направо в поле сV(x),изображённой на рис. 6]. Волновым аналогом надбарьерного отражения частиц является частичное отражение световой волны от границы раздела двух прозрачных сред. Для гладкихV(х)коэф. надбарьерного отражения экспоненциально мал в случаях, когда энергия частиц значительно превышает высоту барьера. х" - : имеет вид (68) (т. к. E>V₁), а решением приx"+: (т. V₂) имеет вид:

Поскольку общее решение ур-ния (67) определяется двумя константами, можно положитьс₄=0 и тем самым избежать физически неприемлемого экспоненциально растущего приx"+: решения. Никаких ограничений на значения энергии в области (II) [так же, как в области (I)] не возникает, т. е. спектр энергии непрерывный. Однако уровни энергии [в отличие от двукратноговырожденияв области (I)] невырожденные. Это связано с необходимостью определ. выбора коэф. в одном из линейно независимых решений (с₄=0). Благодаря невырожденности уровней энергии решения ур-ния (67) y(x)и y*(x) должны совпадать с точностью до множителя, т. е. волновая ф-ция в области (II) может быть выбрана действительной. Отсюда следует, что коэф.c₁,с₂в (68) удовлетворяют условиюc₁*=c₂, т. е. плотности потоков в волнах, идущих прих" -: налево и направо, одинаковы. Т. о., в области (II) квантовомеханич. движение, как и в классич. механике, финитно с одной стороны и соответствует полному отражению частицы, падающей слева на потенц. стенку. Однако, в отличие от классич. механики, в квантовомеханич. движении частица способна с экспоненциально затухающей вероятностью проникать внутрь барьера [см. (73)]. Это и обусловливает возможность подбарьерных переходов в случаях, когда барьер имеет конечную ширину. Точным волновым аналогом движения частиц в области (II) являетсяполное внутреннее отражениесвета на границе двух сред. х "+: [так же, как и в области (II)] имеет вид (73), а прих" -: вместо (68) будет

При этом коэф.с₃,с₄в (73) будут выражаться черезc₁,с₂линейно с помощью (70). Условие ограниченности y(x) прих" -: приводит к требованиюc₁=0. Однако при этом для произвольного значения энергии из области (III) нельзя добиться ограниченности y(x) длях"+:, т. к., согласно (70),c₃=a₁₂c₂,c₄=a₂₂c₂и коэф.с₄при экспоненциально растущем решении (73) будет, вообще говоря, отличен от нуля. Физическидопустимые решения получаются поэтому только для таких выделенных, дискретных, значений энергии E_i,для к-рых a₂₂(E_i)=0. Эти значения E_iявляются, т. о., корнями ур-ния a₂₂(E) = 0. Получающиеся уровни энергии невырожденны и отвечают (как и в классич. механике) финитному движению частицы в потенц. яме, т. е.связанным состояниям.В отличие от классич. механики, где финитное движение в потенц. яме происходит между двумя точками остановки при любом значении энергии из области (III), квантовомеханич. движение возможно лишь при определ. дискретных значениях энергии. Возникновение дискретных уровней энергии ("квантование энергии") - чисто волновое явление. Математически оно происходит благодаря тому, что условия ограниченности решения (73), (74) стационарного ур-ния Шрёдингера прих"b: играют роль краевых условий, удовлетворить к-рым можно лишь при дискретных энергиях (аналогично, напр., тому, как определ. граничные условия колебаний струны приводят к дискретному спектру её частот). Буквальная аналогия существует для движения частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и колебаниями струны с закреплёнными концами (рис. 7). В обоих случаях граничные условия приводят к тому, что на длинеLструны (или ширине потенц. ямы) должно укладываться целое числоnполуволн:¹/₂ln = L.Отсюда получается спектр энергии:

Дискретный спектр может быть проиллюстрирован также на примере квантовогоосциллятора -частицы, движущейся в поле сV (х)=¹/₂тw²х².Задача о квантовом осцилляторе является одной из важнейших и точно решаемых аналитически задач К. м. Важность её обусловлена тем, что для произвольного потенц. поля в положении равновесиях₀должен быть минимум потенц. энергии: (dV/dx)_x=xo=0,иV(х)вблизи от положения равновесия приближённо представима в виде осцилляторной:V(х) = V(x₀)+¹/₂(d²V/dx²)_х=xox²+...,гдех -отклонение от положения равновесия, а частота колебаний эквивалентного осциллятора w

На рис. 8 по оси абсцисс отложено расстояние частицы от положения равновесия. Кривая (парабола) изображает потенц. энергию частицы. В этом случае частица с любой энергией (как и в случае ямы с бесконечными стенками) "заперта" внутри ямы, поэтому спектр её энергии дискретен. Горизонт. прямые изображают уровни энергии частицы. Энергия низшего уровня E₀=¹/₂hw - наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределённостей [положение частицы на дне ямы (E=0)означало бы точное равновесие, при к-ромх=0ир=0, что невозможно, согласно принципу неопределённости]. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях с интервалом hw; энергияп-гоуровня:E_n= hw(n+¹/₂).Над каждой горизонт. прямой приведена волновая ф-ция данного состояния. За пределами ямы (в неклассич. области) волновая ф-ция быстро затухает. В классич. области движения волновая ф-ция осциллирует. Характерно, что число узлов волновой ф-ции равноквантовому числупуровня энергии. Этот результат справедлив и для др. одномерных потенц. полей (т. н. осцилляционная теорема). В высоковозбуждённых состояниях с большимипдлина де-бройлевской волны частицы становится малой по сравнению с характерными размерами области движения. Движение приобретает классич. характер: волновой пакет, построенный из состояний с близкими (и большими)пбудет двигаться с большой точностью по классич. законам. элементарные частицы. Причина этого в том, что осн. состояние связанной системы отделено от первого возбуждённого состояния энергетич. интервалом, наз. энергетической щелью. Такая ситуация характерна для атомов, молекул, ядер и др. квантовых систем. Благодаря энергетич. щели внутр. структура системы не проявляется до тех пор, пока обмен энергией при её взаимодействиях с др. системами не превысит значения, равного ширине щели. Поэтому при достаточно малом обмене энергией сложная система (напр., ядро или атом) ведёт себя как бесструктурная частица (матер. точка). Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атома, атомные электроны не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоёмкость. Справедливо и обратное заключение: наличие в системе возбуждённых состояний (как это, напр., имеет место для адронов) является свидетельством в пользу её составной структуры.
Движение в периодическом полеДвижение в периодич. полеV(x+a) = V(x)(гдеа- период) может служить моделью движения электрона в кристалле и иллюстрирует возникновение разрешённых и запрещённых зон (полос) энергии. Пусть j₁(x)и j₂(x) - два к.-л. линейно независимых решений ур-ния Шрёдингера, отвечающих определ. энергии E.Поскольку оператор сдвига на период поля коммутирует с гамильтонианом, ф-ции j₁(x+a) и j₂(x+a) также будут решениями ур-ния Шрёдингера, принадлежащими тому же значению энергии. Поэтому они должны выражаться линейно через j₁(x)и j₂(x):

Матричные элементы в этом преобразовании зависят от видаV (х)и выбранного значения энергии, а определитель матрицы b_ikD=b₁₁b₂₂-b₁₂b₂₁должен быть равен 1 (в силу условия постоянства определителя Вронского j'₁j₂-j₁j'₂=соnst, к-рому удовлетворяют два линейно независимых решения). Из решений j₁(x)и j₂(x) можно составить линейную комбинацию y=с₁j₁+с₂j₂, к-рая, будучи решением ур-ния Шрёдингера с энергией E,одновременно является собств. состоянием оператора сдвига Собств. значение l при этом определяется ур-нием

Для физически приемлемого решения должно выполняться условие |l| = 1 (т. к. при |l|№1 неогранич. сдвиг решения в одну или др. сторону должен был бы приводить к бесконечно большому его значению). Для этого необходимо выполнение неравенства:

к-рое и определяет допустимые при движении в периодич. поле не дискретные уровни, а полосы энергии. [Ф-ция b₁₁(E)+b₂₂(E) не зависит от конкретного выбора решений j₁(x)и j₂(x).]Полагая¹/₂[b₁₁(E)+b₂₂(E)]=cos(qa), получим l=ехр(biqа), где величинаq -квазиимпульс системы. Энергия частицы (как следует из приведённого равенства, если его разрешить относительно Eдолжна быть чётной ф-циейq.Тот факт, что собств. значение оператора сдвига равно exp (iqa), позволяет заключить, что волновая ф-ция частицы в периодич. поле имеет вид: y=exp(iqx)j(x), где j(х) - периодич. ф-ция, j(х+а)=j(х)(см.Блоха теорема).Эти результаты лежат в основе совр. теории твёрдого тела.
Движение в центральном полеЗадача о квантовомеханич. движении двух частиц с массамит₁иm₂[энергия взаимодействия между к-рымиV(|r₂-r₁|) зависит только от относит. расстояния между ними] сводится к рассмотрению свободного движения центра масс этих частиц и относит. движения в центр. полеV(|r|) частицы с приведённой массой m = m₁m₂/(m₁+m₂). Т. к. центр. поле обладает симметрией вращения, при движении в нём сохраняется угл. момент частицы и в качестве полного набора измеряемых величин могут быть выбраны квадрат моментаl²,проекциятмомента на выделенную ось (обычно ось z) и энергия Eчастицы. Соответственно волновая ф-ция частицы в сферич. системе координат (r,q,j) может быть записана в виде произведения радиальной ф-ции (к-рую удобно представлять в видеи(r)/r)и угл. ф-ции, в качестве к-рой выбираетсясферическая функция Y_lm(q,j) являющаяся собств. ф-цией квадрата момента и его проекции на ось z,

При этом ф-цияu_E,l(r) удовлетворяет "одномерному" ур-нию Шрёдингера по переменнойr:

с эфф. потенц. энергиейV_эфф=V(r)+h²l(l+1)/2mr². Состояния сl=0,1, 2, 3... наз. соответственноs-, p-, d-, f-,... (и далее по алфавиту) состояниями. Второй член вV_ЭФФназ. центробежной энергией (аналогичная добавка кV(|r|) при рассмотрении радиального движения возникает в классич. механике из-за трансверсальной части кинетич. энергии частицы). Угл. зависимость (75) универсальна для любых центр. полей, что отражает универсальность выполнения закона сохранения момента в таких полях. В классич. механике этот закон приводит к тому, что движение в любом центр. поле происходит в фиксир. плоскости, перпендикулярной моменту и проходящей через центр. Поскольку прит~l Y_ll~(sin q)^l,выражение (75) в случае очень большихlотлично от нуля лишь вблизи плоскости q=p/2, т. е. в пределе большихlY_llописывает классич. плоское движение. Напротив, квантовое движение при малыхlсовершенно непохоже на классическое. l ит.Видно, что задание момента (т. е.lиm) полностью определяет угл. распределение, к-рое сильно отличается от плоского. Особенно отличается от классического движение вS-волне, имеющее сферически симметричное распределение. В классич. физике устойчивое движение частицы с нулевым моментом в поле притяжения было бы вообще невозможно: частица падала бы на притягивающий центр. В К. м. для полей притяжения, растущих (по модулю) приr" 0 медленнее, чем const/r², падения на центр вS-волне не происходит. Этот факт естественно следует из соотношения неопределённостей. Центробежная энергия приl№0 представляет собой потенц. барьер, "закрывающий" область малыхr.Существуют два решения ур-ния Шрёдингера: одно из них затухает под центробежным барьером приr"0, а другое -растёт. ДляV(r),растущих приr" 0 медленнее, чем const/r²,центробежная энергия обусловливает универс. зависимость радиальной ф-ции приr" 0:

Оба члена в (77) приr" 0 являются линейно независимыми решениями ур-ния Шрёдингера. Условие конечности нормы требует занулeния сингулярного решения, т. е. выборас₂=0.Т. о., приr" 0

Если энергия системы больше, чем значениеV(r)приr" : (E>V_:), то решение ур-ния Шрёдингера на больших расстояниях должно иметь вид:

При этом (как и в одномерном случае отражения от потенц. стенки) поток в расходящейся от центра сферич. волне (e^ikr)должен быть равен потоку в сходящейся волне (е^-ikr), т. е. |с₃| = |с₄|. Исходя из этого, решение приr" : записывают в виде:

где d_l- т. н. ф а з а рассеяния, равная нулю для свободного движения (она используется для нахожденияамплитуды рассеяния).Решение (79) не накладывает к.-л. ограничений на энергию системы. Поэтому при E/V_:,энергетич. спектр непрерывный, а решения описывают несвязанные состояния инфинитного движения. Если вV_эффсуществует потенц. яма, такая, чтоV_min<V_:, то для энергий Eв интервалеV_min<E_:решение ур-ния Шрёдингера приr" : имеет вид:

Коэф.с₃,c₄при двух линейно независимых решениях в (80) должны линейно выражаться черезc₁,c₂из (77) по ф-лам (70). Если для произвольной энергии из рассматриваемого интервала потребовать ограниченности решения в нуле, т. е. положитьс₂=0, то коэф.с₄при растущем на бесконечности решении, равныйс₄= a₂₁(E)с₁,будет, вообще говоря, отличен от нуля. Это означает, что при произвольной энергии E<V_:может не существовать физически приемлемого решения. Возможные энергии физ. состояний определяются ур-нием a_2l(E)=0 и образуют дискретный спектр. Они отвечают связанным состояниям. Т. о., условия ограниченности решения на границах области изменения радиальной переменной (r=0 иr=:) пграют роль краевых условий, приводящих (как и в одномерном случае) к дискретному спектру энергий. Дискретные уровни в радиальном ур-нии Шрёдингера (76) нумеруются радиальным квантовым числомп_r,начиная с основного (п_r=0).ПосколькуV_ЭФФзависит отl,энергия уровня определяется двумя квантовыми числамип_rиl.Числотназ. магнитным квантовым числом и при данномlможет принимать (2l+1) значений: 0, b1, b2, . . .,bl; тне входит в ур-ние (76), и энергия от него не зависит (т. к.тзависит от выбора осиz,а поле сферически симметрично). Поэтому уровень с квантовым числомlимеет (2l+1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть оттлишь тогда, когда сферич. симметрия нарушается, напр., при помещении системы в магн. поле (Зеемана эффект).Для нек-рых видовV(r)[напр., кулоновской:V=-Ze²/r,или изотропного трёхмерного осциллятора:V= (mw²/2)(x²+у²+z²)] существует дополнит. (т. н. случайное) вырождение уровней энергии, обусловленное скрытой симметрией этихV(r).Так, энергия водородоподобных атомов зависит от величиныn=n_r+l+1, называемой главным квантовым числом:

Т. о., заданному числуn/2 могут соответствовать состояния с разл.п_rиl. Такое совпадение представлялось случайным, поскольку для разныхlуровни энергии определяются в разных потенц. ямах (различающихся центробежной энергией). Как было показано В. А. Фоком (1935), оно объясняется особой симметрией кулоновского потенциала точечного заряда, проявляющейся в явном виде при решении задачи в импульсном представлении. Для многоэлектронных атомов, в к-рых каждый электрон движется не только в поле ядра, но и в поле остальных электронов, уровни энергии зависят также и отl.Для изотропного осциллятора E =hw(2n_r+l+³/₂) и совпадающими оказываются уровни с одинаковым значением (2п_r+l),напр., s-состояние (n_r= 1,l=0)и d-состояние (n_r=0,l=2).Общее число связанных состояний для центр. поля притяжения, убывающего (по модулю) приr" : быстрее, чем const/r^2+e(e>0), конечно, а для убывающего медленнее, чем const/r^2-e,- бесконечно (причём в последнем случае энергетич. спектр сгущается к точке E=0).Т. к. оператор пространств. инверсии коммутирует с моментом и гамильтонианом, состояния (75) в центр. поле обладают определ. пространств. чётностью. Из св-ва сферич. ф-цийY_lm(p-q, j+2p) = (-1)^lY_lm(q,j) вытекает, что в состоянии (75) пространств. чётностьP=(-1)^l.

Квазистационарные состоянияЧастица, движущаяся в потенциальной яме, изображённой на рис. 9,а, имеет непрерывный спектр энергии (0[E<:>V_min<E<V_бмогут существовать в непрерывном спектре определ. выдел. значения энергии, отвечающие состояниям, в к-рых частица довольно длит. время оказывается связанной внутри потенц. ямы сV_min>0. Такие состояния наз. квазистационарными. В классич. механике точкаV_minотвечает метастабильному состоянию равновесия и классич. частица с энергиейV_minV_бможет быть "заперта" в потенц. яме между точками остановкиа(E)иb(E). В квантовом случае такое "запирание" невозможно, т. к. частица путём туннельного перехода с определ. вероятностью "просачивается" через барьер и уходит на бесконечность. Соответственно этому отсутствуют дискретные уровни энергии. Однако при энергии, отвечающей квазистационарному состоянию, волновая ф-ция, осциллирующая в классич. области между точками остановки (а,b),экспоненциально затухает в обе стороны от них внутрь барьеров (рис. 9,б).Т. о., энергия квазистационарных состояний весьма близка к энергии стационарных состояний, существующих в поле, совпадающем сV(r) слева от вершины барьера и равномV_б,справа от вершины. Энергия квазистационарных состояний можетбыть приближённо определена по правилу квантования Бора - Зоммерфельда: Для квазистационарного состояния амплитуда волновой ф-ции вне ямы (на рис. правее точкис)значительно меньше, чем внутри ямы [отношение их квадратов пропорционально коэф. туннельного переходаDмежду точками (b,с)]. Для состояний, энергия к-рых отличается от квазистационарных, соотношение между амплитудами волновой ф-ции внутри и вне ямы обратное (рис. 9,в). На рис. 9,бкачественно изображена волновая ф-ция, отвечающая квазистационарному состоянию сn=n₂(E =E₂), а на рис, 9,в -с энергией E',12. В квазистационарном состоянии вероятность вылета частицы из ямы в единицу времени приближённо равнаw=nD,где n - частота классич. колебаний частицы между точками (а,b), отвечающая наглядно числу "ударов" о барьер в единицу времени. Для высоковозбуждённых квазистационарных состояний n~DE/2ph, где DE - расстояние между квазистационарными уровнями. Ввиду малостиDдля широких и высоких барьеров время жизни частицы внутри ямы (t=1/w) оказывается значительно большим периода колебании внутри ямы. Из СН следует, что энергия квазистационарного состояния может быть определена лишь с неопределённостью Г~h/t. Эту величину наз. шириной квазистационарного уровня. е^jkr/r. Это условие отвечает частице, вылетающей из ямы, и приводит к комплексным собств. значениям энергии, к-рые записываются в виде: E=E₀-iГ/2(E₀и Г - вещественные). Такая запись отвечает экспоненц. убыванию квадрата модуля волновой ф-ции внутри ямы со временем (~е^-Гt).Квазистационарные состояния соответствуют полюсамамплитуды рассеяния,аналитически продолженной по энергии в комплексную плоскость, и при энергии налетающей частицы вблизи квазистационарного уровня - резонансам в рассеянии (см.Брейта - Вигнера формула, Рассеяние микрочастиц).В плоскости комплексногоlквазистационарным уровням (так же, как и стационарным) соответствуют определ. Р е д ж е траектории (см.Редже полюсов метод).
Спин. Полный моментЕсли осн. состояние составной системы (напр., атома или ядра) отделено энергетич. щелью от возбуждённых, то в процессах, где обмен энергией значительно меньше величины щели, систему можно считать элементарной, а её движение в полях, мало меняющихся на расстояниях порядка размеров системы, представлять как движение материальной точки с координатами центра масс системы. Если при этом в рассматриваемом состоянии система имеет момент, то его следует рассматривать как дополнит., внутр. переменную, характеризующую состояние частицы и влияющую на её поведение, напр., в магн. поле. Нет оснований считать, что подобная внутр. переменная отсутствует у частиц, к-рые при существующем уровне знаний принимаются за элементарные. Аппарат К. м. позволяет естеств. образом описать движение частицы с учётом её внутр. степени свободы, к-рая имеет смысл собств. момента и наз. спиновым моментом или просто спином. Для этого надо обобщить выражение (54) и считать, что в операторе бесконечно малого поворота системы оператор содержит две части: одна из них действует на координаты волновой ф-ции частицы y (х, у, z,s, t)и представляетсобой оператор орбит. момента а другая действует на внутр. переменную s, отвечающую спину. Оператор соответствует полному моменту и равен: Т. к. действуют на разные переменные волновой ф-ции, их компоненты коммутируют между собой. ПустьА- векторная величина, к-рой соответствует оператор По определению вектора, при повороте он должен меняться след. образом: Действуя оператором поворота на ф-цию (х, у, z,s,t)и учитывая, что (гдее_klт-единичный полностью антисимметричный тензор), можно получить перестановочные соотношения

к-рые должны быть справедливыми для любого вектора. Используя в качестве в (81) операторы и учитывая коммутативность можно прийти к заключению, что операторы компонент полного, орбитального и спинового моментов подчиняются одинаковым коммутац. соотношениям: Из одних только этих перестановочных соотношений следует, во-первых, что любая компонентаS_iизмерима одновременно с квадратом спинаS²=S²_x+S²_y+S²_z, т. (в качестве такой компоненты обычно выбирают проекцию на ось z), и, во-вторых, что собств. значения s_iоператора проекции спина на выделенную ось, отличаясь друг от друга на 1 (в единицах h), заключены между нек-рыми максимальным (S) и минимальным (-S)значениями, т. е. принимают (2S+1) значений:S, S-1, . . . . . .,-S.Отсюда следует, чтоSможет быть целым или полуцелым, в то время как квантовое число орбит. момента принимает только целые значения. О величинеSговорят как о значении спина частицы. Из перестановочных соотношений следует также, что квадрат спина (в единицах h²) равен S(S+1), и может быть получен явный вид матриц операторов проекции спина в представлении, где в качестве измеримой величины берётся проекция спина на ось z. Матричными элементами, отличными от нуля, являются

Задание этих матриц полностью определяет действие операторов проекции спина на волновую ф-цию системы, к-рую с учётом возможных значений внутр. переменной удобно представлять в виде столбца с (2S+1) компонентами:

где y_s(х, у, z, t)отвечает волновой ф-ции частицы в состоянии с S_z= s.Опыт показал, что спин электрона, протона и нейтрона равен¹/₂(т. е. внутр. переменная, отвечающая спину, принимает для них 2 значения). В случае спина¹/₂

а оператор спина имеет в этом представлении вид

где s(s_х,s_у,s_z)-Паули матрицы,

Со спином частицы может быть связан её магн. момент m, к-рый принято выражать в виде здесь величинае/2тс - гиромагнитное отношениедля орбит. движения, а величина g безразмерна. Для электрона и мюона g = 2 (с точностью дорадиационных поправок).Теоретич. объяснение равенства g = 2 было одним из достижений релятивистского ур-ния Дирака. Нерелятивистское квантовомеханич. движение частиц со спином¹/₂описываетсяПаули уравнением.Взаимодействие магн. момента атомного электрона с магн. полем, создаваемым ядром в системе покоя электрона, вместе с учётом релятивистских эффектов (т. н.томасовской прецессии)приводит к спин-орбитальной LS-связи, к-рая определяеттонкую структуруатомных спектров (см.Спин-орбитальное взаимодействие).При наличии LS-связи сохраняющимися являются величина полного моментаJи его проекцияJ_z;сохраняются также величины L и S, но не их проекции на ось z. Наглядно можно представить, что векторыLиS,складываясь, прецессируют вокруг направленияJ,а сам векторJс равной вероятностью лежит на поверхности конуса с осью вдоль оси z, так что сохраняется проекцияJ_zна эту ось (рис. 10).

Из этой картины следует, что сохраняются проекции наJвеличинLиS[т. е. (LJ)и (SJ)], а также величина (LS).Разл. уровням тонкой структуры соответствуют разные значенияJ. Взаимодействие магн. момента ядра с магн. полем, создаваемым электронной оболочкой (за счёт орбит. и спинового моментов), приводит к дополнит. расщеплению исверхтонкой структуреатомных уровней.
Системы многих частиц. Тождественные частицыКвантовомеханич. ур-ние движения для системы, состоящей изNчастиц, описывается ур-нием Шрёдингера, содержащим потенц. энергию, зависящую от координат всех частиц и включающую как воздействие на них внеш. поля, так и взаимодействие частиц между собой. Волновая ф-ция также является ф-цией координат всех частиц. Её можно рассматривать как волну в ЗN-мерном пространстве. а и 11,б).Однако в принципе в классич. механике можно различить эти два процесса, т. к. можно проследить за траекториями частиц во время столкновения. В К. м. траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе частицы проходят с нек-рой неопределённостью, с "размытыми траекториями" (рис. 11,в). В процессе столкновения области размытия перекрываются, и невозможно даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, в К. м. одинаковые частицы полностью неразличимы - тождественны. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай - одна из одинаковых частиц полетела вверх, другая - вниз, индивидуальности у частиц нет. Все состояния, получающиеся перестановкой одинаковых частиц, в К. м. (в отличие от классической) неразличимы и при подсчёте числа состояний должны приниматься за одно состояние (это разрешает парадокс Гиббса в статистич. физике).Квантовомеханич. принцип неразличимости одинаковых частиц можно сформулировать математически на языке волновых ф-ций. Вероятность нахождения частиц в данном месте пространства определяется квадратом модуля волновой ф-ции, зависящей от координат обеих частиц, |y(1, 2)|², где 1 и 2 означают совокупность пространств. и спиновых переменных соответственно первой и второй частицы. Тождественность частиц требует, чтобы при перемене их местами вероятности были одинаковыми:

|y (1, 2)|²= |y(2, 1)|².

Отсюда вытекают две возможности:

y(1, 2) = y(2, 1), y(1, 2) = -y(2, 1).

Если при перемене частиц местами волновая ф-ция не меняет знака, то она наз. симметричной, если меняет - антисимметричной. Поскольку только суперпозиция ф-ций одинаковой симметрии обладает определ. (той же самой) симметрией, то в соответствии с принципом суперпозиции все состояния к.-л. пары одинаковых частиц должны описываться либо симметричными, либо антисимметричными волновыми ф-циями. Т. к. все взаимодействия одинаковых частиц симметричны относительно переменных 1, 2 (т. е. гамильтониан коммутирует с оператором перестановки), то свойства симметрии или антисимметрии волновой ф-ции сохраняются во времени. Это означает, что требование одной определ. симметрии относительно перестановки одинаковых частиц не противоречит принятым ранее постулатам К. м. Парастатистика). Однако, как показывает опыт, в системе из произвольного числа тождеств. частиц имеет место симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары частиц. Свойство симметрии или антисимметрии оказывается характерным признаком данного сорта частиц. Соответственно все частицы делятся на два класса. Частицы, описываемые симметричными волновыми ф-циями, наз.бозонами,антисимметричными -фермионами.Эмпирически было установлено правило, связывающее симметрию волновых ф-ций тождеств. частиц со значением их спина (т. н. связь спина и статистики). В нерелятивистской К. м. оно было принято в качестве постулата:V. Частицы с целым спином являются бозонами, с полуцелым - фермионами. Паули теорема, являющаяся одной из осн. теорем релятивистской К. м.). В частности, фермионами являютсявселептоны, барионы, кварки,а бозонами - фотоны,промежуточные векторные бозоны, глюоны,p-и К-мезоны и др. Сложные частицы (напр., атомные ядра), состоящие из нечётного числа фермионов, являются фермионами, а из чётного - бозонами. числа заполнения- числа частиц, находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые наборы квантовых чисел. Если тождеств. частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая ф-ция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона не могут находиться в одинаковых состояниях, т. к. для фермионов волновая ф-ция должна быть антисимметричной. Это свойство наз. принципом запрета Паули (принципом Паули). Т. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения 0 или 1. Принцип Паули существенно влияет на поведение электронов в атомах, молекулах и т. д. Для бозонов же числа заполнения могут принимать произвольные целые значения. Поэтому с учётом квантовомеханич. свойств тождеств. частиц существуют два типа статистик:Ферми - Дирака статистикадля фермионов иБозе - Эйнштейна статистикадля бозонов. Пример ферми-системы - электронный газ в металле, пример бозе-системы - газ фотонов (т. е. равновесное эл.-магн. излучение), жидкий⁴Не. Ядро атомное); он объясняет характерные свойства электронов в металлах, напр., их теплоёмкость и электропроводность.
Обменное взаимодействие. Химическая связьМолекула представляет собой связанную систему ядер и электронов, между к-рыми действуют электрич. (кулоновские) силы (притяжения и отталкивания). Т. к. ядра значительно тяжелее электронов, электроны движутся гораздо быстрее и образуют нек-рое распределение отрицат. заряда, в поле к-рого находятся ядра. В классич. механике и электростатике доказывается, что система такого типа неустойчива (Ирншоу теорема).Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (к-рую нельзя объяснить на основе законов классич. физики), невозможно без специфически Квантовомеханич. закономерностей объяснить устойчивость молекул. Особенно непонятно с точки зрения классич. представлений существование молекул из одинаковых атомов, т. е. сковалентной связью(напр., простейшей молекулы Н₂). Оказалось, что свойство антисимметрии электронной волновой ф-ции так изменяет характер взаимодействия электронов, находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным. 2, состоящую из двух протонов и двух электронов. Волновая ф-ция такой системы представляет собой произведение двух ф-ций, одна из к-рых зависит только от координат, а другая - только от спиновых переменных обоих электронов. Если суммарный спин электронов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая ф-ция антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных электронов, и для того чтобы полная волновая ф-ция (в соответствии с принципом Паули) была антисимметричной, координатная часть волновой ф-ции y(r₁, r₂)должна быть симметричной относительно перестановки координат электронов. Приближённо она может быть представлена в виде

y ~ y_a(1)y_b(2)+y_b(1)y_a(2), (83)

гдеy_a(r_i), y_b(r_i) - координатная часть волновой ф-цииi-гo электрона (i= l, 2) соответственно у ядераиb.Кулоновское взаимодействие пропорционально плотности электрич. заряда r=e|y|²=eyy*. При учёте свойств симметрии y (r₁, r₂),помимо плотностей обычного вида:

е|y_а(1)|²|y_b(2)|²,e|y_b(1)|²|y_a(2)|²,

соответствующих движению отд. электронов около разных ядер, появляются добавки к плотности вида:

ey*_a(l)y_b(1)y*_b(2)y_a(2),ey*_b(1)y_a(1)y_a*(2)y_b(2).

Они наз. обменной плотностью, потому что возникают как бы за счёт обмена электронами между двумя атомами. Именно эта обменная плотность, приводящая к увеличению плотности отрицат. заряда между двумя положительно заряж. ядрами, и обеспечивает устойчивость молекулы в случае ковалентной хим. связи. При суммарном спине электронов, равном 1, y(r₁,r₂)антисимметрична, т. обменному взаимодействию. Характерна зависимость этого взаимодействия от спинов электронов. Непосредственно динамически спины не участвуют во взаимодействии - источником взаимодействия являются электрич. силы, зависящие только от расстояния между зарядами, но в зависимости от суммарного спина электронов волновая ф-ция, антисимметричная относительно перестановки двух электронов (вместе с их спинами), может быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки только положения электронов (их координат). От типа же симметрии y(r₁,r₂) зависит знак обменной плотности и соответственно эфф. притяжение или отталкивание частиц в результате обменного взаимодействия. Т. о., суммарный спин электронов фактически определяет хим. связь. В двухатомных молекулах с одинаковыми ядрами от суммарного спина ядер зависит, в каких вращат. состояниях может находиться молекула. Так, молекула Н₂при суммарном спине протонов S=1 (ортоводород) может находиться только во вращат. состояниях с нечётным моментом, а при S = 0 (параводород) - только с чётным. Расчёты строения и свойств молекул на основе К. м. являются предметомквантовой химии.Обменное взаимодействие играет существ. роль во мн. явлениях, напр., объясняет ферромагнетизм. В этом случае обменная энергия имеет др. знак, чем в молекуле. Благодаря отталкиванию электронов более низким по энергии оказывается состояние с антисимметричной координатной ф-цией и, следовательно, симметричной спиновой ф-цией (отвечающей параллельной ориентации спинов). Такое же различие имеет место для уровней орто- и парагелия. давление сжатого вещества (при давлениях выше неск. сотен млн. атм, когда ядра сближаются настолько, что начинают разрушаться атомные оболочки) и объясняют феномен белых карликов. В то же время между бозонами, к-рые описываются симметричными волновыми ф-циями, возникают как бы силы притяжения: чем больше бозонов находится в к.-л. состоянии, тем больше вероятность перехода др. бозонов системы в это состояние (подобного рода эффекты лежат в основе сверхтекучести и сверхпроводимости, принципа работы лазеров).
Приближённые методы К. м.Ур-ние Шрёдингера имеет точное аналитич. решение только для огранич. класса систем (важнейшими из к-рых являются осциллятор и водородоподобный атом). В связи с этим особое значение имеют всевозможные приближённые методы К. м. возмущений теория, применимая в случаях, когда дополнит. взаимодействие, рассматриваемое как возмущение, может считаться малым. При этом постановка задачи различна для возмущений, зависящих и не зависящих от времени. В последнем случае с помощью аппарата т. н. стационарной теории возмущений обычно ищут сдвиги дискретных уровней энергии или их расщепления (когда имеется вырождение) и соответствующие волновые ф-ции. Для возмущений, зависящих от времени, обычно ставится задача определения вероятностей переходов между разл. состояниями системы под влиянием возмущения. Между состояниями, принадлежащими сплошному спектру энергии, подобного рода переходы могут возникать и под действием возмущений, не зависящих от времени. В обоих случаях используется т. н. нестационарная теория возмущений. Одним из распространённых применений этой теории к задачам рассеяния являетсяборновское приближение.Для плавно меняющихся потенциалов успешно применяется квазиклассич. приближение, в особенности для вычисления коэф. туннельных переходов и уровней энергии (с помощью правил квантования Бора). Наиб. последоват. способ вычисления коэф. надбарьерного отражения и матричных элементов по быстро осциллирующим квазиклассич. ф-циям даёт аналитич. продолжение квазиклассич. решений в область комплексного переменного. Сходным с квазиклассическим является метод рассмотренияадиабатических возмущений.В ряде случаев области применимости квазиклассич. и борновского приближений дополняют друг друга. Так, для кулоновского рассеяния заряж. частицы на ядре условием применимости борновского приближения являетсяZe²/hv<<1,а квазиклассическогоZe²/hv>>1(гдеv -скорость частицы).Особые трудности вызывает рассмотрение систем с большим числом взаимодействующих частиц (напр., многоатомных молекул или ядер). В этом случае для определения уровней и волновых ф-ций успешно используются вариационные методы расчёта (эффективность к-рых существенно возрастает по мере увеличения мощности используемых ЭВМ). Если в многочастичной системе выделяются "быстрые" и "медленные" движения отд. составляющих, то возможно использованиеадиабатического приближения.Одним из наиб. распространённых способов рассмотрения квантовомеханич. движения в многочастичных системах является методсамосогласованного поля(см. такжеХартри - Фока метод),к-рый особенно эффективен в сочетании с вариац. методами.
Парадоксы К. м.Если квантовомеханич. переход из одного состояния в другое может осуществляться через разл. промежуточные состояния, то амплитуда перехода представляет собой суперпозицию амплитуд альтернативных движений, или путей перехода. При этом вероятность перехода может быть не равна сумме вероятностей переходов по отд. путям (как в случае классич. движения), т. е. в К. м., как отмечалось выше, складываются амплитуды переходов (с их фазами), а не вероятности. В сложении альтернативных движений (или состояний) проявляется отсутствие наглядности квантовомеханич. принципа суперпозиции. И в этом по существу корень всех обсуждавшихся парадоксов К. м. Остановимся на нек-рых из них.1) Проходит ли фотон сразу через две щели (см. рис. 1)?Пусть |S> - состояние фотона, выходящего из источникаS,а размеры щелейаиb(для простоты) значительно меньше длины волны. Тогда <а|S> и <b|S> - амплитуды вероятности обнаружить фотон в состояниях |а> и |b>, отвечающих попаданию его соответственно в щельаиb.Обозначая амплитуды вероятности попадания фотона из состояния |а> и |b> в произвольную точку экранахсимволами <x|a> и>,можно представить амплитуду перехода фотона из источникаSв точкуxв виде суммы:

=+= j₁+j₂, (84)

где j₁, j₂обозначены первый и второй члены в сумме. Вероятностьw_xSпопадания фотона в точкухможет быть представлена в виде:

w_xS= | j₁+ j₂|²= | j₁|²+| j₂|²+ (j *₁j₂+ j₁j*₂). (85)

Первые два члена в (85) неотрицательны и совпадают с вероятностями попадания в точкухклассич. частицы, движущейся соответственно по траекториямSaxиSbx.Третий член - интерференционный, возникающий из-за того, что в (84) складываются амплитуды двух альтернативных переходов. Интерференц. член может обратить в нуль вероятностьw_xSдаже в том случае, когда |j₁|²№0 и |j₂|²№0. При l " 0 интерференц. член быстро осциллирует с изменением координаты точких,так что его ср. значение, взятое по малой окрестности dх,обращается в нуль и вероятностьw_xSсовпадает с тем, что даёт классич. представление о движении частиц по опредсл. траекториям. В условиях же, когда наблюдается интерференц. картина, в амплитуде (84) обязательно присутствуют альтернативные пути перехода: понятие определ. траектории теряет смысл. Поскольку амплитуда вероятности описывает движение отд. частицы, выражение (84) подразумевает, что в терминах амплитуды вероятности частица одновременно проходит через две щели -аиb.Это противоречит корпускулярным представлениям. Избежать формально логич. противоречия (возможность для частицы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. а|S>|²и |<b|S>|², т. е. зарегистрировать прохождение частицы одновременно через две щели не удастся. Но фиксация щели, через к-рую прошла частица, т. е. фиксация её траектории, оставляет в амплитуде (84) лишь один член. Поэтому статистич. распределение частиц на экране после прохождения большого их числа будет отвечать классич. распределению |j₁|²+|j₂|². Т. о., попытка определить траекторию частицы является таким вмешательством в процесс, к-рое ликвидирует интерференцию. (см.К-мезоны)через промежуточные состояния кварк-антикварков объяснила в механизме Глэшоу - Илиопулоса и Майани наблюдаемую разность масс короткоживущих п долгоживущих каонов и поэтому явилась в своё время одним из наиб. веских теоретич. аргументов в пользу гипотезы существованияс-кварков (см.Электрослабое взаимодействие).2)Волновая ф-ция частицы в конфигурац. представлении является решением ур-ния Шрёдингера вместе с граничными условиями, накладываемыми физ. соображениями. При этом движение частицы не определяется локальным действием на неё силовых полей. В К. м. существует (исчезающее в классич. пределе) нелокальное воздействие на частицу. Этот эффект также трудно понять, исходя из классич. представлений. Пусть, напр., в потенц. яме радиуса а существует уровень с небольшой энергией связи е. Тогда вне ямы волновая ф-ция должна убывать по закону и характерный радиус области, в к-рой движется частица, может при достаточно малом e значительно превышать радиус действия сила: r₀>a(подобная ситуация осуществляется в дейтроне). Такая возможность частице уходить на расстояния, где на неё уже не действуют никакие силы, и вместе с тем обладать финитным движением - характерный квантовомеханич. эффект, необъяснимый с точки зрения классич. механики. Аналогичным образом в К. м. возникает явление резонансного рассеяния. Эфф. сечение в этом случае имеет порядок pl², где l-де-бройлевская длина волны рассеиваемой частицы; при малых энергиях оно может значительно превышать "геом." сечение pа²(а- радиус действия сил). Одно из проявлений нелокального характера силового воздействия в К. м. -Ааронова- Бома эффект.3) Принципиальное значение для понимания интерпретации К. м. имело рассмотрениеЭйнштейна - Подольского - Розена парадокса,заключающегося в том, что, согласно К. м., возможны корреляции между разл. измерениями, проводимыми в разных точках, разделённых пространственноподобнымиинтервалами(что, согласноотносительности теории,казалось бы, исключает возможность к.-л. корреляции). Подобного рода корреляции возникают потому, что результат измерений в к.-л. одной точке меняет информацию о системе и позволяет предсказывать результаты измерения в др. точке (без участия к.-л. материального носителя, к-рый должен был бы двигаться со сверхсветовой скоростью, чтобы обеспечить влияние одного измерения на другое).Возможность проверить количественно при измерении указанных корреляций отличие предсказаний К. м. от предсказаний любой теории со скрытыми параметрами (в рамках спец. теории относительности) была указана Дж. Беллом (J. Bell) в 1964 (см.Белла неравенства).Эксперим. проверка неравенства Белла свидетельствует в пользу принятой интерпретации К. м. Общая теорема о невозможности нестатистич. интерпретации К. м. (при условии сохранения одного из её положений - соответствия между физ. величинами и операторами) была доказана в 1927 Дж. фон Нейманом (J. von Neumann).Лит.:Классические труды- Гейзенберг В., Физические принципы квантовой теории, пер. с нем., Л.- М., 1932; Паули В., ООщие принципы волновой механики, пер. с нем., М.- Л., 1947; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 нзд., М., 1979; Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., М., 1964;Учебники- Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 6 изд., М., 1983; Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 3 изд., М., 1974; Ш и ф ф Л., Квантовая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1959; Давыдов А. С., Квантовая механика, 2 изд., М., 1973; Ф е й н м а н Р., Лейтон Р., С э н д с М., Квантовая механика, пер. с англ., М., 1978; Мессиа А., Квантовая механика, пер. с франц., т. 1-2, М., 1978-79; Д ж е м м е р М., Эволюция понятий квантовой механики, пер. с англ., М.,1985, С.С. Герштейн, В. Б. Берестецкий.