КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

-преобразованияq, p"Q(p, q), Р(р, q)(обобщённых) координат и (обобщённых) импульсов, сохраняющиеПуассона скобки:

(k=l, . . .,п, п -число степеней свободы системы, d_ij-Кронекера символ).К. п. сохраняют канонич. видГамильтона уравненийи нормировкуГамильтона функции Н (р, q, t).При К. п. фигурирующее в вариационномнаименьшего действия принципевыражение может меняться лишь на полный дифференциал:

ЗдесьF -производящая функция К. п, Если она зависит от старых и новых координат,F(q,Q),то явный вид К. п. находится из соотношений р_i=РFlРq,P_i=РF/РQ_i,а новая ф-ция Гамильтона

Остальные возможности (всего их 2²ⁿ, когдаFзависит от i старых координат, n-iстарых импульсов, j новых координат и n - j новых импульсов, получаются из даннойЛежандра преобразованием.К. п. сохраняют интеграл по замкнутойкривой вфазовом пространствеи элемент фазового объёма . Последнее обстоятельство используется при заменах переменных вфункциональном интеграле.ДляF,не зависящих явно от времени, сохраняется и ф-ция Гамильтона.Для тождественного К. п. . Бесконечно малые К. п. с F= удовлетворяют ур-ниям Гамильтона , с ф-цией Гамильтона h=f(P, q; 0). Поэтому движение системы (параметр e интерпретируется как времяt)само есть К. п. Преобразования симметрии, сохраняющиедействиеочевидным образом являются К. п. q, p - обычные координаты и импульсы. канонического квантования, заменяющий скобки Пуассона {р_i, q_j}=d_ijканонич.перестановочными соотношениями ,формулируется для декартовой системы координат. Конкретный выбор гильбертова пространства H векторов состояний системы и реализация как самосопряжённых (эрмитовых) операторов в этом пространстве (их общая область определения должна быть плотной в H)наз. представлением. К. п. в квантовой механике наз. преобразования представлений, сохраняющие канонич. перестановочные соотношения (см.Представлений теория).Для систем с конечным числом степеней свободы все представления канонич. перестановочных соотношений унитарно эквивалентны (теорема фон Неймана): для любых двух представлений операторов и векторов состояний y,y' существует унитарный операторU,такой, что (знак + означает эрмитово сопряжение). Т. о., К. п. конечномерных квантовых систем всегда могут быть реализованы как унитарные преобразования, и поэтому они сохраняют спектры операторов, средние значения и др. динамич. характеристики. Напр., переход от шрёдингерова к гейзенбергову описанию эволюции системы (см.Шрёдингера представление, Гейзенберга представление)является унитарным преобразованием, зависящим от времени, с , где - оператор Гамильтона (гамильтониан).Для бесконечномерных квантовых систем теорема фон Неймана неверна: существуют К. п., не сводящиеся к унитарным, и соответственно неэквивалентные представления канонич. перестановочных соотношений. Такие К. п. могут менять спектры операторов и в этом случае дают матем. описание важных физ. эффектов - появлениеголдстоуновских бозоновприспонтанном нарушении симметрии, Хиггса механизм,изменение спектра состояний системы при фазовых переходах и др. К. п. является стандартным приёмом нахождения спектра элементарных возбуждений (квазичастиц)в статистич. физике. Примером такого К. п. служатБоголюбова канонические преобразования,с помощью к-рых находятся эти спектры для слабонеидеальных бозе- и ферми-систем.Лит.:Голдстейн Г., Классическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1975: Диран П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; Березин Ф. А. Метод вторичного квантования, 2 изд., М.. 1986; Арнльд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976.Б. В. Медведев, В. П. Павлов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.