ИТЕРАЦИЙ МЕТОД
(последовательных приближений метод) - способ решения матем. задач, заключающийся в построении последовательности, члены к-рой получаются с помощью повторного применения к.-л. операции. Нач. член последовательности выбирают в достаточной степени произвольно. И. м. применяют для решения операторных ур-ний вида
Au =f,(1)
определения минимума нек-рого функционала, поиска собств. значений и ф-ций ур-ния Au=lu, доказательства существования решений этих задач, а также для исследования поведения сложных систем.
u(k+1)=Aku(k), k=0, 1, 2, ..., (2)
где u(0)- нач. член последовательности. Сходимость последовательности (2) определяется принципом сжимающих отображений - теоремой о существовании и единственности неподвижной точки у отображенияАполного метрич. пространстваXс метрикой r в себя, если для любыхх,уОХвыполняется неравенство r(Ах, Ау)[ar(х, у),где 0 и* - решение ур-нияАи=и; ур-ние (1) приводится к этому виду заменой-(Au-f).Если для нач. члена выполняется неравенство r(Аu(0),u(0))[m,где m-нек-рое число, то для n-й итерации верна след. оценка:
ОператорыАk,для ур-ния (1), заданного в линейном метрич.пространстве, обычно строят по ф-лам u(k+1)=,где Hk-нек-рая последовательность операторов, определяющая тип итерационного алгоритма. Для ускорения сходимости при выбореHkиспользуют вариац. методы. Напр., при решении ур-ния (1) с самосопряжённым положительно определённым ограниченным операторомА, действующим вгильбертовом пространствеHсо скалярным произведением (f, g),и элементомfОHполагают , (k=0,1, 2, . . ., где параметр ,Ax(k)) выбирают на каждом шаге из условия минимизации нормы величиныПростой вид приобретает И. м. при решении системы линейных алгебраич. ур-нийАх=b,к-рую преобразуют к видух=Вх-}-с.Решение находят как предел последовательностиx(k+1)=Bx(k)+c, k=0,1, 2, ... Для сходимости метода при любом нач. приближении х(0)необходимо и достаточно, чтобы все собств. значения матрицыВбыли по модулю меньше 1. Если ||B||[j<1, то для погрешности k-гoчлена верна оценка . Скорость сходимости можно увеличить, если на k-м шаге при вычислении i-й компоненты векторахучитывать уже вычисленныеk-eприближения первых (i-1) компонент. (n+1)=f(x(n)), f(x)=4mx(l -x),0[m[1. В зависимости от значений параметра m, система может иметь 1,2,4, . . . неподвижных точек; при большом кол-ве неподвижных точек поведение системы не отличается от хаотического (см.Фейгенбаума универсальность).Лит.:Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981 В. Е. Рокотян.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.