Физическая энциклопедия

ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД

- один из методов решения краевых задач матем. физики (дляГелъмголъца уравнения, Пуассона уравнения, волнового уравненияи др.), заключающийся в сведении исходной задачи отыскания поля заданных (сторонних) источников в присутствии граничных поверхностей к расчёту поля тех же и нек-рых добавочных (фиктивных) источников в безграничной среде. Последние помещаются вне области отыскания поля исходной задачи и наз. источниками-изображениями. Их величина и положение определяются формой граничных поверхностей и видом граничных условий. q, расположенного над бесконечной плоской границей проводника с потенциалом j=0.Искомое поле (в том полупространстве, где расположен заряд) тождественно полю, создаваемому в безграничной среде двумя точечными зарядами: данным зарядомqи его (взятым с обратным знаком) зеркальным (относительно границы) изображениемq'=-q.Если поверхность проводника представляет собой сферуSрадиусаа,а зарядqлежит в точкеР на расстоянииОРот её центраО,то как внутр. задача (ОР), так и внеш. задача для заземлённого шара [ОР>а, j(S)-0]решаются с помощью единственного заряда-изображенияq',помещаемого в точкуР',лежащую на одной радиальной прямой сРпо др. сторону от границыS.Величина зарядаq'и его расстояние до центраОР'даются соотношениями:q'=-qa/OP, OP'=a2/OP,т. е.РиР'связаны преобразованием инверсии относительно сферыS.Система изображений для незаряж. изолированного тара состоит из зарядаq'в инверсной точкеР'и зарядаq "=-q'в центреО.Подобный вид имеет решение аналогичной двумерной задачи (заряж. нить, параллельная оси проводящего цилиндра). Отличие от сферы состоит в том, что абс. величины заданного и фиктивного линейных зарядов одинаковы. В ряде случаев оказывается возможным построить систему изображений для проводящих поверхностей, представляющих собой комбинацию рассмотренных простейших форм. Сюда относятся, в частности, двугранный угол величины p/m (гдет- целое число), две параллельные плоскости (порождающие бесконечный ряд зарядов-изображений), плоскость с полусферич. выступом и т. д. q,лежащего в точкеРнад плоскостьюS,разделяющей две среды (1 и 2) с разл. диэлектрич. проницаемостями e1и e2. Поле в той среде, где находится заряд (пусть для определённости это будет среда 1), ищется как суперпозиция полей двух зарядовqиq'в однородном диэлектрике с e=e1; зарядq'лежит в точкеР',представляющей собой зеркальное изображение точкиРотносительно границыS.Поле в среде 2 ищется как поле зарядаq "в однородном диэлектрике с e1=e2; зарядq" лежит в той же точкеР,чтои заданный заряд q.Граничные условия наSдля потенциала j и его нормальной производной Рj/Рn

j1= j2, e1(Рj1/Рn)= e2(Рj2/Рn) (1)

будут выполнены, если

q'=q([ e1- e2]/[e1+ e2]) q "=q(2e2/[e1+ e2]) (2)

Аналогичным образом строится решение второй задачи, заключающейся в расчёте поля двумерной системы, образованной заряж. нитью и диэлектрич. цилиндром. 2=0 (Рj1/Рn=0)ф-лы (2) дают решение родственной группы разл. физ. задач о потенц. обтекании границы (в данном случае плоской) непроницаемого препятствия, роль к-рого в магнитостатике играет сверхпроводник, в токовой статике - изолятор, в гидродинамике - твёрдое тело. С помощью конечной системы изображений могут быть построены также решения аналогичных задач обтекания для тел более сложной формы (сфера, нек-рые овалоиды), внесённых в однородный на бесконечности поток. p(t)] иего зеркальным изображением [смоментомp'(t)]в плоскости. Касательная (t) и нормальная (n) к плоскости компоненты вектороврир'связаны соотношениями:р't=-рt,р'n=pп.При достаточно малой длине волны в рамкахгеометрической оптики методаи нек-рых уточняющих его коротковолновых приближений И. м. применим для широкого класса границ и граничных условий и сводится к построению картины лучей и геометро-оптич. изображении.Лит.:К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е П. В., Теоретическая гидромеханика, ч. 1, 6 изд., М., 1963; Гринберг Г. А., Избранные вопросы математической теории электрических п магнитных явлений, М.-Л., 1948; Смайт В., Электростатика и электродинамика, [пер. с англ.], М., 1954; Б р е х о в с к и х Л. М., Волны в слоистых средах, 2 изд., М., 1973; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М., 1982; Пановский В., Филипс М., Классическая электродинамика, пер. с англ., М., 1963. В. Б.Гильденбург.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. изображений метод—отображений метод метод теории потенциала для решения некоторых краевых граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными в области Di при кром выпол...Математическая энциклопедия