Физическая энциклопедия

КАТАСТРОФ ТЕОРИЯ

- совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теориибифуркацийА. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ. оптике, гидродинамике, устойчивости кораблей, а также к исследованию биений сердца, эмбриологии, социологии, лингвистике, эксперим. психологии, экономике, геологии, теории элементарных частиц и моделированию деятельности мозга и психич. расстройств и т. п. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, неудивительно, что повсеместно встречаются и их особенности. Когда явление описывается гладким отображением и нет причин для нетипичности (напр., симметрии), применение теории особенностей оправдано и полезно (в оптике, теории упругости и др.), тогда как в нек-рых из описанных Томом и Э. К. Зиманом (Е. Ch. Zeeman) приложений сомнительно уже существование изучаемого отображения (в биологии, лингвистике, социологии).Теория особенностей обобщает исследование экстремумов ф-ций на случай нескольких ф-ций любого числа переменных. Критич. точкой ф-ции уназ. точка, в к-рой все первые частные производные равны нулю, Ру/Рхi=0;критич. точка наз. невырожденной, если матрица Р2у/РхРхjневырождена, т. е. её определитель отличен от нуля. У типичной ф-ции все критич. точки невырождены. Любая гладкая ф-ция в окрестности каждой невырожденной критич. точки приводится к одной из т. н. нормальных форм Морса, y=bx12b...bxn2+C,гладкой заменой независимых переменных.Эти невырожденные особенности устойчивы: напр., всякая ф-ция, достаточно близкая к у=х2(с производными), имеет в подходящей точке вблизи нуля подобную же особенность (невырожденную точку минимума). Все более сложные особенности неустойчивы. Напр., вырожденная критич. точка ф-ции у=х3в нуле распадается на две при возмущении, превращающемх3в х3-ex.Типичные отображения поверхности на плоскость (R2"R2) также имеют лишь устойчивые особенности, а именно, складку (y1=xl2, у2=х2) либо сборку Уитни (y1=x13+x1x2, y2=x2). Сборка есть особенность проектирования поверхности yl=x13+x1x2из пространства (x1, х2, у1) на плоскость (y1x2) (рис. 1). Списки типичных особенностей отображений R3"R3и R4"R4таковы: 1) у1=х12, yi=xi(i>1); 2) y1=x13+x1x2, yi=xi(i>1); 3) y1=x14+x12x2+x1x3, yi=xi(i>1); 4) y1=x126x22+x1x2+x2x4, y2=x1x2, yЗ=xЗ, y4=х4. Отображение R2"R3обычно имеет особенностями лишь "зонтики Уитни - Кэли" (рис. 2; y1=xl2, у2=х1х2, у3=х2).

При переходе к высшим размерностям списки типичных особенностей растут и даже становятся континуальными (напр., не всякое отображение Rn"Rnпри n>8 аппроксимируется устойчивым). Число классов топологически различных особенностей остаётся конечным при любых размерностях. динамическая система, описываемая ур-ниемx=q(x,e), с заданным векторным полем q в n-мерномфазовом пространстве {х}.Поле зависит от k-мерного параметра e. Множество состояний равновесия определяет в (n+k)-мерном пространстве {х,e} k-мерную поверхность q(х,e)=0. В типичном случае эта поверхность гладкая, но её проекция на пространство "управляющих параметров" {e} может иметь особенности. Если рассматривать значения {e} как ф-ции на поверхности состояний равновесия, то точки, в к-рых якобиан этих ф-ций равен 0, наз. бифуркационными, а значения ф-ций в этих точках - бифуркац. значениями параметров e. При подходе управляющих параметров к бифуркац. значениям положения равновесия "бифурцируют" (рождаются или умирают). Знание геометрии типичных особенностей позволяет описывать происходящие при этом явления, напр, скачкообразный переход системы к далёкому состоянию равновесия при плавном изменении параметров. Такие скачки способны разрушить систему (механическую, упругую, электрическую, биологическую, химическую и т. п.), откуда и название К. т. каустик и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве не были известны. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через времяt.нужно отложить отрезок длиныtна каждом луче нормали. Через нек-рое время на движущемся фронте появляются особенности в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распространении возмущения внутрь эллипса на плоскости особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве - это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма х2=у3) и ласточкины хвосты [рис. 4; эта поверхность образована точками (а, b, с),для к-рых многочленх4+ах2+bх+симеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк; рис. 5).Почти все особенности волновых фронтов (илиЛежандра преобразований)можно описать как множествабифуркац. значений параметра m, при к-рых возникают особенности отображения (х,m) "m. гиперповерхностиF(х,m)=0 в пространство m,гдеF -типичное семейство гладких ф-ций векторахи векторного параметра m. Типичные особенности каустик (или градиентных отображенийx"РS/Рx,или отображений Гаусса, сопоставляющих точке поверхности направление нормали) можно описать как множества бифуркац. значенийпараметра m, при к-рых ф-цияF(x,m) переменной x имеет вырожденную критич. точку. Ласточкин хвост, пирамида и кошелёк получаются при

F=x5+m1x2+m2x2+ m3x; F=x12x2bx23+m1x22+m2x2+m3x1.

Особенностям каустик и фронтов геом. оптики соответствуют в волновой теории особенности асимптотик осциллирующих интегралов в методе стационарной фазы или многомерномперевала методепри слиянии неск. стационарных точек. По порядку величины интеграл при подходе к точке каустики возрастает в l-vраз, где l - длина волны, а показатель v равен1/6для общей точки каустики (A2, особенность Эйри);1/4для общей точки ребра возврата (А3,особенность Пирси);3/10для ласточкина хвоста (особенность A4);1/з Для кошелька и пирамиды (особенностиD4).Эти особенности связаны с простымигруппамиЛиAk~SU(k+1), Dk~O(2k), а также с правильными многогранниками [конечными подгруппами группыSU(2)].

Показательvопределяет интенсивность света вблизи каустики и её особенностей, разрушение среды интенсивной волной, скопление частиц при движении пылевидной среды с потенц. полем скоростей (с иным значениемv) и т. п. Универсальность геометрии бифуркац. диаграмм позволяет использовать их для одновременного моделрования многих различных по своему физическому смыслу явлений.Лит.:Постон Т., Стюарт И., Теория катастроф и её приложения, пер. с англ., М., 1980; Арнольд В. И,, Теория катастроф, 2 изд., М., 1983; его же. Особенности, бифуркации и катастрофы, "УФН", 19S3, т. 141, с. 569; Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М., Особенности дифференцируемых отображений, [т. 1-2]. М., 1982-84; Гилмор Р., Прикладная теория катастроф, пер. С англ., кн. 1-2, М., 1984.В. И. Арнольд.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. катастроф теория—КАТАСТРОФ ТЕОРИЯ катастрофизм от греч. katastrophe переворот учение рассматривающее геол. историю Земли как чередование длительных эпох относительного покоя и сравнитель...Биологический энциклопедический словарь
  2. катастроф теория—катастрофизм учение й половины в. рассматривавшее геологическую историю Земли как чередование длительных эпох относительного покоя и сравнительно коротких катастрофическ...Большая Советская энциклопедия II
  3. катастроф теория—катастрофизм от греч. katastrophe поворот переворот геологическая концепция согласно которой в истории Землипериодически повторяются события внезапно изменяющие первично...Большой энциклопедический словарь II
  4. катастроф теория—КАТАСТРОФ теория катастрофизм от греч. katastrophe поворот переворот геологическая концепция согласно которой в истории Земли периодически повторяются события внезапно ...Большой Энциклопедический словарь V
  5. катастроф теория—от греч. katastrophe поворот переворот совокупность приложений теории особенностей гладких дифференцируемых отображений и теории бифуркаций. Поскольку гладкие отображени...Естествознание. Энциклопедический словарь
  6. катастроф теория—катастрофизм от греч. katastrophe поворот переворот геологическая концепция согласно которой в истории Земли периодически повторяются события внезапно изменяющие первично...Политическая наука - Словарь-справочник
  7. катастроф теория—Катастроф теория катастрофизм от греч.em katastrophe поворот переворот геологическая концепция согласно которой в истории Земли периодически повторяются события внезапно ...Политология. Словарь.
  8. катастроф теория—КАТАСТРОФ ТЕОРИЯ катастрофизм от греч . katastrophe поворот переворот геологическая концепция согласно которой в истории Земли периодически повторяются события внезапно ...Современный энциклопедический словарь